Hypothesentest

Die Standard-Normalverteilung oder z-Verteilung setzt voraus, dass Sie die Standardabweichung der Population kennen.

Die t- Verteilung basiert auf der Standardabweichung der Stichprobe

Die t-Verteilung ist besonders nützlich bei kleinen Stichprobenumfängen, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist oder beides

Abweichung aufgrund von Zufälligkeit

-> Nullhypothese gilt noch

signifikante Abweichung vom Mittelwert der Grundgesamtheit

-> Nullhypothese muss verworfen werden und die Alternativhypothese gilt

Wenn Ihr P-Wert kleiner oder gleich 0,05 (das Signifikanzniveau) ist, würden Sie schlussfolgern, dass Ihr Ergebnis statistisch signifikant ist

-> Das bedeutet, dass die Beweise stark genug sind, um die Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese abzulehnen

Bsp.: Pr ( T > t ) = 0,81 -> nicht signifikant

Statistisch signifikante Ergebnisse werden häufiger publiziert als nicht - signifikante Ergebnisse

Standardformel: FG = n - a (n-1)

• gibt die Anzahl frei wählbarer Werte für einen Parameter an

• Anzahl der Freiheitsgrade steigt mit zunehmender Stichprobengröße und sinkt mit der Anzahl geschätzter Parameter

Der Standardfehler hängt vom Stichprobenumfang und der Streuung ab

unter der Voraussetzung, dass die beiden Teilstichproben unabhängig voneinander sind und in der Grundgesamtheit die Varianzen der beiden Gruppen gleich sind:

Unter der Annahme, dass die Varianzen der beiden Teilgruppen in der Population gleich sind, lautet der geschätzte Standardfehler für Mittelwertsdifferenzen:

vereinfachte Formel falls die Standardabweichung bekannt ist:

Hypothesentest bei dem zwei Teilmengen aus einer Grundgesamtheit verglichen werden (Zwei-Stichprobentest)

Die Wahrscheinlichkeit wird durch die Bestimmung eines ausreichend geringen Signifikanzniveaus minimiert

Fehler 1. Art:

• Nullhypothese verwerfen, obwohl diese eigentlich richtig ist

Fehler 2. Art:

• Nullhypothese nicht verwerfen, obwohl diese falsch ist

• Alternativhypothesen gehen davon aus, dass ein Unterschied zwischen den Gruppen vorliegt

• Die Nullhypothese geht davon aus, dass zwischen zwei Gruppen kein Unterschied in Bezug auf ein Merkmal vorliegt

• die t-Verteilung sollte immer verwendet werden, da die t-Verteilung ohnehin gegen N(0,1) konvergiert

• die t-Verteilung muss verwendet werden, wenn die Standardabweichung geschätzt wird (fast immer der Fall) und wenn kleine Stichproben vorliegen (n kleiner als 50)

t = 2,318

auf der Grundlage theoretischer Überlegungen wird eine Hypothese abgeleitet

-> anhand der Daten EINER Zufallsstichprobe wird geprüft, ob die Hypothese von den Daten gestützt wird, d.h. akzeptiert oder verworfen

• bei vorliegenden Daten gibt es ein kleinstes Signifikanzniveau, auf dem H0 gerade noch verworfen werden kann

• der P-Wert entspricht den Quantilwert der Teststatistik in der Standardnormalverteilung

Gegebene Irrtumswahrscheinlichkeit, eine H0 (Nullhypothese) fälschlich zu verwerfen

• die Stichprobenverteilung nähert sich einer Normalverteilung, je größer der Umfang n der einzelnen Stichproben

Problem der Stichprobenvariabilität:

• In der Regel ist die Populationsvarianz nicht bekannt und wird mithilfe der Stichprobendaten geschätzt

• nur die Entscheidung H0 zu verwerfen ist statistisch gesichert, weil wir die Geltung einer eindeutigen Nullhypothese prüfen und die Irrtumswahrscheinlichkeit festgelegt werden kann

Beispiel:

• bekannter Populationsparameter

Bei Betrachtung des P-Wertes: sollte möglichst klein sein

Wir können die Nullhypothese mit 0,001% Irrtumswahrscheinlichkeit verwerfen, also stimmt H1 (Männer arbeiten mehr als 40 Stunden)

1 - 0.05 / 2 = 0.025

Beispiel:

Stichprobe:

Standardabweichung = 52,05323

Mittelwert (arithmetisches Mittel) = 305

t -Wert = -1.8225334