Lektion 4 & 5

Vorteile:

• Beschreibung der Beziehungen anhand eines numerischen Maßes

• Aussagen über die Stärke des Zusammenhangs

• Vergleich der Stärke mit anderen (Stichproben-)Daten

Nachteile:

• Zusammenhangsmaße können manipuliert werden

  • zB durch willkürliche Gruppierung der interessierenden Daten und Untersuchungseinheiten

  • zB durch (nachträgliche) Bildung von Kategorien einer Variablen

Kontingenztabelle: nur beobachtete Häufigkeiten

Indifferenztabelle: nur erwartete Häufigkeiten

1. Bestimmung der Differenz zwischen erwarteten (fe) und beobachteten Werten (fb).

2. Quadrierung der Differenzen

   • => gleiche Vorzeichen

   • positive Werte

   • größere Differenzen werden stärker berücksichtigt

1. Relativierung durch erwartete Werte (Division)

2. Summe über alle Zellen (i,j)

• Frage nach der Abweichung von der Unabhängigkeit zweier Variablen

• Chi² = 0 => erwartete und beobachtete Werte gleich

• Chi² > 0 => Abweichungen von der Unabhängigkeit 

• maximaler Wert der Abweichung ist variabel und nicht standardisiert

Signifikanz

• relevante Größe aus der Inferenzstatistik (“schließenden Statistik”)

• Schlussfolgerung von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit

• S. (exakt: Irrtumswahrscheinlichkeit) sagt aus, ob ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen durch “Zufall” erklärt oder auf die Grundgesamtheit übertragen werden kann

Irrtumswahrscheinlichkeit (p-Wert):

• Fehlerwahrscheinlichkeit, einen Effekt anzunehmen, obwohl es in der Grundgesamtheit keinen gibt

• Wahrscheinlichkeit, dass man die Alternativhypothese behauptet, obwohl die Nullhypothese gilt

Nullhypothese H0:

• Zufall => Der Effekt existiert in der Stichprobe, aber nicht in der Grundgesamtheit

Alternativhypothese H1:

• kein Zufall => Der Effekt existiert in Stichprobe und Grundgesamtheit

• Größe der Stichprobe

• Stärke des Zusammenhangs

• zB bei geringer Stärke des Zusammenhangs

• zB Durchführung einer komplizierten OP bei minimaler Chance auf Verbesserung des Gesundheitszustands hierdurch

1. Beobachtung eines Effekts in der Stichprobe

2. Hypothesen zum Auftreten dieses Effekts

   • Nullhypothese H0

   • Alternativhypothese H1

1. Signifikanztest: Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit

   • Annahme: H0 würde stimmen

   • Fragestellung: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein mindestens so großer Wert durch Zufall zu erklären ist?

   • Feststellung dieser Wahrscheinlichkeit

1. Entscheidung H0 oder H1?

   • Ist die Irrtumswahrscheinlichkeit relativ groß, nehmen wir H0 an

   • Ist die Irrtumswahrscheinlichkeit relativ gering, nehmen wir H1 an

• symmetrische standardisierte Zusammenhangsmaße auf Nominalskalenniveau basieren auf ꭕ² 

• keine Richtung des Zusammenhangs => genaue und kritische Untersuchung der Kreuztabelle notwendig

• Beispiele:

  • Phi 𝛟: nur beim Wertebereich 2x2 (“Vierfeldertafel”)

  • Kontingenzkoeffizienz C

    • nur bei quadratischen Wertebereichen >2x2 (zB 3x3, 4x4)

    • schwierig zu vergleichen

  • Cramer’s V:

    • Wertebereiche für größere Tabellen (zB 2x3, 3x4)

    • unabhängig von Tabellengröße

basieren auf der proportionalen Fehlerkorrektur

• Lambda

• Goodman und Kruskal

• Unsicherheitskoeffizient

• auch Rangkorrelationsmaße genannt

• basieren auf Prinzip des Vergleichs der Wertepaare (xi, yi)

• Häufigkeiten der verschiedenen Arten der Wertekombinationen als Basis

• ab Ordinalskalenniveau

• standardisierte Zusammenhangsmaße geben Auskunft über die Stärke und die Richtung des Zusammenhangs

• Richtung eines Zusammenhangs: Proportionalität

  • direkt proportional (+): steigt x, dann steigt y

  • indirekt proportional (-): steigt x, dann sinkt y

Kann zwischen uV und aV eindeutig unterschieden werden?

• Nein: symmetrische Beziehung => Kendall’s Tau b tb

• Ja: asymmetrische Beziehung => Somer’s d

1) gruppierte (“clustered”) Balkendiagramme

2) gestapelte (“stacked”) Balkendiagramme

• Vorteil: häufig sehr gut zur deskriptiven Darstellung geeignet

• Nachteil: erschwerte Interpretation von Zusammenhängen aus Grafiken, da unterschiedliche Stichprobengrößen verzerrend wirken

• => daher: gestapelte (“clustered”) Balkendiagramme zur Illustration von Zusammenhängen

Kovarianz:

1. Berechnung der arithmetischen Mittelwerte beider Variablen

2. Differenzen aller Messwerte zum jeweiligen Mittelwert

3. Produkt beider Abstände

4. Aufsummierung

5. Division durch n-1 => “Mittel” der Abweichungsprodukte

symmetrisch:

• Pearson’s r

• Spearman’s rho

assymetrisch:

• einfache lineare Regression

• gängiges metrisches Zusammenhangsmaß bei symmetrischer Beziehung

• Vorteil: Berücksichtigung aller Messwerte

• Standardisierung der Kovarianz

  • Relativierung der Standardabweichungen

• Regeln bei Interpretation: zuerst die Stärke beurteilen, dann Richtung (Proportionalität), schließlich Signifikanz (genauer: Irrtumswahrscheinlichkeit)

• Voraussetzungen für die Anwendung:

  • metrisches Skalenniveau

  • keine bzw. sehr wenige Extremwerte

  • Normalverteilung der Variablen

• falls Voraussetzungen für Pearson’s r nicht erfüllt

• basiert nicht auf Prinzip der Kovarianz, sondern auf Rangkorrelationen (Umwandlung der Messwerte in Rangwerte) => eher den ordinalen Zusammenhangsmaßen zuzuordnen

• Reduktion des Skalenniveaus

• Regeln bei Interpretation: zuerst die Stärke beurteilen, dann Richtung (Proportionalität, schließlich Signifikanz (genauer: Irrtumswahrscheinlichkeit)

• Regeln bei Interpretation: wie Persons’s r: zuerst die Stärke beurteilen, dann Richtung (Proportionalität), schließlich Signifikanz (genauer: Irrtumswahrscheinlichkeit)

links oben: direkt proportionaler Zusammenhang

rechts oben: indirekt proportionaler Zusammenhang

unten: kein Muster => kein Zusammenhang

• Korrelation: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y? Welche Richtung hat dieser Zusammenhang?

• Regression: Kann auf Basis des Zusammenhangs eine Vorhersage eines Wertes von Y durch einen Wert von X getroffen werden?

Regressionsgerade:

• bestangepasste Gerade in einem Streudiagramm zweier Variablen

• Berechnung mittels Methode der kleinsten Quadrate

Regression:

• erklärte Abweichungsquadrate

Residual/Residuum

• aufsummierte quadrierte Differenzen zwischen beobachtetem Wert und vorhergesagtem Wert (Punkt auf der Regressionsgeraden)

  

• nicht erklärte Abweichungsquadrate

Total:

• gesamte Fläche der Abweichungsquadrate

Güte:

• quadriertes Verhältnis von erklärten Abweichungsquadraten zu gesamten Abweichungsquadraten

• R² = (Regression/Total)²

1. Stärke des Zusammenhangs: standardisierter Korrelationskoeffizienz beta : 0,669  => sehr starker Zusammenhang

2. Richtung des Zusammenhangs: Beta > 0 => positiv, direkter Zusammenhang

3. Signifikanz: 0 => höchst signifikant

=> sehr starker, höchst signifikanter direkt proportionaler Zusammenhang

Güte der Regression: 0,447 => 44,7% der Streuung der aV kann durch die uV erklärt werden 

1) Stärke

2) Proportionalität

3) Güte der Regression r²

4) Beschreibung der erklärten und nicht erklärten Abweichungsquadrate

5) Signifikanz

6) grafische Darstellung inkl Regressionsgerade

7) Prognose und Schätzung

• keine allgemeinen Kriterien

• in Sozialwissenschaften: ab 30%

• Hierarchie des Skalenniveaus beachten => nur auf Ebene des niedrigeren Skalenniveau rechnen

• => Zusammenhangsmaß des niedrigeren Skalenniveaus verwednen

• Ausnahmen:

  • Behandlung bestimmter Ordinalskalen als Intervallskalen, falls:

    • Minimum 5 Ausprägungen

    • Intervalle etwa gleich groß (auch keine offenen Randklassen)

  • Behandlung dichotomer Variablen als Intervallskalen,falls

    • inhaltlich nominal, formal aber intervallskaliert

    • Mittelwert entspricht Anteil der höher codierten Ausprägung