NEU - Datenanalyse inkl. R

Bivariate Datenanalyse untersucht den Zusammenhang zwischen genau zwei Variablen. Ziel: Aufdecken von Abhängigkeiten, Unterschieden oder Assoziationen zwischen zwei Merkmalen und empirische Überprüfung von Hypothesen.

Beispiel:

• Bildung ↔ Einkommen,

• Geschlecht ↔ politisches Interesse,

• Nutzung von Bibliotheksangeboten ↔ Studienfach.

Grundprinzip:

• Eine Variable ist unabhängig (z. B. Bildung)

• die andere abhängig (z. B. Wahlbeteiligung) sein.

  
  

Schritt 1

Kreuztabellen (Contingency Tables)

zeigt die Häufigkeiten des gemeinsamen Auftretens von zwei Variablen.

• Spalte: unabhängige Variable

• Zeile: abhängige Variable

• Zellen: Kombinationen der Ausprägungen der beiden Variablen

  • Nominal: Kategorie ohne Rangordnung (z. B. Geschlecht)

  • Ordinal: Kategorie mit Rangfolge (z. B. politisches Interesse)

  • Metrisch: viele Ausprägungen (z. B. Einkommen) → gruppieren nötig, um Kreuztabellen zu erstellen

• Randhäufigkeiten: Summen der Zeilen und Spalten (deskriptiv)

• Relative Häufigkeiten: Prozente ermöglichen bessere Vergleichbarkeit

• Prozentangaben: auf Spaltenbasis → „wenn-dann“-Interpretation

R-Funktion

# Basis R: Kreuztabelle erstellen

table(Variable1, Variable2)

# Relative Häufigkeiten

prop.table(table(Variable1, Variable2), margin=2)

# mit Paket: sjmisc

flat_table(ess9de_m1, wahl, bildung,

margin = c("col")) # = Spaltenprozente

# Zeilenprozente (row)

# Gesamtprozente (cell)

# Mit Paket: descr

CrossTable(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung) #Ausgabe in Console

CrossTable(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung,

prop.c = TRUE, # Spaltenprozente

prop.t = FALSE, # Gesamtprozente

prop.r = FALSE, # Zeilenprozente

prop.chisq = FALSE) # einzelne ChiQuadrat-Anteile

Bei Nominalen: Schritt 2:

Indifferenztabelle (erwartete Häufigkeit)

da kein Zusammenhang zwischen Variablen nachgewiesen wurde bisher, muss das erstmal gezeigt werden:

• Vergleich: beobachtete Häufigkeiten fb(ij) vs. erwartete fe(ij)

• Große Abweichung → höhere Wahrscheinlichkeit für statistische Abhängigkeit

Formel: fe(ij) = Zeilensumme(i) * Spaltensumme (j) / n

Beispiel:

• Beobachtet: 311 Männer „sehr stark politisch interessiert“

• Erwartet: 216,56 Männer

• Differenz = 94,44 → Abweichung deutet auf Zusammenhang

Schritt 3

Chi² - Test (χ²)

Misst, wie stark die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten abweichen.

• Problem: χ² ist stichprobenabhängig, daher schwer vergleichbar zwischen Studien

• Interpretation:

  • χ² ≈ 0 → kein Zusammenhang

  • χ² groß → starker Zusammenhang

• Berechnung mit Tabelle

  1. Spalte: Beobachtete Häufigkeiten (fb + Spalte der Originaltabelle angeben, zB. fbi)

  2. Spalte: erwartete Häufigkeiten (fe + Spalte…)

  3. Spalte Residuen pro Zeile berechnen:

     • Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Häufigkeiten

     • Heißt: wie stark die Realität (beobachtet) von der Nullhypothese (erwartet, wenn kein Zusammenhang besteht) abweicht.

     • fb - fe

  4. Spalte: Residuen pro Zeile quadrieren

  5. Spalte: quadrierte Residuen durch erwartete Häufigkeiten pro Zeile teilen:

     • Residuen (fb - fe)² / (erwartete Häufigk.) fe

  6. Spalte: Summe der Werte aus Spalte 5

     = Chi²

Funktion in R

• chisq.test(Variable1, Variable2)

#Darstellung beobachteter Häufigkeiten und erwarteter Häufigkeiten + Chi, Cramer + phi

• tab_xtab(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung, show.exp = TRUE, show.legend = TRUE)

  
  

Schritt 4

Effektstärke messen durch Phi & Cramer’s V

Phi (Φ)

Zusammenhangsmaß für nominale Merkmale mit nur 2 Ausprägungen - 2x2 Tabellen (dichotome Variablen, auch genannt: 4 Feldertafel)

• Beispiel: Geschlecht (m/w) × Wahlteilnahme (ja/nein)

• Werte: 0 (kein Zusammenhang) bis 1 (vollständige Abhängigkeit)

  • Interpreation wie bei Cramers V

• Formel: Φ = Wurzel aus χ²/n

Funktion in R

• tab_xtab(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung, show.exp = TRUE, show.legend = TRUE)

Cramer’s V

Maß für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei nominal- oder ordinalskalierten Variablen.

• Beispiel:

  • Zwei nominalskalierte Variablen (z. B. Geschlecht × Wahlbeteiligung)

  • Eine nominale Variable und eine ordinale Variable (z. B. Geschlecht × Bildungsgrad)

  • Wichtig: Wenn die Variablen unterschiedliche Skalenniveaus haben, wählt man für Cramér’s V das niedrigere Messniveau.

    • Nominal < Ordinal < Intervall/Metrisch

    • Beispiel 1: Geschlecht (nominal) × Bildungsgrad (ordinal)

      • Nominal = niedrigeres Skalenniveau → Cramér’s V berechnen auf Basis von nominal.

    • Beispiel 2: Familienstand (nominal) × Einkommen (metrisch)

      • Nominal < Metrisch → Cramér’s V für nominales Merkmal → zeigt, wie stark Einkommen durch Gruppenunterschiede erklärt wird.

• Es zeigt nur die Stärke, nicht die Richtung eines Zusammenhangs.

• Wertebereich: 0 bis 1

  • 0 → kein Zusammenhang

  • 1 → perfekte Abhängigkeit (die Merkmale „gehen Hand in Hand“)

• Auch für größere Tabellen (nicht nur 2x2)

Formel: V = Wurzel aus Chi² / n * (M - 1)

• M = kleinere Dimension der Kreuztabelle (entweder Zeilen oder Spalten)

• Der Wert sagt wie stark die beiden Merkmale zusammenhängen (nur „stärker“ oder „schwächer“)

• Beipspiel:

  • Chi-Quadrat χ2=190,46

  • Stichprobengröße n=3490

  • Tabelle 5 Zeilen × 2 Spalten → M=2M

  • V = Wurzel aus 190,46 / 3490 * (2 - 1)

    • = Wurzel aus 190,46 / 3490 ≈ 0,23

Interpretation

0,23 = mittelstarker Zusammenhang zwischen den Merkmalen

Funktionen in R

• CrossTable(var1, var2, expected=TRUE, prop.chisq=TRUE, chisq=TRUE)

#Paket DescTools:

• CramerV(var1, var2)

Zusammengefasst (nominal):

• Indifferenztabelle → Chi² → Phi/Cramér’s V

• Indifferenz zeigt „erwartet ohne Zusammenhang“

• Chi² misst Abweichung von Erwartung

• Phi/Cramér’s V standardisiert das Ergebnis für Vergleichbarkeit

bei ordinalen:

Die Werte haben eine Rangfolge, aber Abstände sind nicht zwingend gleich.

• Beispiele: Bildungsabschluss (niedrig → mittel → hoch), politisches Interesse (sehr niedrig → sehr hoch), soziale Schicht (Unterschicht → Oberschicht)

Ziel: Bestimmung von Richtung und Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei ordinalen Variablen.

Schritt 2:

Rangzuweisung

• Ränge: Position eines Wertes in der geordneten Stichprobe (klein → groß)

• Bindungen (Ties): Mehrere gleiche Werte → Rangmittelwert wird vergeben

  • Beispiel: Zwei Personen mit „Abitur“ → Ränge 4 & 5 → Mittelwert 4,5

Hinweis: Rangkorrelationen ermöglichen Aussagen über Stärke und Richtung, nicht über Kausalität.

Schritt 3

Spearmans Rho (ρ) oder (rsp)

= Rangkorrelationskoeffizient für zwei ordinalskalierte Variablen

• Wertebereich: −1 bis +1

• Interpretation:

  • Positiv → beide Variablen steigen zusammen

  • negativ → gegenläufig, 0 → kein Zusammenhang

• Faustregel:

  • ≤ 0,05 kein Zusammenhang

  • 0,05–0,20 schwach

  • 0,20–0,50 mittel

  • 0,50–0,70 stark

  • >0,70 sehr stark

• Berechnung mit Tabelle:

  • Tabelle zu beiden Merkmalen ausgeben lassen, z.B. Soziale Schicht und Gesundheitszustand

    • Person 1 Mittelschicht(3) GZ schlecht (2)

    • Person 2 Arbeiterschicht(2) GZ sehr schl. (1)

    • Person 3 Oberschicht(5) GZ sehr gut (5)

    • …

  • Rangpositionen überführen: d = X - Y

    • Person 1 (3) (2) (1)

    • Person 2 (2) (1) (1)

    • Person 3 (5) (5) (0)

  • Ränge quadriert summieren: 1² + 1² + 0² = 2

  • Formel ausfüllen: 6 * 2 / 3 (n) * (3² -1) = 12 / 24 = 0,5

  • Interpreation: positiver mittelstarker Zusammenhang zwischen Sozialer Schicht und Gesundheitszustand, sodass, sollte eins von beiden ansteigen, die andere Variable mit ansteigt.

Funktion in R

• cor(as.numeric(ess9de_m1$polint), as.numeric(ess9de_m1$bildung),

  use="complete.obs", method="spearman")

Paket: DecTools

• SpearmanRho(ess9de_m1$polint, ess9de_m1$bildung, use="complete.obs")

  
  

Schritt 4

Kendalls Tau

Alternative zu Spearman für ordinalskalierte Variablen

= Zusammenhangsmaß für mindestens ordinalskalierte Variablen. Es misst die Rangübereinstimmung zwischen zwei Variablen und kann Werte zwischen −1 und +1 annehmen:

• +1: perfekter positiver Zusammenhang (alle Paare steigen zusammen)

• 0: kein Zusammenhang

• −1: perfekter negativer Zusammenhang (eine steigt, die andere sinkt)

Grundidee

Man betrachtet alle möglichen Paare von Beobachtungen und überprüft, ob die Rangfolgen der beiden Variablen gleichgerichtet oder gegenläufig sind.

• Konkordante Paare: Positiver Beitrag <- Rangplätze beider Variablen steigen oder fallen gemeinsam.

• Diskonkordante Paare: Negativer Beitrag <- Wenn Rangplätze gegensätzlich verlaufen (eine steigt, die andere sinkt).

• Verbunden / Bindung (tie): Mindestens eine Variable hat für ein Paar gleiche Werte → spezieller Umgang, wird angepasst

Vorteil: robuster bei Bindungen und großen Stichprob

Beispiel:

Paar 1: Person 1, Person 2…

Die Paare bilden wir immer aus zwei unterschiedlichen Personen:

• (1,2), (1,3), (2,3)

Formel: n*(n-1) / 2 = 3*(3-1) / 2 = 3 Paare

• A & B → X steigt (1→3), Y steigt (2→4) → konkordant ✅

• A & C → X steigt (1→2), Y steigt (2→5) → konkordant ✅

• B & C → X fällt (3→2), Y steigt (4→5) → diskonkordant ❌

Überwiegen konkordante Paare, dann ist es positiv!

Hinweis

• Bei ordinalen Variablen empfiehlt sich ggf. auch eine Kreuztabelle für die deskriptive Darstellung.

• Spearman ist robuster gegen Ausreißer; Kendall besonders bei vielen Bindungen.

Funktion in R

• cor(as.numeric(ess9de_m1$polint), as.numeric(ess9de_m1$bildung),

  use="complete.obs", method="kendall")

bei metrischen:

Wenn zwei Merkmale metrisch skaliert sind (z. B. IQ, Einkommen, Testergebnisse), nutzt man grafische Verfahren und statistische Kennwerte, um Richtung und Stärke ihres Zusammenhangs zu bestimmen. Zentral sind dabei

• Scatterplots (Streudiagramme)

• Kovarianz und

• Pearson’s r (Korrelationskoeffizient)

Schritt 2:

Grafische Analyse: Streudiagramm (Scatterplot)

= Darstellung von Wertepaaren (x, y) in einem Koordinatensystem.

• Zweck: Erste Einschätzung des Zusammenhangs.

• Beispiel: IQ ↗ → Testpunkte im räumlichen Denken ↗ → positiver linearer Zusammenhang.

• Arten von Zusammenhängen:

  • Keine Korrelation: Punkte zufällig verteilt.

  • Positive lineare Korrelation: „Je mehr, desto mehr“ – steigende Punktewolke.

  • Negative lineare Korrelation: „Je mehr, desto weniger“ – fallende Punktewolke.

  • Nicht-linear: z. B. U-förmig oder umgekehrt U-förmig.

Schritt 3:

Kovarianz: unstandardisiertes Zusammenhangsmaß

= Zwischenschritt zur Berechnung von Pearsond R

• Maß für den linearen Zusammehhang zweier Variablenin Form der gemeinsamen Streuung von X und Y an

Berechnung:

• wie weit der jeweilige x- oder y-Wert vom arithmetischen mittel entfernt ist

• Formel: COVxy = Summe aus (Xi - X mit Strich) (Yi - Y mit Strich) / n

Interpretation des Ergebnis:

• positiv → steigen gemeinsam

• negativ → einer steigt, der andere fällt

• ≈ 0 → kein linearer Zusammenhang

• Problem: einheitenabhängig → schwer vergleichbar

Beispiel aus dem Text:

Kovarianz von IQ & Testergebnis = 64,23 → Beide bewegen sich gemeinsam nach oben

Aber: Die Kovarianz ist nur der Rohwert des Zusammenhangs und deshalb schlecht interpretierbar.

Schritt 4:

Pearsons R: Standardidiertes Maß (Korrelationskoeffizient)

= normiertes Maß für die Berechnung der Stärke eines linearen Zusammenhangs von 2 metrischen Variablen.

heißt: Misst die Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs, unabhängig von Maßeinheiten → Pearson’s r ist der standardisierte, aussagekräftige Wert der Korrelation.

• Viele sozialwissenschaftliche Merkmale sind ordinal (z. B. Likert-Skalen 0–10).

• Pseudometrische Variablen in den SW: Wenn ≥ 5 Ausprägungen und ungefähr gleiche Abstände vorliegen → werden sie als metrisch behandelt, sodass Pearson’s r zulässig ist.

  • Beispiele:

    • Likert-Skalen 0–10 (z. B. Lebenszufriedenheit)

    • Gesundheitszustand (kritisch, wenn ungleiche Abstände)

    Achtung: Die metrische Behandlung ist modellabhängig! Bei begründeten Zweifeln → Spearman’s Rho verwenden

• Wertebereich -1 bis 1

Berechnung über Tabelle:

1. Erstelle eine Tabelle mit diesen 5 Spalten:

   • xi → Werte von Merkmal X (z. B. Einkommen)

   • yi → Werte von Merkmal Y (z. B. Lebenszufriedenheit)

   • xi · yi → Produkt aus X und Y

   • (xi)² → X-Werte quadriert

   • (yi)² → Y-Werte quadriert

2. Am Ende addierst du jede Spalte als Randwert

3. Alle Summen anschließend durch n teilen = Mittelwert (x/ y mit Strich)

4. Formel auffüllen (Zähler):

   Mittelwert aus xi * yi MINUS Mittelwert aus xi MAL Mittelwert aus yi

5. Formel auffüllen (Nenner):

   Wurzel aus Mittelwert x² MINUS Mittelwert xi QUADDRIEREN MAL Wurzel aus yi² MINUS Mittelwert yi QUADDRIEREN

Beispiel aus dem Text:

• = 0,22

Einfachere Formel über Kovarianz: r = COVxy / Sx * Sy

Aber:

• Korrelationskoeffizienten zeigen nur, ob Variablen „im Gleichklang“ verlaufen.

• Sie sagen nichts darüber, ob x → y bewirkt oder umgekehrt.

• Mögliche 3. Variablen können nicht ausgeschlossen werden

• = keine kausale Interpretation möglich nur Schein Korrelationen

  auch keine Richtung der Kausalität möglich

• nur je höher, desto wahrscheinlicher… Aussagen möglich

Interpreation des Ergebnis:

• r > 0 → positiver linearer Zusammenhang

• r < 0 → negativer linearer Zusammenhang

• r = 0 → kein linearer Zusammenhang

Faustregel:

• ≤ 0,05 kein Zusammenhang

• >0,05 – 0,20 schwach

• >0,20 – 0,50 mittelstark

• >0,50 – 0,70 stark

• >0,70 sehr stark

Beispiel 1 (IQ & Test):

r = 0,89 → sehr starker positiver Zusammenhang

Beispiel 2 (Einkommen & Lebenszufriedenheit):

r = 0,64 → starker positiver Zusammenhang

Wichtig:

• Pearson’s r misst nur lineare Zusammenhänge.

• r zeigt keine Kausalität → keine Aussage zu x → y oder y → x

• Scheinkorrelationen möglich (dritte Variable).

• Zusammenhang bedeutet nicht Ursache-Wirkung.

• Streudiagramm immer sinnvoll zur visuelle Prüfung (z. B. Nichtlinearität).

Zusammengefasst:

• Streudiagramm → zeigt die Form des Zusammenhangs (visuell)

• Kovarianz → zeigt Richtung (positiv/negativ) des Zusammenhangs , aber keine Stärke

• Pearson’s r → zeigt Richtung und Stärke (präzise interpretierbar)

Funktion in R:

• cor(ess9de_m1$stflife, ess9de_m1$health,

  use = "complete.obs")

• cor.test(ess9de_m1$stflife, ess9de_m1$gesund.num,

  use = "complete.obs")

  • Gibt r und p-Wert aus

  • p < 0,05 → Korrelationskoeffizient statistisch signifikant

  • Signifikanz betrifft nur die Übertragbarkeit, nicht Stärke/Bedeutsamkeit

• Spearman = robuster bei ordinalen bzw. nicht normalverteilten Daten

  • cor(ess9de_m1$stflife, ess9de_m1$gesund.num,

    use = "complete.obs",

    method = "spearman")

Wichtige Hinweise für die Praxis

• Kodierung prüfen! Hohe Werte sollten ein hohes Ausmaß des Merkmals bedeuten → erleichtert Interpretation

• Pearson’s r misst nur lineare Zusammenhänge

• Keine Kausalaussagen möglich

• Bei ordinalen Variablen oder Zweifeln → Spearman’s Rho als Robustheitsprüfung

• Immer zuerst deskriptiv prüfen (Skalen, Verteilung, Kodierung, Ausreißer)

Eta-Quadrat (η²): wenn unabhängige Variable nominal und eine abhängige Variable metrisch

• wird genutzt, wenn:

  • unabhängige Variable (uV) = nominal (z. B. Geschlecht, Familienstand, Migrationshintergrund)

  • abhängige Variable (aV) = metrisch (z. B. Einkommen, Testpunkte, Zufriedenheit)

  Warum kein Pearson’s r?

  • Pearson r erfordert beide Variablen metrisch → Kategorien wie „ledig“, „verheiratet“ haben keine Zahlenabstände

  • Eta² ist das passende Maß für die Kombination nominal – metrisch

• Eta² zeigt, wie viel Prozent der Varianz der abhängigen Variable durch die Gruppen erklärt wird.

• Wertebereich: 0 bis 1

  • 0 → kein Zusammenhang

  • 1 → perfekter Zusammenhang

• Beispiel: η² = 0,53 → „53 % der Varianz werden durch die Gruppen erklärt“

  
  

= Eta-Quadrat als PRE-Maß (Proportional Reduction of Error)

• Grundidee: „Wie sehr verbessert Gruppenwissen meine Vorhersage?“

Schritt 2:

• Man vergleicht zwei Vorhersagen:

  1. Ohne Gruppenwissen

     • Schätzer: Gesamtmittelwert

     • Fehler = E1

  2. Mit Gruppenwissen

     • Schätzer: Gruppenmittelwerte

     • Fehler = E2

  Dann gilt:

  PRE = E1−E2 / E1

  → Diese PRE-Logik = Grundlage von Eta²

SChritt 3:

• Quadratsummen (QS) verwenden

• QS Gesamt

  • Abweichungen aller Werte vom Gesamtmittelwert

  • entspricht E1 (Fehler ohne Gruppenwissen)

  QS innerhalb

  • Abweichungen innerhalb jeder Gruppe

  • entspricht E2 (Fehler mit Gruppenwissen)

  QS zwischen

  • Unterschiede der Gruppenmittelwerte

  • QSgesamt – QSinnerhalb

  
  

• Formel für Eta-Quadrat:

  η2= QS gesamt − QS innerhalb​ / QS gesamt

oder

• η2 = QS gesamt / QS zwischen​

  
  

Schritt 4:

Interpretation nach Cohen

Beispiel (vereinfacht)

Fragestellung: „Erklärt der Migrationshintergrund Unterschiede im politischen Wissen?“

Gruppe A (ohne MH): MW = 12,8 Gruppe B (mit MH): MW = 6,2 → starker Unterschied

Gegeben:

• QS gesamt = 204,5

• QS innerhalb = 95,6

Berechnung:

η2 = 204,5 - 95,6 / 204,5 = 0,53

Interpretation:

• η² = 0,53 → sehr starker Effekt

• 53 % der Varianz im politischen Wissen werden durch den Migrationshintergrund erklärt

Platz von Eta-Quadrat im Vergleich zu anderen Zusammenhangsmaßen

• Nominal – nominal / ordinal – nominal → Cramer’s V

• Ordinal – ordinal / bei Rangdaten → Spearman’s Rho

• Metrisch – metrisch → Pearson’s r

• uV nominal – aV metrisch → Eta-Quadrat

Regel: → „Wähle immer das Assoziationsmaß, das zum niedrigsten Skalenniveau passt“ → Ausnahme: Eta² ist speziell für nominal–metrisch vorgesehen

Was können bivariate Analysen nicht leisten?

• Sie zeigen nur Zusammenhang / Effektstärke – keine Kausalität

• Drittvariablen können Zusammenhänge erklären → Scheinkorrelation

• Statistische Maße allein liefern keine Ursachenanalyse