ℕ steht für und bildet welche Zahlen ab
natürliche Zahlen
1, 4, 9, 10,
ℤ steht für und bildet welche Zahlen ab
ganze Zahlen
-4, -5, 0, 10, 20 …
ℚ steht für und bildet welche Zahlen ab
rationale Zahlen
Bruch mit einer ganzen Zahl p und einer ganzen Zahl q ≠ 0 darstellen lassen
z.B.: 2/4, 5/20, etc.
ℝ steht für und bildet welche Zahlen ab
reelle Zahlen
Alle Zahlen mit Nachkommastellen
Welche 5 Arten von Beweisen gibt es?
direkter Beweis
Beweis durch Widerspruch
Beweis durch Kontraposition
Beweis durch Ringschluss
Vollständige Induktion
Was bedeutet Disjunkt
Wenn die Schnittmenge zweier Mengen leer ist
Es gibt also keine Elemente in dieser Menge die in beiden vorkommt
Was ist der große Vorteil von Beweisen durch Ringschluss?
Beweise durch Ringschlüsse sind von Vorteil, wenn die Gültigkeit vieler äquivalenter Aussagen A1, …, An zu zeigen ist.
Ohne einen Ringschluss müssten wir für alle Aussagen jeweils zeigen, dass Ai ⇒ Aj und Aj ⇒ Ai gilt. Das ist bei vielen Aussagen mit großem Aufwand verbunden. Durch Anwendung eines Beweises durch Ringschluss können wir einfach jede Aussage aus jeder anderen folgern, indem wir den Implikationspfeilen folgen. Wir reduzieren somit effektiv die Anzahl der notwendigen Beweise.
Direkter Beweis
A => B
a => -B
-B => -A
logisches Äquivalent zu A => B
A1 => A2, A2 => A3, A1 => A3
Beweis durch vollständige Induktion
Beweis kann unendlich lang werden,
Axiom als Induktionsanfang
dann können x-viele Induktionsschritte folgen
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