Termin 4: Grafiken

Weil bei kontinuierlichen Variablen (z. B. Reaktionszeiten) kaum identische Werte vorkommen. Um eine Häufigkeitsverteilung sinnvoll darzustellen, müssen die Werte gruppiert werden – z. B. in Intervallen im Histogramm.

Weil bei der Kategorisierung Informationen verloren gehen. Feinere Unterschiede zwischen Werten werden geglättet und können nicht mehr analysiert werden. Für inferenzstatistische Analysen ist daher die Rohform sinnvoller.

Dabei ist n die Stichprobengröße. Die Regel dient zur Wahl einer angemessenen Anzahl von Klassen für Histogramme.

• Zu grobe Klassen verschleiern wichtige Unterschiede → Informationsverlust.

• Zu feine Klassen erzeugen visuelles Rauschen – zu viele Details, keine klare Struktur. → Wie bei einer Karte: zu wenig Zoom = keine Orientierung, zu viel Zoom = Detailflut.

• Range: 27,88 - 0,927 = 26,95 s

• Intervallbreite: 26,95s/8 \approx 3,37s

• Praktisch sinnvoll: Aufrunden auf z. B. 4 s → 7 Klassen

Es stellt die Häufigkeitsverteilung von metrischen (kontinuierlichen) Daten grafisch dar. Die x-Achse zeigt Intervalle (Klassen), die y-Achse deren Häufigkeiten.

• Balkendiagramm: für nominale/ordinale Daten, Balken getrennt

• Histogramm: für metrische Daten, Balken stoßen aneinander, da Intervalle ein Kontinuum darstellen.

Eine Linie, die die Mittelpunkte der Histogrammbalken verbindet. Es zeigt den Verlauf der Verteilung als Kurve.

Eine ungeeignete Skalierung kann die Verteilungsform verzerren (z. B. Überbetonung von Ausreißern oder Unterdrückung von Modalität).

→ Wie bei einer Landkarte: falscher Maßstab = falscher Eindruck von Entfernungen.

🔍 Technische Erklärung

X-Achse (horizontal):

→ zeigt die Datenintervalle (Klassen) oder Ausprägungen.

Wenn du hier die Intervallbreite zu klein wählst, sieht die Verteilung zerklüftet oder unruhig aus – wie bei einem Seismographen.

Wenn du sie zu groß wählst, verschwinden Details – z. B. Mehrgipfligkeit (Modalität).

Y-Achse (vertikal):

→ zeigt die Häufigkeit (absolute oder relative).

Wenn du die y-Achse zu lang machst, sehen alle Balken klein und bedeutungslos aus.

Wenn du sie künstlich stauchst, erscheinen kleine Unterschiede übertrieben groß.

• Symmetrisch (z. B. Körpergröße)

• Rechtsschief (linkssteil) – viele kleine Werte, wenige große

• Linksschief (rechtssteil) – viele große Werte, wenige kleine

• Unimodal – ein Gipfel

• Bimodal – zwei Gipfel (z. B. zwei Gruppen)

• Multimodal – mehrere Gipfel

• Symmetrisch: Modus ≈ Median ≈ Mittelwert

• Rechtsschief: Modus < Median < Mittelwert

• Linksschief: Mittelwert < Median < Modus

Symmetrisch (alle drei Maße stimmen überein).

Es stellt die Häufigkeit metrischer Daten dar, wobei jeder Messwert in zwei Teile zerlegt wird:

• Der Stängel links zeigt die führende Ziffer (z. B. Zehnerstelle),

• das Blatt rechts zeigt die Endziffer (z. B. Einerstelle oder Nachkommastelle).

• Die konkreten Werte bleiben sichtbar.

• Keine Daten gehen verloren durch Gruppierung.

• Es erlaubt schnelles Überprüfen von Verteilung, Zentrum und Streuung.

Stängel: 6 | Blatt: 4 → 6 | 4

25, 27, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 43, 47

Weil bei großen Datenmengen zu viele Blätter entstehen – das Diagramm wird unübersichtlich und verliert seinen Vorteil gegenüber dem Histogramm.

Weil es ohne Vorverarbeitung (wie Kategorisierung) eine schnelle, visuelle Struktur in Rohdaten sichtbar macht – also besonders nützlich für den ersten Blick auf neue Daten.

Man wählt eine geeignete Skalierung:

z. B. Wert 2.7 → Stängel: 2 | Blatt: 7

Oder: 27.4 → 27 | 4

→ Die Einheiten sind abhängig von der gewählten Präzision.

• eine Box (Q1 bis Q3 → Interquartilsabstand),

• einen Median-Strich in der Box,

• zwei Whisker, die bis zu den letzten „normalen“ Werten reichen,

• und ggf. Punkte für Ausreißer.

(IQR} = Q3 - Q1

Er beschreibt die mittleren 50 % der Verteilung – also die Spannweite der zentralen Datenmasse.

• Q1 = drittkleinster Wert = 65

• Median = (67 + 69)/2 = 68

• Q3 = achtkleinster Wert = 75

• IQR = 75 − 65 = 10

Beispiel-Datensatz (n = 10):

Daten (sortiert):

56, 57, 65, 66, 67, 69, 72, 75, 89, 92

🔹

Schritt 1: Finde den Median (Q2)

n = 10 → gerade Zahl → Median liegt zwischen den mittleren Werten (5. und 6.):

\text{Median (Q2)} = \frac{67 + 69}{2} = 68

🔹

Schritt 2: Finde Q1 (unteres Quartil)

→ Betrachte nur die untere Hälfte der Daten (unterhalb von Q2):

56, 57, 65, 66, 67

Q1 = Median dieser Hälfte = mittlerer Wert → 65

🔹

Schritt 3: Finde Q3 (oberes Quartil)

→ Betrachte nur die obere Hälfte der Daten (oberhalb von Q2):

69, 72, 75, 89, 92

Q3 = Median dieser Hälfte → 75

• Untere Grenze: 65 - 1,5 * 10 = 50

• Obere Grenze: 75 + 1,5 * 10 = 90

→ Werte < 50 oder > 90 sind Ausreißer

→ 92 wäre Ausreißer, 89 nicht.

Weil er auf Quartilen basiert, nicht auf Mittelwerten. Quartile sind nicht empfindlich gegenüber extremen Werten und zeigen eine stabile Verteilung.

• Wenn der Median nicht mittig in der Box liegt → Schiefe.

• Wenn ein Whisker viel länger ist → lange „Schleppe“ → Schiefe.

  • Rechts langer Whisker → rechtsschief (linkssteil)

  • Links langer Whisker → linksschief (rechtssteil)

Für die grafische Darstellung von nominalen oder ordinalen Variablen.

→ x-Achse = Kategorien,

→ y-Achse = Häufigkeiten (absolut oder relativ)

• Histogramm: Balken berühren sich, da es kontinuierliche Daten sind.

• Balkendiagramm: Balken sind getrennt, da die Kategorien diskret und unabhängig sind.

Weil Menschen Flächen (Winkel) schlechter vergleichen können als Längen. Besonders bei ähnlichen Prozentanteilen wird es visuell ungenau – z. B. kann 21 % vs. 23 % kaum erkannt werden.

• Wenn es viele Kategorien gibt

• Wenn die Unterschiede klein sind

• Wenn die Daten geordnet oder gruppiert sind (z. B. Ordinalskala) → Besser: Balkendiagramm verwenden

Die gleichzeitige Verteilung von zwei mindestens intervallskalierten Variablen. Jeder Punkt im Diagramm entspricht einem Datenpaar (x, y).

• Form des Zusammenhangs (linear, exponentiell, etc.)

• Stärke des Zusammenhangs (dicht oder verstreut)

• Richtung (positiv, negativ, kein Zusammenhang)

• Ausreißer

Wenn größere Werte in x tendenziell mit größeren Werten in y einhergehen → die Punkte steigen „von links unten nach rechts oben“.

Beispiel: Lernzeit und Prüfungsergebnis.

Wenn größere x-Werte mit kleineren y-Werten einhergehen → die Punkte verlaufen „von links oben nach rechts unten“.

Beispiel: Alter und Reaktionsgeschwindigkeit.

Durch eine Regressionsgerade, also die Gerade, die den linearen Zusammenhang der Punkte am besten beschreibt (Line of Best Fit).

Weil es visuell zeigt:

• Ausreißer (die den Korrelationswert stark beeinflussen können),

• Nichtlinearitäten (z. B. u-förmige Zusammenhänge),

• Gruppenstrukturen, die in der Korrelation verloren gehen.

Es gibt einen negativen Zusammenhang: Je mehr Schlaf, desto weniger Müdigkeit.

Weil grafische Entscheidungen (Skalierung, Farbwahl, Layout) die Interpretation der Daten stark beeinflussen. Gute Grafiken unterstützen Verstehen, schlechte führen in die Irre.

• Wähle eine verzerrte Skalierung, sodass kleine Unterschiede riesig wirken

• Verwende 3D-Diagramme, um alle Achsen unlesbar zu machen

• Verzichte auf Achsenbeschriftungen, damit niemand weiß, was dargestellt wird

• Nutze bunte Farben und Muster, um vom Inhalt abzulenken

• Zeige nur absolute Werte, nicht relative – besonders bei sehr unterschiedlich großen Gruppen

• Verstecke Ausreißer, damit die Grafik „sauber“ aussieht

• Kombiniere verschiedene Diagrammtypen, z. B. Kreis + Balken + Linien in einem

• Erfinde neue Diagrammarten, auch wenn sie keiner versteht

• Lass keine Skalen beginnen bei 0, um Dramatik zu erzeugen

• Füge unnötige Deko ein (Clipart, Schatten, 3D-Effekte)

• Stelle zu viele Informationen auf einmal dar, damit man nichts erkennt

• Wähle unpassende Diagrammtypen, z. B. Kreisdiagramm für zeitliche Trends

Wenn man die y-Achse nicht bei 0 starten lässt, sondern bei z. B. 95, um einen kleinen Unterschied extrem groß aussehen zu lassen.

→ Das verzerrt die visuelle Wahrnehmung.

Weil sie die Lesbarkeit und Vergleichbarkeit erschweren – Tiefenperspektive verzerrt Flächen, Höhen sind nicht eindeutig ablesbar, Balken überdecken sich.

Weil Menschen nur eine begrenzte kognitive Kapazität zur gleichzeitigen Informationsaufnahme haben.

→ Eine Grafik sollte eine Kernaussage deutlich machen, nicht mehrere gleichzeitig verwischen.