Analysis

Steigung der Sekante beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem Bereich. (der bereich zwischen den zwei Schnittpunkten)

1. y= m • x + b (wir suchen also m und b )

2. Steigung berechnen (Formel)

3. um nach b aufzulösen einen der Punkte und m in die allgemeine geraden gleichung einsetzten.

einem , Punkt

die steigung der tangente, beschreibt die Steigung in einem beliebigen Punkt

Im sachzusammenhang beschreibt die Steigung der Tangente die momentane Änderung.

1. 1. Ableitung bilden

2. für m: x wert in f’(x) einsetzen —> auflösen

3. m,x,y in allgemeine geradengleichung einstezen (nach b auflösen)

4. für y: x wert vom Berührungspunkt in f(x) beinsetzten (für x)

Steigung

Tangente

Kehrwert

1. y=mx + b

2. f’(x) und steigung der Tangente bestimmten (x wert in f’(x) einsetzen und auflösen)

3. Steigung der normalen berechnen mit formel

4. für b: alles in gl einesetzen und auflösen

die Stelle, an dem die Tangente parallel zu der geraden ist, ist die Stelle, an dem die Funktion F. Die gleiche Steigung hat wie die gerade selbst.

1. ableitung bilden

2. Steigung der geraden herausfinden

3. erste Ableitung und Steigung,, der geraden, gleichsetzen und nach X auflösen (x ist dann die stelle)

1. Definitionsvereich

2. wertebereich

3. nullstellen

4. schnittpunkt mit y achse

5. symmetrie

6. grenzwertverhalten

7. extrempunkte

8. wendepunkte

9. skizze/ zeichnung

Beim Grenzwertverhalten schauen wir, wie sich der Graph einer Funktion im Unendlichen verhält.

wo kommt der graph her? und wo geht er hin?

f(-x)= f(x)

Achsensymmetrisch zur y achse

punktsymmetrisch zum ursprung

f(-x) = -f(x)

f(x)= -g(x)

0

x=0 in funktion einsetzten

erhalten wird der schnittpunkt mit y

S(0|…)

Funktion gleich 0 setzten

der wertebereich ist die menge von y werten die rauskommen, wenn jedes mögliche x in die funktion eingesetzt wird.

(alles was für x rauskommen kann)

bestimmte eigenschaften eines funktionsgraphen werden vorgeschrieben.

Gesucht wird die gleichung der funktion deren graph die gewünschte eigenschaft hat.

1. um welche Art von Funktionen handelt es sich ?

2. Ist eine Symmetrie vorhanden?

3. wird eine Aussage über Punkte , Die Steigung, extrem stellen oder Wende stellen gemacht?

4. alle Informationen in mathematische Gleichungen übersetzen

5. LGS aufstellen und lösen

6. Funktionsgleichung aufschreiben und Probe durchführen

1. 1.ableitung bilden

2. Nullstellen der 1.ableitung berechnen

3. 2.ableitung berechnen

4. • Setze die Werte aus Schritt 2 (also die nullstellen der 1. ableitung) in f’’(x) (zweite Ableitung) ein+ auflösen:

     • f’’(0) = < 0 → Hochpunkt

     • f’’(0) = > 0 → Tiefpunkt

   1. Funktionswerte berechnen

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Krümmung der Funktion wechselt

1. 1./2./3.Ableitung bilden

2. 2.ableitung gleich null setzten (das sind dann die möglichen wende stellen

3. Krümmungswechsel prüfen:

   -ausgerechneten punkt in 3.ableitung einsetzten wenn Nicht 0 rauskommt ist es ein wendepunkt

4. Funktionswerte berechnen

1. 1.Ableitung bilden

2. Nullstellen der ersten ableitung berechnen:

   -Diese Werte teilen die Zahlengerade in Abschnitte:

   (zum beispiel: wenn 0 und 2 rauskommt—> (-unendlich bis0) ,(0 bis2) , (2 bis unendlich)

3. Vorzeichen Test:

   Jetzt nehmen wir einen Testwert aus jedem Abschnitt und setzen ihn in f’(x) ein.(einfach eine zahl die im intervall ist in erste ableitung einsetzten für x und auflösen.

   —-> das zeigt die steigung an diesem punkt

   (intervalle von links nach rechts testen)

4. auswertung:

   • Steigung positiv → Funktion steigt

     • Monoton steigend

     Steigung negativ → Funktion fällt

     • Monoton fallend

1. Funktionsansatz aufstellen

• Überlege, welche Art von Funktion gesucht ist:

2. Bedingungen aufschreiben

• Jede Bedingung in der Aufgabe wird zu einer Gleichung.

• Beispiele:

  • „Die Kurve geht durch (1|2)“ → f(1) = 2

  3. Gleichungssystem aufstellen

  • Setze die Bedingungen in deinen Funktionsansatz ein.

  • Du bekommst mehrere Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c, d, ….

4. Gleichungssystem lösen

• Löse nach den Unbekannten auf.

• Danach kennst du die exakte Funktionsgleichung.

5. Ergebnis aufschreiben

• Die gefundene Funktion hinschreiben und ggf. noch prüfen, ob alle Bedingungen erfüllt sind.

Bei einer Trassierungsaufgabe soll eine neue Funktion f(x) gefunden werden, die zwei gegebene Funktionen miteinander verbindet. Dabei müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein

→ die Funktion soll keine Lücke haben.

Dein f(x) muss an den Übergangspunkten genau auf g(x) und h(x) liegen.

→ die Steigung an den Übergangspunkten muss gleich sein.

Die Steigung von f(x) muss an den Übergangspunkten gleich der Steigung von g(x) bzw. h(x) sein.

f’(x1) = g’(x1) und f’(x2) = h’(x2)

die Krümmung muss an den Übergangspunkten gleich sein.

f’’(x1) = g’’(x1) und f’’(x2) = h’’(x2)

Die Krümmung (zweite Ableitung) von f(x) muss an den Übergangspunkten gleich sein.

1. Bedingungen aufstellen

   • Sprungfrei: Funktionswerte an den Übergangspunkten gleichsetzen

   • Knickfrei: Ableitungen an den Übergangspunkten gleichsetzen

   • Krümmungsruckfrei: zweite Ableitungen gleichsetzen

2. Gleichungssystem lösen → so findest du die Parameter a, b, c, …

3. Funktion aufschreiben → Fertig!

Extremwertprobleme (auch Optimierungsaufgaben) fragen nach dem größten oder kleinsten Wert einer Größe, z. B.:

• Maximaler Gewinn

• Minimaler Materialverbrauch

• Größte Fläche

• Kürzeste Strecke

Mathematisch: Gesucht wird ein Maximum oder Minimum einer Funktion f(x).

1. Problem verstehen

   • Welche Größe soll optimiert werden?

   • Welche Bedingungen gibt es (z. B. Länge, Fläche, Volumen)?

2. Funktion aufstellen

   • Schreibe die gesuchte Größe als Funktion f(x) einer Variablen.

   • Wenn mehrere Variablen vorkommen, versuche auf eine Variable zu reduzieren (z. B. über eine Nebenbedingung).

3. extremstellen der funktion berechnen

4. Ergebnis interpretieren

   • Setze die gefundene Extremstelle zurück in f(x), um den größten oder kleinsten Wert zu berechnen.

• Eine Größe wächst oder sinkt immer um denselben Betrag in gleichen Zeitabständen.

• Das Wachstum ist konstant

Eine Größe y in Abhängigkeit von der Zeit t wird durch eine lineare Funktion beschrieben:

y(t) = y_0 + k • t

• y_0 → Startwert (Anfangsgröße)

• k → konstante Änderungsrate pro Zeiteinheit

• t → Zeit

• Eine Größe wächst (oder sinkt) prozentual, also mit einem festen Prozentsatz in gleichen Zeitabständen.

• Anders als beim linearen Wachstum wird nicht derselbe Betrag, sondern ein immer gleichbleibender Prozentsatz hinzugefügt.

2.718

• a → Startwert

  b → Wachstumsrate:

  b>0 → Wachstum, b<0 → Abnahme

• Definition: Eine Größe wächst immer weiter, aber kann nicht über einen bestimmten Maximalwert hinaus.

• Definition: Logistisches Wachstum beschreibt eine Wachstumsform, die am Anfang schnell wächst, aber mit der Zeit abflacht, weil es eine maximale Kapazität (Tragekapazität) gibt.

• Anders als beim beschränkten exponentiellen Wachstum, das asymptotisch auf einen Maximalwert zugeht, hat die logistische Funktion eine S-förmige Kurve.

Die Integralrechnung ist sozusagen das „Gegenteil“ der Differentialrechnung.

• Differentialrechnung → fragt: „Wie schnell ändert sich etwas?“ (Steigung, Ableitung)

• Integralrechnung → fragt: „Wie viel ist insgesamt vorhanden?“ (Fläche, Summe)

aufleiten

Fläche

aufleiten

F (x)

(großes F wichtig)

1 wird zu X

10x

0,5 x^2 (^bedeutet hoch )

5 x hoch 2

ein drittel x hoch 3

5 achtel X hoch 8

beim aufleiten musst der Exponent um eins erhöht und in den Nenner des Bruchs geschrieben werden.

bleibt gleich, e hoch x

ein drittel e hoch 3x

• Ein unbestimmtes Integral beschreibt alle Funktionen, deren Ableitung eine bestimmte Funktion ist.

• Das Ergebnis nennt man Stammfunktion und man schreibt immer + C dazu, weil jede Funktion um eine Konstante verschoben sein kann.

C

X

• Ein bestimmtes Integral berechnet eine Zahl, z. B. die Fläche unter einem Graphen zwischen zwei Punkten a und b.

• Anders als beim unbestimmten Integral gibt es kein +C, weil man eine konkrete Fläche zwischen den Grenzen berechnet.

ablauf:

1. Nullstellen bestimmen(= grenzen der Fläche)

2. Ist die Fläche nur oberhalb der X achse prüfen:

   1. Wähle einen Punkt in jedem Intervall und setze ihn in f(x) ein: ergebnis:

      positiv → Graph oberhalb der x-Achse

      negativ → Graph unterhalb der x-Achse

1. liegt die Fläche oberhalb der X-Achse: ganz normal das integral berechnen

2. liegt die Fläche auch unterhalb der X Achse: in betrag setzten |f(x)|

Nullstellen berechnen ist hier wichtig, weil man dann sieht, dass es innerhalb der Funktion einen Vorzeichenwechsel gibt d.h. Ein Teil des Graphen muss unterhalb der X-Achse liegen

Man muss die Fläche in zwei Teilflächen aufteilen, die eine über der X-Achse und die andere unter der X-Achse, die die unter der X-Achse ist, muss man in Betrag setzen, danach die Ergebnisse addieren

1. Funktion und Intervall bestimmen

2. Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen (gleichsetzten)

1. integral ausrechnen

Partielle Integration ist eine Methode aus der Integralrechnung, mit der man bestimmte Integrale berechnen kann, die sich nicht so leicht direkt integrieren lassen. Sie basiert auf der Produktregel der Ableitung.

Integration durch Substitution ist eine Methode der Integralrechnung, mit der man komplizierte Integrale vereinfacht, indem man eine Variable ersetzt. Man kann sich das wie eine Umkehrung der Kettenregel vorstellen.

Krümmungsverhalten

• f’’(x) > 0 (positiv) → die Funktion ist konvex (nach oben geöffnet, wie eine Schüssel).

• f’’(x) < (negativ) 0 → die Funktion ist konkav (nach unten geöffnet, wie ein Dach).

• f’’(x) = 0 → das könnte auf einen Wendepunkt hinweisen (muss aber noch genauer überprüft werden).

Änderung der Krümmung (Krümmungsgeschwindigkeit)

In(ab) = In(a) + In(b)

In (a/b) = In(a) - In (b)

In (a hoch b ) = b• In(a)

-f(x) ist dann die Spiegelung an der x Achse

Ist dann an der y Achse gespiegelt

In (natürlicher logarithmus)

1

0

(u ( v(x) ) )’ = u’ ( v(x). ) • v’(x)

(u • v)’ = u’ • v + u • v’

(e hoch etwas)’=. e hoch etwas • (etwas)’

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an einer Funktion in einem Punkt an. Sie beschreibt, wie stark sich eine Funktion ändert.

ohne {…}

die vereinigung der zwei mengen

die Reihenfolge bei der Multiplikation von Zahlen spielt keine Rolle

Werden mehr als zwei Zahlen multipliziert zu spielt es keine Rolle, welches Produkt zuerst gebildet wird

werden mehrere Faktoren miteinander multipliziert und das Ergebnis ist null so muss einer der Faktoren null sein

die division durch Null ist nicht definiert und kann somit nicht durchgeführt werden. Es ist allzu verboten, da durch null zu teilen weil zahlt man diese Regel auch null Teil verboten sind.

mit dem Kehrwert mal nehmen

Rechnen mit unbekannten

180

A Quadrat plus B. Quadrat ist gleich C Quadrat

Gegenüber vom rechten Winkel 90°

1. Rationale Funktion.

1. Wurzelfunktion

1. Exponentialfunktion

1. Logarithmusfunktion

1. Trigonometrisch

1. Höchste Potenz = 1 → linear.

   1. Höchste Potenz = 2 → quadratisch.

   2. Höher als 2 → Polynom.

pq formel

Nullstellen: 1) Einfache raten

1. Polynomdivision

2. pq formel

1. potenz/ wurzelausdruck auf eine seite bringen

2. wurzel/ potenz eleminieren

3. dann kommt quadratische oder lineare raus

4. einfach wie normal auflösen

1. Logarithmieren

2. und dann nach dem auflösen was gefragt ist

1. Prüfe DB:

2. Isoliere den Logarithmus (alles andere rüberbringen).

3. Schreibe in Exponentialform: siehe bild

4. Löse die Gleichung.

5. Prüfen, ob Lösung im DB liegt.

1. DB bestimmen: Nenner ≠ 0

2. Bruch loswerden: Multiplizieren / Kürzen (beide seiten mit dem nenner mal nehmen)

3. Normale Gleichung lösen (linear oder quadratisch)

4. Lösung prüfen: Passt sie zum DB?

5. Bei Widerspruch → keine Lösung

am wendepunkt

erste ableitung (den punkt einsetzten an dem die prozent berechnet werden sollen (für x))

auflösen

und zwei komms stellen verschieben

bsp:0.8—> 80%

f(2)=0

alles was positiv ist oder null (es darf nicht negativ werden )

Ableitung = Änderungsrate des Gewinns. Positiv → Gewinn steigt, negativ → Gewinn fällt

Ableitung = momentane Geschwindigkeit. Positiv → vorwärts, negativ → rückwärts, null → Wendepunkt (Höchststand)

Ableitung = Wachstumsrate. Maximalwert der Ableitung = Population wächst am schnellsten

Ableitung = Änderung der Temperatur pro Zeiteinheit. Vorzeichen = steigen/fallen

=1/x

momentane

Extrempunkte

1. Bestimme f’(x).

2. Löse f’(x) = 0, um die kritischen Punkte zu finden.

3. Unterteile die Zahlengerade in Intervalle mit diesen Punkten.

4. Wähle Testwerte in den Intervallen und setze sie in f’(x) ein:

   • Wenn f’(x) > 0: Funktion streng monoton steigend in diesem Intervall.

   • Wenn f’(x) < 0: Funktion streng monoton fallend in diesem Intervall.

• ob der Graph einer Funktion „nach oben“ oder „nach unten“ gebogen ist.

1. zweite Ableitung f’’(x). bilden

2. Du setzt die x-Werte ein, die du als mögliche Wendestellen gefunden hast (also die Lösungen von f’’(x) = 0).

3. Mit diesen eingesetzten x-Werten prüfst du:

   • Ist f’’’(x) ≠ 0? → dann Wendepunkt bestätigt.

4. y-Koordinate. berechnen

krümmung

nicht ändert

achsensymmetrisch

punktsymmetrisch

kurvendiskussion machen hilft

selbe