NEU - Quantitative Analyseverfahren inkl. R

• Prozente (%):

  • Drücken immer ein relatives Verhältnis aus.

  • Die Zahl vor dem Prozentzeichen ist der Prozentsatz, der das Verhältnis angibt.

  • Beispiel: 20 % der Befragten sind Männer.

• Prozentpunkte (pp):

  • Beschreiben den absoluten Unterschied zwischen zwei Prozentsätzen.

  • Beispiel: Anteil Männer bei stark Interessierten = 30 %, Anteil Frauen = 20 % → Unterschied = 10 Prozentpunkte, nicht 10 %.

• Prozentsatzdifferenz:

  • Berechnung: Zeilenweise Differenz zweier Spaltenprozenten.

  • Wertebereich: −100 bis +100 Prozentpunkte.

  • Interpretation:

    • < 5 pp → kaum interpretierbar, kein Zusammenhang

    • 5–<10 pp → schwacher Zusammenhang

    • 10–<25 pp → mittelstarker Zusammenhang

    • ≥25 pp → starker Zusammenhang

Heißt: Prozent / relative Differenz fragt: wie viel mehr im Verhältnis zum Ausgangswert.

• Bezogen auf Frauen: (30−20) / 20 = 0.5 = 50%

  • 50% der Frauen = 20*0,5 = 10 Frauen weniger

• Das heißt: die 30 Männer sind 50 % mehr als die 20 Frauen

  • Doppel so viele wären 200%

1. Univariate Datenanalyse

   • Fokus auf eine Variable

   • Zur Beschreibung der Verteilung eines Merkmals innerhalb dieser Variable

   • Methoden:

     • Häufigkeiten

     • Kennzahlen zur Verdichtung vieler Beobachtungen:

       • Lagemaß: Zentrum der Verteilung

         • z.B. Mittelwert, Median

       • Streuungsmaß: Variation der Werte

         • z.B. Varianzen, Standardabweichung

       • Formmaß: Charakterisierung der Verteilungsform

         • z.B. Schiefe, Wölbung

       • Konzentrationsmaße: wie ungleich sind die Werte verteilt?

         • z.B. Lorenzkurve, Gini-Koeffizient

2. Bivariate Datenanalyse

   • Fokus auf 2 Variablen

   • Zur Untersuchung von Zusammenhängen oder Unterschieden zwischen 2 Merkmalen (z.B. Bildung und Einkommen)

   • Methoden:

     • Kreuztabellen (Crosstabs): Zeigt gemeinsame Verteilung zweier Variablen

     • Zusammenhangsmaße (Koeffizienten):

       • Cramérs V: Stärke von Zusammenhängen bei nominalen Variablen

       • Spearmans rho: Rangkorrelationen bei ordinalen Variablen

       • Pearsons r: lineare Korrelationen metrischer Variablen

3. Multivariate Datenanalyse

   • Fokus auf Drei oder mehr Variablen

   • Zur Untersuchung mehrerer gleichzeitig einwirkender Einflussfaktoren auf eine abhängige Variable

   • Methoden:

     • Lineare Regression: Schätzt Einfluss der unabhängigen Variablen auf eine metrische abhängige Variable

     • Logistische Regression: Schätzt Einfluss mehrerer Variablen auf eine dichotome (z. B. Ja/Nein) abhängige Variable

4. Inferenzstatistik

   • Grundidee: Sozialwissenschaftliche Analysen beruhen meist auf Zufallsstichproben, nicht auf vollständigen Erhebungen.

   • Fokus auf Übertragung von Stichprobenergebnissen auf die Grundgesamtheit, i.F. einer Prüfung, ob Ergebnisse zufällig oder repräsentativ sind

   • Zur Beurteilung, ob beobachtete Zusammenhänge statistisch signifikant und verallgemeinbar sind

Die univariate Datenanalyse beschreibt eine einzelne Variable, meist durch Häufigkeiten, Lage- und Streuungsmaße, um ihre Verteilung und Struktur verständlich zu machen.

Häufigkeitstabellen zeigen, wie oft jede Merkmalsausprägung vorkommt und enthält 4 zentrale Angaben:

1. Absolute Häufigkeiten

• geben an wie oft die einzelnen Ausprägungen auftreten

• absolute Häufigkeit = fj

1. Relative Häufigkeiten

• Relation der einzelnen absoluten Häufigkeiten zur Gesamtzahl an Fällen

• Relative Häufigkeit = pj = fj/Gesamtzahl (n)

1. Relative Häufigkeiten in Prozent

• Darstellung der relativen Häufigkeiten in Prozent im Verhältnis zur Gesamtzahl der Fälle.

• = pj% = pj*100%

1. Kumulierte relative Häufigkeit

• zeigt, wie viel Prozent aller gültigen Fälle bis zu einem bestimmten Merkmalswert liegen.

• 👉 „Kumuliert“ = „aufsummiert“.

• Sie hilft, Verteilungen zu beschreiben, nicht Inhalte zu bewerten

• Berechnung durch schrittweise Aufsummierung der einzelnen relativen Häufigkeiten in Prozent

• =pj(kum)% = einzelnen pj% addieren

Wichtig:

• Fehlende Werte (NAs) werden nicht mitgezählt.

• Bei der höchsten Kategorie steht immer 100 %, weil dort alle gültigen Fälle enthalten sind

Beispiel: Zustimmungsskala

> „Ich finde Online-Unterricht effektiv.“

Antwortoption Personen Rel. Häufigkeit Kumuliert (%)

1 – stimme gar nicht zu 5 6,25 % 6,25 %

2 – stimme weniger zu 15 18,75 % 25 %

3 – teils/teils 20 25 % 50 %

4 – stimme eher zu 25 31,25 % 81,25 %

5 – stimme voll zu 15 18,75 % 100 %

Fehlend (NA) 20 – –

Anwendung

• Verteilung erkennen: Zeigt, wie sich Fälle entlang einer Skala „aufschichten“.

• Median & Quartile bestimmen: 50 %-Punkt der kumulierten Häufigkeit = Median.

• Vergleiche zwischen Gruppen Beispiel: Bei Frauen liegen 60 % „höchstens teils/teils“, bei Männern 80 %.

• Diagramme: Grundlage für Summenkurve (Ogive), um Verteilungen visuell darzustellen.

Heißt:

• Relative Häufigkeit: Anteil einer einzelnen Kategorie (z. B. 25 % stimmen eher zu).

• Kumulierte Häufigkeit: Aufsummierter Anteil bis zu einer bestimmten Kategorie (z. B. 81 % stimmen höchstens eher zu).

Z-Transformation: Standardisierung von Variablen bei Univariaten Datenanalysen

In der Forschung liegen Variablen oft in unterschiedlichen Skalierungen oder Verteilungen vor (z. B. 0–10 vs. 1–7 Skala). Dadurch lassen sich Messwerte nicht direkt vergleichen.Die Lösung: z-Transformation (Standardisierung).

Situation: Messwerte können unterschiedliche Messeinheiten, Skalen oder Streuung haben.

• Beispiel: Lisa (45 Pkte) und Bart (60 Pkte) schrieben unterschiedliche Tests → andere Mittelwerte, andere Standardabweichungen → direkte Vergleichbarkeit nicht möglich.

• Lösung: Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichbar machen. Standardisierung bringt Werte auf eine gemeinsame Skala:

  • Mittelwert = 0

  • Standardabweichung = 1

Beispiel:

Schritte der Berechnung

Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt.

• Zentrierung

  • (xi​−xˉ) | Angegebene Wert jeder Person minus arithmetische Mittel

    • Beispiel Lisa: 45-25

    • Beispiel Bart: 60-50

  • Heißt: Verschiebt die Verteilung so, dass der Mittelwert 0 wird.

  • Werte unterhalb des Mittels → negativ, Werte oberhalb → positiv.

• Normierung

  • Ergebnis durch Division durch die Standardabweichung: xi​−xˉ / Sx (Standardabw.)

    • Beispiel Lisa: 45 - 25 / 10 = 2

    • Beispiel Bart: 60 - 50 / 25 = 0,4

  • Skaliert so um, dass die neue Standardabweichung 1 beträgt = Streckung/Stauchung der Verteilung.

Interpretation

• Positiver z-Wert: Leistung über dem Durchschnitt

• Negativer z-Wert: Leistung unter dem Durchschnitt

• Betrag des z-Werts:

  • Klein → nahe am Mittelwert (typisch)

  • Groß → ungewöhnlich (potenzieller Ausreißer)

Beispiel:

• Lisas Leistung: 2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt → außergewöhnlich hoch.

• Barts Leistung: 0,4 Standardabweichungen über dem Durchschnitt → leicht überdurchschnittlich.

• → Relativ ist Lisa deutlich besser, obwohl Bart absolut mehr Punkte hat.

Lagemaße

beschreiben das Zentrum bzw. den typischen Wert einer Verteilung.→ Sie fassen große Datenmengen auf wenige Kennzahlen zusammen (univariate Datenanalyse)

Zuverlässigkeit der Lagemaße je nach Skalenniveau

Beispiele:

• Geschlecht → nominal (nur Modus)

• Schulnote → ordinal (Modus & Median)

• Alter → Intervall/metrisch (alle drei Lagemaße)

Modus

ist der am häufigsten vorkommende (gültige) Wert in einer Verteilung. Abkürzungen: h (Diaz-Bone) oder ẋ (Völkl & Korb)

• Eigenschaften:

  • Kann bei allen Skalenniveaus berechnet werden

  • Einfach abzulesen aus Häufigkeitstabellen oder Diagrammen

  • Bei zwei gleich häufigen Werten → bimodale Verteilung

  • Interpretation: ➡️ Informationsgehalt gering, da nur ein Wert berücksichtigt wird.

  • Besonderheit: Säulendiagramm -> höchster Balken

Beispiel

Median

Der Median (x̃) teilt eine geordnete Verteilung in zwei Hälften:50 % der Werte liegen unterhalb und 50 % oberhalb.

• Voraussetzung:

  • Werte müssen sortiert sein

  • Mindestens ordinalskaliert

• Berechnung:

  • Unsortiert: 1, 5, 3, 2, 3, 1, 5, 3, 3, 4, 2

  • → Sortiert: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5

  • → Median: 3 (6. Wert)

• Praxis:

  • Häufigkeitstabelle mit kumulierten Prozentwerten: Median bei ≈50 %

Arithmetisches Mittel

ist die Summe aller Werte geteilt durch deren Anzahl.

• Voraussetzungen

  • Mindestens intervallskaliert

  • Abstände zwischen Werten müssen gleich groß sein

  • Wird oft fälschlich auch bei ordinalen Daten (z. B. Schulnoten) verwendet

• Achtung: Einfluss von Ausreißern

  • Extremwerte können den Durchschnitt stark verzerren.

  • Beispiel: Gruppe 1 (max 35 J.) → x̄ = 26,7 / Gruppe 2 (max 70 J.) → x̄ = 30,6

  • Ausreißerprüfung → Median und Modus bleiben stabil (25)

    
    

Streuungsmaße

messen die Variation oder Dispersion der Werte um das Zentrum, da Lagemaße keine Informationen über die Streuung der Werte geben

• Wichtig: Streuungsmaße sind erst ab Intervallskala sinnvoll berechenbar.

Definition: Durchschnittliche quadrierte Abweichung der Werte vom arithmetischen Mittel.

= Je größer die Varianz, desto stärker streuen die Werte um das Mittel.

Formeln zur Messung der Varianz

Varianz = Maß dafür, wie stark die Werte einer Verteilung um ihr arithmetisches Mittel streuen.Sie sagt dir also: „Sind die Werte ziemlich ähnlich oder stark unterschiedlich?“

• Empirische Varianz (Vollerhebung):

  s2 = ∑ (xi − xˉ)² / n

• Korrigierte Varianz (Stichprobe):

  s*²= ∑ (xi − xˉ)² / n-1

Berechnungsschritte

1. Arithmetisches Mittel eines Datensatzes berechnen. (xˉ)

2. Abweichungen der Werte vom Mittelwert bilden, durch Subtraktion vom Mittelwert jeden einzelnen Wert: (xi−xˉ)

3. Abweichungen quadrieren: (xi−xˉ)², damit sich positive und negative Abweichungen nicht gegenseitig aufheben.

4. Addiere alle quadrierten Abweichungen.

5. Durch die Anzahl der Werte (n) = empirisch oder (n−1) = korrigiert teilen.

   
   

• Beispiel (Land-Gruppe Lebenszufriedenheit 0 - 11):

  • n = 11

  • Gesamtzahl der Lebenszufriedenheit: 77

    • Schritt 1: Arithmetisches Mittel = 77 / 11

    • Schritt 2: einzelne Antworten - 7

    • Schritt 2: Ergebnisse ²

    • Schritt 3: Adduktion dieser Ergebnisse = 90

      • dh. Summe der quadrierten Abweichungen

  • Empirische Varianz: s² = 90/ 11 ≈ 8,18

  • Korrigierte Varianz: s*² = 90/ (11-1) = 9

1. Interpretation:

• Hohe Varianz = große Unterschiede zwischen den einzelnen Antworten

• Geringe Varianz: Antworten sind relativ homogen

• Varianz = 0 → alle Werte sind gleich (keine Streuung).

  • 
    

Problem: Die Einheit der Varianz ist quadriert, also nicht mehr direkt vergleichbar mit den Originalwerten (z. B. Lebenszufriedenheit auf einer 0–10 Skala → Varianz in „Punkten²“).

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Dadurch hat sie die gleiche Einheit wie die ursprünglichen Werte.

• Sie ist damit viel anschaulicher und leichter interpretierbar.

• Formeln:

  • Empirisch (Vollerhebung): s = ∑s²

  • Korrigiert (Teilerhebung): s* = ∑s*²

• Beispielhafte Interpretation:

  • Wenn Lebenszufriedenheit auf einer Skala von 0–10 gemessen wird und die Standardabweichung 2 beträgt, dann liegen die meisten Werte ungefähr 2 Punkte über oder unter dem Mittelwert.

  • Kleine Werte → geringe Streuung

  • Große Werte → hohe Streuung

  • s=0s = 0s=0 → keine Streuung

• Am Beispiel der Lebenszufriedenheit:

  • Empirische Standardabw.: s = ∑8,18 ≈ 2,86

  • Korrigierte Varianz: s* = ∑3,22 ≈ 1,79

Merksatz:

• Varianz: zeigt die Streuung, aber in „Quadrat-Einheiten“.

• Standardabweichung: zeigt die Streuung in derselben Einheit wie die Daten → leichter interpretierbar.

Formmaße

Formmaße beschreiben die Form einer Verteilung, also wie die Werte einer Variable angeordnet sind, jenseits von Mittelwert und Streuung. Sie liefern Informationen über die Struktur der Verteilung.

Die beiden wichtigsten Formmaße sind:

1.Schiefe (Skewness)

misst die horizontale Asymmetrie: Sie zeigt, ob die Werte mehr auf der linken oder rechten Seite konzentriert sind.

• Formel wird heute nicht mehr händisch berechnet. Zur angemessenen Beschreibung einer Verteilungsform muss nur der Schiefe-Koeffizient korrekt interpretiert werden. Drei Fälle werden unterschieden

  • Rechtsschief → Schiefe > 0 (lange rechte Spitze)

    • die meisten Werte links, wenige rechts. Mittelwert > Median > Modus.

  • Symmetrisch → Schiefe ≈ 0

    • Verteilung ist gleichmäßig um das Mittel verteilt (z. B. Normalverteilung). Modus = Median = Mittelwert.

  • Linksschief → Schiefe < 0 (lange linke Spitze)

    • die meisten Werte rechts, wenige links. Modus > Median > Mittelwert.

Fechner’sche Lageregel

= Daumenregel (die nicht immer stimmt), aber eine einfache Möglichkeit darstellt, die Schiefe einer Verteilung ohne Berechnung des entsprechenden Formmaßes und ohne grafische Darstellung zu bestimmen

• Bei symmetrischen Verteilungen weisen die drei Lagemaße Modus, Median und arithmetisches Mittel denselben Wert auf

• Eine Verteilung ist rechtsschief (linksgipflig), wenn der Modus kleiner als der Median und der Median kleiner als das arithmetische Mittel ist (Modus < Median < Arithmetisches Mittel).

• Eine Verteilung ist linksschief (rechtsgipflig), wenn der Modus größer als der Median und der Median größer als das arithmetische Mittel ist (Modus > Median > Arithmetisches Mittel)

2.Wölbung (Kurtosis)

Misst die vertikale Form einer Verteilung, also wie „spitz“ oder „flach“ sie im Vergleich zur Normalverteilung ist

• Man will damit herausfinden, wie stark die Werte in der Mitte konzentriert sind und wie viele Werte in den Rändern (Extremen) liegen

  • Viele Werte nah am Mittelwert → hochgipflig (spitzer Berg)

  • Viele Werte weit vom Mittelwert entfernt → flachgipflig (breiter Hügel)

• Mit einer Formel misst ein Programm, wie weit jeder Wert vom Mittelwert entfernt ist, und potenziert diese Abweichung mit 4, weil so große Abweichungen (also Ausreißer) viel stärker gewichtet werden

  • Außerdem: Da man potenziert, verschwinden die Minuszeichen (wie bei der Varianz)

    = Maß dafür, wie stark die Verteilung „spitzt“ oder „flacht“.

  Aber:

• Wenn man die oben genannte Formel ohne Korrektur bei einer perfekten Normalverteilung anwendet, kommt immer ungefähr 3 heraus — das ist sozusagen der natürliche Wert, der sich aus der Form dieser Kurve ergibt

• Weil man möchte, dass die Normalverteilung = 0 bedeutet, subtrahiert man 3 und nennt dies den:

  • Korrekturfaktor: Anpassung, die dafür sorgt, dass die Normalverteilung als Referenzwert 0 hat.

• Typen der Wölbung:

  Typ	Beschreibung	Interpretation
  Kurtosis = 0	Normalverteilung	Standardgipfelform
  Kurtosis > 0	Hochgipflig	Steile Verteilung, viele Werte in der Mitte, wenige an den Rändern
  Kurtosis < 0	Flachgipflig	Breite Verteilung, weniger Werte in der Mitte, mehr an den Rändern

Fazit: In der Praxis treten kleine Abweichungen häufig auf – eine exakt „perfekte“ Normalverteilung ist selten. Kurtosis hilft aber zu erkennen, ob eine Variable stark konzentriert oder breit gestreut ist.

Heißt:

• Lagemaße und Streuungsmaße sagen nur Zentrum und Streuung.

• Formmaße zeigen Asymmetrien und Konzentrationen der Daten, z. B. viele extreme Werte oder eine verzerrte Verteilung.

• Relevant für Statistikverfahren, die Normalverteilung voraussetzen, z. B. t-Tests oder Regressionsanalyse.

Konzentrationsmaße

beschreiben die Ungleichverteilung eines metrischen und nicht-negativen Merkmals – klassisch: Einkommen.

Ziel: Wie verteilt sich die Merkmalssumme (z. B. Gesamteinkommen) auf die Merkmalsträger (z. B. Personen)?

Wichtig: Konzentrationsmaße werden nur für metrische und nicht-negative Daten verwendet, z. B.:

• Einkommen

• Vermögen

• Marktanteile

• Unternehmensgröße

Grundidee

• Keine Konzentration: alle Merkmalsträger besitzen denselben Wert.

• Maximale Konzentration: ein Merkmalsträger vereint die gesamte Merkmalssumme auf sich.

• Wichtig: Konzentration = Ungleichheit der Verteilung.

Die drei wichtigsten Konzentrationsmaße

• Lorenzkurve

  • Grafisches Instrument zur Darstellung der relativen Konzentration.

  • je mehr die Kurve „durchhängt“, desto ungleicher

  • Vorgehen:

    • Merkmalsträger nach der Merkmalsausprägung sortieren (aufsteigend).

    • Für jede Position j:

      • Relative kumulierte Häufigkeit: uj=j/n

      • Kumulierte Merkmalswerte: ∑xi​

      • Relativer Anteil an der Merkmalsgesamtsumme: qj=∑xi/xi

      • Uj = x-Kurve und qj = y-Kurve, Punkte verbinden → Lorenzkurve.

      • Vergleichsdiagonale (45°-Linie) zeigt Gleichverteilung.

  • Interpretation

    • Je stärker die Kurve unter der Diagonale liegt (= „durchhängt“), desto ungleichmäßiger die Verteilung.

    • Eigenschaften:

      • Monoton wachsend, da kumulierte Werte.

      • Konvex (nach unten gewölbt).

• Gini-Koeffizient (normiert 0-1)

  • Maß für die Stärke der relativen Konzentration; basiert auf Lorenzkurve

  • Interpretation: Gibt den Anteil der Fläche zwischen Lorenzkurve und Diagonale an der Fläche unter der Diagonale an.

    • 0 = perfekte Gleichheit

    • 1 = maximale Ungleichheit

  • Formel: Summe aus ∑xi/ Summe aus xi

  • Lorenz-Münzner-Maß (normierter Gini)

    • Wird eingesetzt, weil der nicht-normierte Gini vom Umfang n der Merkmalsträger beeinflusst wird.

    • Formel: n + 1 - 2*c (Gini normal) / n - 1

      • Beispiel: 5 Personen + 1 - 2*2,464 / 5-1

        = 0,268 (Normierter Gini

    • Siehe s. 38

  • Kritik

    • Datenbasis verzerrt: basiert oft auf freiwilligen Haushaltsbefragungen → reiche Haushalte unterrepräsentiert → Ungleichheit wird unterschätzt.

    • Unabhängig von n: Gini beachtet nicht die Anzahl der Beobachtungen.

    • Nur relative Ungleichheit:

      • Gibt an, wie die Merkmalssumme verteilt ist,

      • aber nicht wie viele Personen zu welchem Anteil beitragen (absolute Konzentration).

• Herfindahl-Index

  • Maß für die absolute Konzentration.

  • Wertebereich:

    • 1 = ein Merkmalsträger vereinigt alles auf sich

    • 1/n = minimale Konzentration (Gleichverteilung)

  • Anwendungsgebiete:

    • Kartellbehörden: Messung der Marktkonzentration.

    • Politikwissenschaft: Messung der Parteienzersplitterung (niedriger Wert = stark fragmentiert).

Heißt: Konzentrationsmaße sind ein eigener Bestandteil der univariaten Datenanalyse und messen, wie ungleich die Werte einer metrischen, nicht-negativen Variable verteilt sind (z. B. Einkommen), typischerweise mittels Lorenzkurve, Gini-Koeffizient oder Herfindahl-Index

1. Säulen/ Balkendiagramm

   • Voraussetzungen:

     • Nominale und ordinale Variablen

     • Merkmale mit wenigen Ausprägungen

     Darstellung:

     • Säulendiagramm: vertikale Rechtecke

     • Balkendiagramm: horizontale Rechtecke

     • Höhe/Länge entspricht absoluten oder relativen Häufigkeiten

     • Kategorien haben gleiche Breite

     Einsatz:

     • Gute Vergleichbarkeit zwischen Kategorien

     • Beispiel: ALLBUS 2016 – Interesse an Politik

2. Kreisdiagramm

   • Voraussetzungen:

     • Nominalssskalierte Variablen

     • Merkmale mit wenigen Ausprägungen

     Darstellung:

     • Illustration von (relativen) Häufigkeiten durch Kreissegmente, Größe entsprechen den jeweiligen Ausprägungen

     Kritik in der Fachliteratur:

     • Schwere Interpretierbarkeit, da Flächen/Winkel beurteilt werden müssen

     • Gefahr der Täuschung über tatsächliche Häufigkeiten

     • 3D verschlechtert Lesbarkeit zusätzlich

     • Sozialwissenschaftliche Empfehlung: Vermeiden

       • „In keinem vernünftigen Journal werden Tortendiagramme abgedruckt.“ (Plümper 2012)

     Alternative:

     • Säulen- oder Balkendiagramm fast immer vorzuziehen

3. Histogramm

   • Voraussetzungen:

     • Metrische Variablen mit vielen Ausprägungen

     • Besonders bei gruppierten Daten (z.B. Altersklassen, Einkommen)

     Darstellung:

     • Säulen liegen direkt nebeneinander (keine Abstände)

     • Flächentreue: Fläche (Höhe × Breite) ∝ Häufigkeit

     • Gute Erkennbarkeit von

       • Schiefe

       • Symmetrie

       • Steilheit der Verteilung

     Klassenbildung:

     • Empfehlungen für Mindestanzahl von Klassen (Degen 2010):

       • bis 100 Fälle → mind. 10 Klassen

       • ~ 1.000 Fälle → mind. 13 Klassen

       • ~ 10.000 Fälle → mind. 16 Klassen

     • Empfohlen: gleich breite (äquidistante) Klassen

     • Unterschiedliche Klassenbreiten möglich, aber schwerer interpretierbar (Flächenvergleich)

4. Boxplot (Box and Whisker Plot)

   • Voraussetzungen:

     • Metrische Variablen

     • Gute Darstellung von Streuung, Lage und Ausreißern

   • Bestandteile:

     • Box (Rechteck): enthält die mittleren 50 % der Beobachtungswerte

       • Unteres Quartil (Q1): 25 % der Werte liegen darunter

       • Median (Q2): 50 % der Werte liegen darunter bzw. darüber

       • Oberes Quartil (Q3): 75 % der Werte liegen darunter

     • Interquartilsabstand (IQR): Q3 – Q1 → Maß für die Streuung der mittleren 50 %

     • Whiskers (Antennen/Barthaare): Linien, die die Werte außerhalb der Box darstellen

       • Länge max. 1,5 × IQR über Q3 bzw. unter Q1

       • Endpunkte = maximale/minimale Werte innerhalb dieser Grenze

     • Ausreißer: Werte außerhalb der Whiskers

       • SPSS: Kreis = Ausreißer, Stern = Extremwert (> 3 × IQR außerhalb der Box)

       • Stata/R: keine Unterscheidung

   • Darstellung und Interpretation

     • Lage: Median zeigt zentrale Tendenz

     • Streuung: Länge der Box → mittlere 50 % der Daten

     • Symmetrie: Median in der Box → links/rechts gleich verteilt → symmetrisch

     • Ausreißer: erkennbare Punkte außerhalb der Whiskers

     • Vergleich mehrerer Gruppen möglich durch nebeneinanderliegende Boxplots

   • Vorteile:

     • Zeigt Verteilungslage kompakt

     • Einfacher Vergleich mehrerer Gruppen

     • Identifiziert Ausreißer klar

   • Beispiel aus ALLBUS 2016 (Interviewdauer):

     • Median: 55 Minuten

     • Unteres Quartil (Q1): 47 Minuten

     • Oberes Quartil (Q3): 66 Minuten

     • IQR: 66 – 47 = 19 Minuten

     • Ausreißer: z. B. längstes Interview 175 Minuten

     • → 50 % der Interviews dauerten zwischen 47 und 66 Minuten

Bivariate Datenanalyse untersucht den Zusammenhang zwischen genau zwei Variablen. Sie ermöglichen es, Zusammenhangshypothesen zwischen 2 Variablen zu testen.

Grundprinzip:

• Eine Variable ist unabhängig (z. B. Bildung)

• die andere abhängig (z. B. Wahlbeteiligung) sein.

  
  

Bestandteile

1️⃣ Ziele der bivariaten Analyse

• Untersuchung des gemeinsamen Auftretens von zwei Merkmalen.

• Aufdeckung von Zusammenhängen, Abhängigkeiten oder Unterschieden zwischen Variablen.

• Beispiele:

  • Zusammenhang zwischen Bildung der Eltern & schulischem Erfolg der Kinder

  • Zusammenhang zwischen Wahlbeteiligung & Einkommen

  • Zusammenhang zwischen Migrationshintergrund & politischem Wissen

2️⃣ Bestandteile der Analyse

a) Kreuztabelle / Kontingenztafel

• Kombination von zwei Variablen in einer Tabelle

• Ermöglicht eine erste deskriptive Übersicht über Zusammenhänge

• Dient als Basis für die Formulierung von Hypothesen

• Besonders geeignet für nominal- und ordinalskalierte Variablen

b) Zusammenhangs- / Assoziationsmaße

• Quantitative Kennzahlen, die Stärke und Richtung eines Zusammenhangs beschreiben

• Auch genannt: Kontingenz-, Assoziations- oder Korrelationskoeffizienten

• Gebräuchliche Maße:

  • Phi, Cramer’s V, Lambda, C → nominal

  • Spearman’s Rho, Kendalls Tau, Gamma → ordinal

  • Pearson’s r, Eta-Koeffizient → metrisch oder metrisch × nominal

Wichtiger Hinweis:

• Das Skalenniveau der Variablen bestimmt, welches Maß sinnvoll ist.

• Wenn Variablen unterschiedliche Skalenniveaus haben, wird meist das Maß für das niedrigere Skalenniveau gewählt.

3️⃣ Detaillierte Auswahl nach Skalenniveau

4️⃣ Interpretation der Maße

• Pearson’s r / Spearman’s Rho:

  • Vorzeichen → Richtung des Zusammenhangs

    • Positiv: hohe Werte von X ↔ hohe Werte von Y

    • Negativ: hohe Werte von X ↔ niedrige Werte von Y

• Eta-Quadrat (η²):

  • Anteil der Varianz der metrischen abhängigen Variable, der durch die unabhängige nominale Variable erklärt wird

  • Wertebereich: 0–1 → interpretiert als Effektstärke

  • Faustregeln nach Cohen:

    • <0,01 → kein Effekt

    • 0,01–0,06 → kleiner Effekt

    • 0,06–0,14 → mittlerer Effekt

    • ≥0,14 → großer Effekt

5️⃣ Darstellungsmöglichkeiten

• Streudiagramme / Scatterplots:

  • Visualisierung von Zusammenhängen zwischen metrischen Variablen

  • Erste Einschätzung: linear, negativ, nicht-linear, kein Zusammenhang

6️⃣ Begrenzungen bivariater Analysen

• Keine Kausalitätsaussage:

  • Zusammenhang ≠ Ursache → mögliche Drittvariablen können Scheinkorrelationen erzeugen

  • Beispiel: Anzahl Störche ↔ Geburtenrate → Ursache: Bebauungsart des Wohngebiets

• Kausalrichtung statistisch nicht bestimmbar:

  • Theoriearbeit und Hypothesenbildung vor Analyse notwendig

• Erkenntnis:

  • Bivariate Analysen zeigen Zusammenhänge

  • Sie erklären nicht die Ursache des Zusammenhangs

7️⃣ Praxis-Tipps

• Auswahl des richtigen Assoziationsmaßes immer vom Skalenniveau abhängig machen

• Grafische Darstellung (z. B. Kreuztabellen, Streudiagramme) hilft bei der ersten Einschätzung

• Interpretation der Kennzahlen immer im Kontext der Forschungshypothese

Schritt 1

Kreuztabellen (Contingency Tables)

zeigt die Häufigkeiten des gemeinsamen Auftretens von zwei Variablen.

• Spalte: unabhängige Variable

• Zeile: abhängige Variable

• Zellen: Kombinationen der Ausprägungen der beiden Variablen

  • Nominal: Kategorie ohne Rangordnung (z. B. Geschlecht)

  • Ordinal: Kategorie mit Rangfolge (z. B. politisches Interesse)

  • Metrisch: viele Ausprägungen (z. B. Einkommen) → gruppieren nötig, um Kreuztabellen zu erstellen

• Randhäufigkeiten: Summen der Zeilen und Spalten (deskriptiv)

• Relative Häufigkeiten: Prozente ermöglichen bessere Vergleichbarkeit

• Prozentangaben: auf Spaltenbasis → „wenn-dann“-Interpretation

R-Funktion

# Basis R: Kreuztabelle erstellen

table(Variable1, Variable2)

# Relative Häufigkeiten

prop.table(table(Variable1, Variable2), margin=2)

# mit Paket: sjmisc

flat_table(ess9de_m1, wahl, bildung,

margin = c("col")) # = Spaltenprozente

# Zeilenprozente (row)

# Gesamtprozente (cell)

# Mit Paket: descr

CrossTable(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung) #Ausgabe in Console

CrossTable(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung,

prop.c = TRUE, # Spaltenprozente

prop.t = FALSE, # Gesamtprozente

prop.r = FALSE, # Zeilenprozente

prop.chisq = FALSE) # einzelne ChiQuadrat-Anteile

Bei Nominalen: Schritt 2:

Indifferenztabelle (erwartete Häufigkeit)

da kein Zusammenhang zwischen Variablen nachgewiesen wurde bisher, muss das erstmal gezeigt werden:

• Vergleich: beobachtete Häufigkeiten fb(ij) vs. erwartete fe(ij)

• Große Abweichung → höhere Wahrscheinlichkeit für statistische Abhängigkeit

Formel: fe(ij) = Zeilensumme(i) * Spaltensumme (j) / n

Beispiel:

• Beobachtet: 311 Männer „sehr stark politisch interessiert“

• Erwartet: 216,56 Männer

• Differenz = 94,44 → Abweichung deutet auf Zusammenhang

Schritt 3

Chi² - Test (χ²)

Misst, wie stark die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten abweichen.

• Problem: χ² ist stichprobenabhängig, daher schwer vergleichbar zwischen Studien

• Interpretation:

  • χ² ≈ 0 → kein Zusammenhang

  • χ² groß → starker Zusammenhang

• Berechnung mit Tabelle

  1. Spalte: Beobachtete Häufigkeiten (fb + Spalte der Originaltabelle angeben, zB. fbi)

  2. Spalte: erwartete Häufigkeiten (fe + Spalte…)

  3. Spalte Residuen pro Zeile berechnen:

     • Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Häufigkeiten

     • Heißt: wie stark die Realität (beobachtet) von der Nullhypothese (erwartet, wenn kein Zusammenhang besteht) abweicht.

     • fb - fe

  4. Spalte: Residuen pro Zeile quadrieren

  5. Spalte: quadrierte Residuen durch erwartete Häufigkeiten pro Zeile teilen:

     • Residuen (fb - fe)² / (erwartete Häufigk.) fe

  6. Spalte: Summe der Werte aus Spalte 5

     = Chi²

Funktion in R

• chisq.test(Variable1, Variable2)

#Darstellung beobachteter Häufigkeiten und erwarteter Häufigkeiten + Chi, Cramer + phi

• tab_xtab(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung, show.exp = TRUE, show.legend = TRUE)

  
  

Schritt 4

Effektstärke messen durch Phi & Cramer’s V

Phi (Φ)

Zusammenhangsmaß für nominale Merkmale mit nur 2 Ausprägungen - 2x2 Tabellen (dichotome Variablen, auch genannt: 4 Feldertafel)

• Beispiel: Geschlecht (m/w) × Wahlteilnahme (ja/nein)

• Werte: 0 (kein Zusammenhang) bis 1 (vollständige Abhängigkeit)

  • Interpreation wie bei Cramers V

• Formel: Φ = Wurzel aus χ²/n

Funktion in R

• tab_xtab(ess9de_m1$wahl, ess9de_m1$bildung, show.exp = TRUE, show.legend = TRUE)

Cramer’s V

Maß für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei nominal- oder ordinalskalierten Variablen.

• Beispiel:

  • Zwei nominalskalierte Variablen (z. B. Geschlecht × Wahlbeteiligung)

  • Eine nominale Variable und eine ordinale Variable (z. B. Geschlecht × Bildungsgrad)

  • Wichtig: Wenn die Variablen unterschiedliche Skalenniveaus haben, wählt man für Cramér’s V das niedrigere Messniveau.

    • Nominal < Ordinal < Intervall/Metrisch

    • Beispiel 1: Geschlecht (nominal) × Bildungsgrad (ordinal)

      • Nominal = niedrigeres Skalenniveau → Cramér’s V berechnen auf Basis von nominal.

    • Beispiel 2: Familienstand (nominal) × Einkommen (metrisch)

      • Nominal < Metrisch → Cramér’s V für nominales Merkmal → zeigt, wie stark Einkommen durch Gruppenunterschiede erklärt wird.

• Es zeigt nur die Stärke, nicht die Richtung eines Zusammenhangs.

• Wertebereich: 0 bis 1

  • 0 → kein Zusammenhang

  • 1 → perfekte Abhängigkeit (die Merkmale „gehen Hand in Hand“)

• Auch für größere Tabellen (nicht nur 2x2)

Formel: V = Wurzel aus Chi² / n * (M - 1)

• M = kleinere Dimension der Kreuztabelle (entweder Zeilen oder Spalten)

• Der Wert sagt wie stark die beiden Merkmale zusammenhängen (nur „stärker“ oder „schwächer“)

• Beipspiel:

  • Chi-Quadrat χ2=190,46

  • Stichprobengröße n=3490

  • Tabelle 5 Zeilen × 2 Spalten → M=2M

  • V = Wurzel aus 190,46 / 3490 * (2 - 1)

    • = Wurzel aus 190,46 / 3490 ≈ 0,23

Interpretation

0,23 = mittelstarker Zusammenhang zwischen den Merkmalen

Funktionen in R

• CrossTable(var1, var2, expected=TRUE, prop.chisq=TRUE, chisq=TRUE)

#Paket DescTools:

• CramerV(var1, var2)

Zusammengefasst (nominal):

• Indifferenztabelle → Chi² → Phi/Cramér’s V

• Indifferenz zeigt „erwartet ohne Zusammenhang“

• Chi² misst Abweichung von Erwartung

• Phi/Cramér’s V standardisiert das Ergebnis für Vergleichbarkeit

bei ordinalen:

Die Werte haben eine Rangfolge, aber Abstände sind nicht zwingend gleich.

• Beispiele: Bildungsabschluss (niedrig → mittel → hoch), politisches Interesse (sehr niedrig → sehr hoch), soziale Schicht (Unterschicht → Oberschicht)

Ziel: Bestimmung von Richtung und Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei ordinalen Variablen.

Schritt 2:

Rangzuweisung

• Ränge: Position eines Wertes in der geordneten Stichprobe (klein → groß)

• Bindungen (Ties): Mehrere gleiche Werte → Rangmittelwert wird vergeben

  • Beispiel: Zwei Personen mit „Abitur“ → Ränge 4 & 5 → Mittelwert 4,5

Hinweis: Rangkorrelationen ermöglichen Aussagen über Stärke und Richtung, nicht über Kausalität.

Schritt 3

Spearmans Rho (ρ) oder (rsp)

= Rangkorrelationskoeffizient für zwei ordinalskalierte Variablen

• Wertebereich: −1 bis +1

• Interpretation:

  • Positiv → beide Variablen steigen zusammen

  • negativ → gegenläufig, 0 → kein Zusammenhang

• Faustregel:

  • ≤ 0,05 kein Zusammenhang

  • 0,05–0,20 schwach

  • 0,20–0,50 mittel

  • 0,50–0,70 stark

  • >0,70 sehr stark

• Berechnung mit Tabelle:

  • Tabelle zu beiden Merkmalen ausgeben lassen, z.B. Soziale Schicht und Gesundheitszustand

    • Person 1 Mittelschicht(3) GZ schlecht (2)

    • Person 2 Arbeiterschicht(2) GZ sehr schl. (1)

    • Person 3 Oberschicht(5) GZ sehr gut (5)

    • …

  • Rangpositionen überführen: d = X - Y

    • Person 1 (3) (2) (1)

    • Person 2 (2) (1) (1)

    • Person 3 (5) (5) (0)

  • Ränge quadriert summieren: 1² + 1² + 0² = 2

  • Formel ausfüllen: 6 * 2 / 3 (n) * (3² -1) = 12 / 24 = 0,5

  • Interpreation: positiver mittelstarker Zusammenhang zwischen Sozialer Schicht und Gesundheitszustand, sodass, sollte eins von beiden ansteigen, die andere Variable mit ansteigt.

Funktion in R

• cor(as.numeric(ess9de_m1$polint), as.numeric(ess9de_m1$bildung),

  use="complete.obs", method="spearman")

Paket: DecTools

• SpearmanRho(ess9de_m1$polint, ess9de_m1$bildung, use="complete.obs")

  
  

Schritt 4

Kendalls Tau

Alternative zu Spearman für ordinalskalierte Variablen

= Zusammenhangsmaß für mindestens ordinalskalierte Variablen. Es misst die Rangübereinstimmung zwischen zwei Variablen und kann Werte zwischen −1 und +1 annehmen:

• +1: perfekter positiver Zusammenhang (alle Paare steigen zusammen)

• 0: kein Zusammenhang

• −1: perfekter negativer Zusammenhang (eine steigt, die andere sinkt)

Grundidee

Man betrachtet alle möglichen Paare von Beobachtungen und überprüft, ob die Rangfolgen der beiden Variablen gleichgerichtet oder gegenläufig sind.

• Konkordante Paare: Positiver Beitrag <- Rangplätze beider Variablen steigen oder fallen gemeinsam.

• Diskonkordante Paare: Negativer Beitrag <- Wenn Rangplätze gegensätzlich verlaufen (eine steigt, die andere sinkt).

• Verbunden / Bindung (tie): Mindestens eine Variable hat für ein Paar gleiche Werte → spezieller Umgang, wird angepasst

Vorteil: robuster bei Bindungen und großen Stichprob

Beispiel:

Paar 1: Person 1, Person 2…

Die Paare bilden wir immer aus zwei unterschiedlichen Personen:

• (1,2), (1,3), (2,3)

Formel: n*(n-1) / 2 = 3*(3-1) / 2 = 3 Paare

• A & B → X steigt (1→3), Y steigt (2→4) → konkordant ✅

• A & C → X steigt (1→2), Y steigt (2→5) → konkordant ✅

• B & C → X fällt (3→2), Y steigt (4→5) → diskonkordant ❌

Überwiegen konkordante Paare, dann ist es positiv!

Hinweis

• Bei ordinalen Variablen empfiehlt sich ggf. auch eine Kreuztabelle für die deskriptive Darstellung.

• Spearman ist robuster gegen Ausreißer; Kendall besonders bei vielen Bindungen.

Funktion in R

• cor(as.numeric(ess9de_m1$polint), as.numeric(ess9de_m1$bildung),

  use="complete.obs", method="kendall")

bei metrischen:

Wenn zwei Merkmale metrisch skaliert sind (z. B. IQ, Einkommen, Testergebnisse), nutzt man grafische Verfahren und statistische Kennwerte, um Richtung und Stärke ihres Zusammenhangs zu bestimmen. Zentral sind dabei

• Scatterplots (Streudiagramme)

• Kovarianz und

• Pearson’s r (Korrelationskoeffizient)

Schritt 2:

Grafische Analyse: Streudiagramm (Scatterplot)

= Darstellung von Wertepaaren (x, y) in einem Koordinatensystem.

• Zweck: Erste Einschätzung des Zusammenhangs.

• Beispiel: IQ ↗ → Testpunkte im räumlichen Denken ↗ → positiver linearer Zusammenhang.

• Arten von Zusammenhängen:

  • Keine Korrelation: Punkte zufällig verteilt.

  • Positive lineare Korrelation: „Je mehr, desto mehr“ – steigende Punktewolke.

  • Negative lineare Korrelation: „Je mehr, desto weniger“ – fallende Punktewolke.

  • Nicht-linear: z. B. U-förmig oder umgekehrt U-förmig.

Schritt 3:

Kovarianz: unstandardisiertes Zusammenhangsmaß

= Zwischenschritt zur Berechnung von Pearsond R

• Maß für den linearen Zusammehhang zweier Variablenin Form der gemeinsamen Streuung von X und Y an

Berechnung:

• wie weit der jeweilige x- oder y-Wert vom arithmetischen mittel entfernt ist

• Formel: COVxy = Summe aus (Xi - X mit Strich) (Yi - Y mit Strich) / n

Interpretation des Ergebnis:

• positiv → steigen gemeinsam

• negativ → einer steigt, der andere fällt

• ≈ 0 → kein linearer Zusammenhang

• Problem: einheitenabhängig → schwer vergleichbar

Beispiel aus dem Text:

Kovarianz von IQ & Testergebnis = 64,23 → Beide bewegen sich gemeinsam nach oben

Aber: Die Kovarianz ist nur der Rohwert des Zusammenhangs und deshalb schlecht interpretierbar.

Schritt 4:

Pearsons R: Standardidiertes Maß (Korrelationskoeffizient)

= normiertes Maß für die Berechnung der Stärke eines linearen Zusammenhangs von 2 metrischen Variablen.

heißt: Misst die Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs, unabhängig von Maßeinheiten → Pearson’s r ist der standardisierte, aussagekräftige Wert der Korrelation.

• Viele sozialwissenschaftliche Merkmale sind ordinal (z. B. Likert-Skalen 0–10).

• Pseudometrische Variablen in den SW: Wenn ≥ 5 Ausprägungen und ungefähr gleiche Abstände vorliegen → werden sie als metrisch behandelt, sodass Pearson’s r zulässig ist.

  • Beispiele:

    • Likert-Skalen 0–10 (z. B. Lebenszufriedenheit)

    • Gesundheitszustand (kritisch, wenn ungleiche Abstände)

    Achtung: Die metrische Behandlung ist modellabhängig! Bei begründeten Zweifeln → Spearman’s Rho verwenden

• Wertebereich -1 bis 1

Berechnung über Tabelle:

1. Erstelle eine Tabelle mit diesen 5 Spalten:

   • xi → Werte von Merkmal X (z. B. Einkommen)

   • yi → Werte von Merkmal Y (z. B. Lebenszufriedenheit)

   • xi · yi → Produkt aus X und Y

   • (xi)² → X-Werte quadriert

   • (yi)² → Y-Werte quadriert

2. Am Ende addierst du jede Spalte als Randwert

3. Alle Summen anschließend durch n teilen = Mittelwert (x/ y mit Strich)

4. Formel auffüllen (Zähler):

   Mittelwert aus xi * yi MINUS Mittelwert aus xi MAL Mittelwert aus yi

5. Formel auffüllen (Nenner):

   Wurzel aus Mittelwert x² MINUS Mittelwert xi QUADDRIEREN MAL Wurzel aus yi² MINUS Mittelwert yi QUADDRIEREN

Beispiel aus dem Text:

• = 0,22

Einfachere Formel über Kovarianz: r = COVxy / Sx * Sy

Aber:

• Korrelationskoeffizienten zeigen nur, ob Variablen „im Gleichklang“ verlaufen.

• Sie sagen nichts darüber, ob x → y bewirkt oder umgekehrt.

• Mögliche 3. Variablen können nicht ausgeschlossen werden

• = keine kausale Interpretation möglich nur Schein Korrelationen

  auch keine Richtung der Kausalität möglich

• nur je höher, desto wahrscheinlicher… Aussagen möglich

Interpreation des Ergebnis:

• r > 0 → positiver linearer Zusammenhang

• r < 0 → negativer linearer Zusammenhang

• r = 0 → kein linearer Zusammenhang

Faustregel:

• ≤ 0,05 kein Zusammenhang

• >0,05 – 0,20 schwach

• >0,20 – 0,50 mittelstark

• >0,50 – 0,70 stark

• >0,70 sehr stark

Beispiel 1 (IQ & Test):

r = 0,89 → sehr starker positiver Zusammenhang

Beispiel 2 (Einkommen & Lebenszufriedenheit):

r = 0,64 → starker positiver Zusammenhang

Wichtig:

• Pearson’s r misst nur lineare Zusammenhänge.

• r zeigt keine Kausalität → keine Aussage zu x → y oder y → x

• Scheinkorrelationen möglich (dritte Variable).

• Zusammenhang bedeutet nicht Ursache-Wirkung.

• Streudiagramm immer sinnvoll zur visuelle Prüfung (z. B. Nichtlinearität).

Zusammengefasst:

• Streudiagramm → zeigt die Form des Zusammenhangs (visuell)

• Kovarianz → zeigt Richtung (positiv/negativ) des Zusammenhangs , aber keine Stärke

• Pearson’s r → zeigt Richtung und Stärke (präzise interpretierbar)

Funktion in R:

• cor(ess9de_m1$stflife, ess9de_m1$health,

  use = "complete.obs")

• cor.test(ess9de_m1$stflife, ess9de_m1$gesund.num,

  use = "complete.obs")

  • Gibt r und p-Wert aus

  • p < 0,05 → Korrelationskoeffizient statistisch signifikant

  • Signifikanz betrifft nur die Übertragbarkeit, nicht Stärke/Bedeutsamkeit

• Spearman = robuster bei ordinalen bzw. nicht normalverteilten Daten

  • cor(ess9de_m1$stflife, ess9de_m1$gesund.num,

    use = "complete.obs",

    method = "spearman")

Wichtige Hinweise für die Praxis

• Kodierung prüfen! Hohe Werte sollten ein hohes Ausmaß des Merkmals bedeuten → erleichtert Interpretation

• Pearson’s r misst nur lineare Zusammenhänge

• Keine Kausalaussagen möglich

• Bei ordinalen Variablen oder Zweifeln → Spearman’s Rho als Robustheitsprüfung

• Immer zuerst deskriptiv prüfen (Skalen, Verteilung, Kodierung, Ausreißer)

Eta-Quadrat (η²): wenn unabhängige Variable nominal und eine abhängige Variable metrisch

• wird genutzt, wenn:

  • unabhängige Variable (uV) = nominal (z. B. Geschlecht, Familienstand, Migrationshintergrund)

  • abhängige Variable (aV) = metrisch (z. B. Einkommen, Testpunkte, Zufriedenheit)

  Warum kein Pearson’s r?

  • Pearson r erfordert beide Variablen metrisch → Kategorien wie „ledig“, „verheiratet“ haben keine Zahlenabstände

  • Eta² ist das passende Maß für die Kombination nominal – metrisch

• Eta² zeigt, wie viel Prozent der Varianz der abhängigen Variable durch die Gruppen erklärt wird.

• Wertebereich: 0 bis 1

  • 0 → kein Zusammenhang

  • 1 → perfekter Zusammenhang

• Beispiel: η² = 0,53 → „53 % der Varianz werden durch die Gruppen erklärt“

  
  

= Eta-Quadrat als PRE-Maß (Proportional Reduction of Error)

• Grundidee: „Wie sehr verbessert Gruppenwissen meine Vorhersage?“

Schritt 2:

• Man vergleicht zwei Vorhersagen:

  1. Ohne Gruppenwissen

     • Schätzer: Gesamtmittelwert

     • Fehler = E1

  2. Mit Gruppenwissen

     • Schätzer: Gruppenmittelwerte

     • Fehler = E2

  Dann gilt:

  PRE = E1−E2 / E1

  → Diese PRE-Logik = Grundlage von Eta²

SChritt 3:

• Quadratsummen (QS) verwenden

• QS Gesamt

  • Abweichungen aller Werte vom Gesamtmittelwert

  • entspricht E1 (Fehler ohne Gruppenwissen)

  QS innerhalb

  • Abweichungen innerhalb jeder Gruppe

  • entspricht E2 (Fehler mit Gruppenwissen)

  QS zwischen

  • Unterschiede der Gruppenmittelwerte

  • QSgesamt – QSinnerhalb

  
  

• Formel für Eta-Quadrat:

  η2= QS gesamt − QS innerhalb​ / QS gesamt

oder

• η2 = QS gesamt / QS zwischen​

  
  

Schritt 4:

Interpretation nach Cohen

Beispiel (vereinfacht)

Fragestellung: „Erklärt der Migrationshintergrund Unterschiede im politischen Wissen?“

Gruppe A (ohne MH): MW = 12,8 Gruppe B (mit MH): MW = 6,2 → starker Unterschied

Gegeben:

• QS gesamt = 204,5

• QS innerhalb = 95,6

Berechnung:

η2 = 204,5 - 95,6 / 204,5 = 0,53

Interpretation:

• η² = 0,53 → sehr starker Effekt

• 53 % der Varianz im politischen Wissen werden durch den Migrationshintergrund erklärt

Platz von Eta-Quadrat im Vergleich zu anderen Zusammenhangsmaßen

• Nominal – nominal / ordinal – nominal → Cramer’s V

• Ordinal – ordinal / bei Rangdaten → Spearman’s Rho

• Metrisch – metrisch → Pearson’s r

• uV nominal – aV metrisch → Eta-Quadrat

Regel: → „Wähle immer das Assoziationsmaß, das zum niedrigsten Skalenniveau passt“ → Ausnahme: Eta² ist speziell für nominal–metrisch vorgesehen

Was können bivariate Analysen nicht leisten?

• Sie zeigen nur Zusammenhang / Effektstärke – keine Kausalität

• Drittvariablen können Zusammenhänge erklären → Scheinkorrelation

• Statistische Maße allein liefern keine Ursachenanalyse

= das zentrale Analyseverfahren in den Sozialwissenschaften

Regressionsanalyse als Oberbegriff für zahlreiche regressionsanalytische Verfahren, z.B.:

• einmalige Datenerhebung: Querschnittsregression

• mehrmalige Datenerhebung: Panelregression

• hierarchische Daten: Mehrebenenanalyse

Die Wahl des Verfahren ist stets von der Datengrundlage abhängig

Bei der Querschnittsregression entscheidet das Skalenniveau der abhängigen Variable, welches Verfahren angewendet wird:

aV =

• metrisch: lineare Regression

• dichotom: logistische Regression

• ordinal: ordinale Regression

• nominal: multinominale logistische Regression

= Grundmodell der Querschnittsregression

untersuchen, den Einfluss mehrerer unabhängige Variablen (auch: erklärende Faktoren) auf ein abhängiges Phänomen (auch: erklärungsbedürftiges Phänomen).

Das wichtigste Verfahren ist die Regressionsanalyse (lat. regredere: zurückführen auf), die zwei Ziele erfüllen kann:

• Erklären, welchen Einfluss uVs auf die aV haben.

• Vorhersagen, welchen Wert die aV basierend auf uVs annehmen wird.

Beispiel:

• Wahlbeteiligung zurückführen auf: Bildung, Einkommen, politisches Interesse etc. einer Person

• Prognose über eine Schätzung (!) darüber, dass, wenn wir den sozialen Status und das politische Interesse einer Person kennen, wie wahrscheinlich es ist, dass die Person wählen geht.

  
  

Dabei werden verschiedene Begriffe synonym verwendet:

Unterschied zur bivariaten Datenanalyse

• Kausalbeziehungen werden untersucht:

  • Richtung, Ursprung und Stärke eines Einflusses

  • Achtung: keine statistische Perspektive auf Kausalität, sondern Korrelation wird berechnet

• Regressionsanalyse = strukturprüfendes Verfahren, mittels derer sich theoretisch entwickelte Hypothesen über die Beziehungsstruktur zwischen Variablen prüfen lassen

  • Deshalb: Theorien- u. Hypothesenbildung vor Regressionsanalyse zwingend notwendig

Fragen der Regressionsanalyse

• Welchen Eingluss üben einzelne unabhängige Variablen auf eine abhängige aus?

  • Stärke + Richtung des Einflusses

• Wie gut erklären bestimmte unabhängige Variablen eine abhängige insgesamt?

  • = Gesamtgüte des Regressionsmodells*

  • Stichprobendaten (z.B. ALLBUS): Berechnung der statistischen Signifikanz sowohl der Einflussfaktoren, als auhc des Gesamtmodells

Typen von Regressionsanalysen

Welches Regressionsmodell gewählt wird, hängt vom Skalenniveau der abhängigen Variable ab:

• Lineare Regression: metrische aV

• Logistische Regression: dichotome aV

• Multinominale Log. Regression: nominale aV

• Ordinale Regression: ordinale aV

1. Lineare Regression (am häufigsten genutzt)

= Untersuchung eines linearen Zusammenhangs zwischen mindestens einer unabhängigen und einer abhängigen Variable.

• = metrische & psuedometrische mit mind. 5 Ausprägungen und gleich große Wertzuweisungen der Abstände zwischen den Ausprägungen einer Variable

  
  

Beispiel: Lebenszufriedenheit:

• Determinanten der Lebenszufriedenheit = Erklärung der Streuung beobachteter Daten durch das Einkommen (und weiterer Merkmale) entlang der Regressionsgeraden.

• = Regressionsmodell:

  • heißt: wie groß der Eingluss einzelner Faktoren jeweils ist, wie genau Einflussvariablen zusammen die abhängige Variable Lebenszufriedenheit erklären.

    • = Wie gut können diese EInflussfaktoren einzeln und gemeinsam die Höhe der Lebenszufriedenheit bestimmen und damit auch vorhersagen?

Voraussetzungen der linearen Regression

Es müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein (hier nur die wichtigste erwähnt):

1. Linearität: Zwischen uVs und aV muss ein linearer Zusammenhang bestehen (erkennbar z.B. im Streudiagramm).

2. Zufallsstichprobe

   • Damit die Regressionsparameter auf die Grundgesamtheit übertragbar sind, sollte die Stichprobe zufällig gezogen sein.

3. Keine starke Multikollinearität

   • uVs sollten nicht sehr hoch korrelieren (Faustregel: r > 0,9 problematisch).

   • Sonst werden die Schätzungen der Koeffizienten unzuverlässig.

4. Unkorrelierte Residuen

   • Residuen sollen zufällig um 0 schwanken.

   • Sie dürfen nicht miteinander und nicht mit Y korrelieren → sonst sind die Parameter verzerrt.

5. Homoskedastizität

   • Die Residuen sollen eine konstante Varianz über alle X-Werte hinweg haben.

   • Bei Heteroskedastizität werden Standardfehler falsch → Signifikanztests (t, F, p) werden unzuverlässig.

6. Korrekte Modellspezifikation

   • Alle theoretisch relevanten Variablen müssen im Modell enthalten sein.

   • Wichtige Variablen nicht zu berücksichtigen → verzerrte Schätzer.

     
     

Bivariate (lineare) Regression

eine abhängige Variable + eine unabhängige Variable mit mind. intervallskalierten Variablen z.B. Einkommen in EUR

Zu prüfende Hypothese: Je höher das Einkommen ist, desto größer ist die Lebenszufriedenheit.

Regressionstabelle

Schritt 1: Erstellung eines Streudiagramms mit Regressionsgeraden

= lineare Beziehung zwischen 2 Variablen werden mathematisch durch eine Gerade dargestellt

Beispiel: Lebenszufriedenheit = f(Einkommen)

Funktion: y = f(x)

Beispiel: Lebenszufriedenheit = Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse + Steigung der Geraden + Einkommen

Funktion der Regressionsgeraden: y = a + ß * x

aber: es gibt verschiedene Störgrößen

• systematische Fehler: bestimmte Variablen sind noch nicht im Regressionsmodell berücksichtigt

• Beobachtungs- und Messfehler, während der Datenerhebung

• unbekannte Störgrößen

daher, schätzen wir die Regressionsgerade mathematisch, statt sie exakt zu berechnen:

Schritt 2:

Beispiel: geschätzte Lebenszufriedenheit = Schnitt mit y-Achse (x = 0, Konstante) + Regressionskoeffizient ß (Steigung der Geraden zur Vorhersage von y) * Einkommen

Funktion der geschätzten Regressionsgeraden: ^y = a + ß * x

Hier sieht man das Verhältnis von tatsächlich beobachteten Werten (Punkte) und geschätzten Werten (Gerade). Der Raum zwischen beiden nennt sich “Residuumm”

Schritt 3:

Beispiel: Residuum der Lebenszufriedenheit = a + ß * Einkommen + Error = beobachtete Lebenszufriedenheit - geschätzte Lebenszufriedenheit

Regressionsfunktion mit Berücksichtigung der Residuen:

y = a + ß * x + e | e = y - ^y

Um nun die Schätzung bestmöglich zu machen, wird die Gerade gesucht, mit dem min. Abstand zu den beobachteten Messungspunkten. Hierzu wird folgendes Verfahren verwendet:

Schritt 4:

Ordinary Least Square Verfahren (OLS)

= Kleinste-Quadrat-Schätzung (KQ-Schätzung), um den Abstand mathematisch durch Messung des vertikalen Abstands (Residuen oder e) zwischen beobachteten und geschätzten y-Werten zu ermitteln.

Die Berechnung übernimmt ein Statistikprogramm. Im Beispiel ergibt sich eine Regressionsgerade mit folgender Gleichung:

• Beispiel: geschätzte Lebenszufriedenheit = 1,11 gesch. Lebenszufriedenheit + 0,002 Einkommen

• OLS Regressionsfunktionsergebnis: ^y = 1,11 + 0,002x

= Regressionskonstante (a) + Steigung (Regressionskoef. ß)

• Vorzeichen des Regr.Koef. ß bestimmt ob positiver oder negativer Zusammenhang besteht

• Steigung = unstandartisierter Regressionskoeffizient ß!

  • Vorteil: leicht interpretierbar

• Konstante = Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse, wenn x = 0

Interpretation

• Beispiel: Jemand ohne Einkommen (x = 0) hat eine geschätzte Lebenszufriedenheit von 1,11 Punkten und jeder Euro Einkommenszuwachs pro Person einen Zuwachs von 0,002 Punkten der Lebenszufriedneheit erbringt.

• = Ermittlung des kleinsten Abstands zu den qudrierten Fehlern, sowie des Regressionskoeffizienten ß

Anhand der Konstante kann nun mit dem Bestimmtheitsmaß geprüft werden, wie gut die Regressionsgerade die beobachteten Datenpunkte unsgesamt erklärt.

Schritt 5)

Determinationskoeffizient R² = Bestimmtheitsmaß

Erklärung, wie viel Varianz durch das aufgestellte Regressionsmodell erklärt werden kann = die *Güte des Gesamtmodells

• gehört zu sog. PRE-Maßen (Proportiol Reduction of Error), die Auskunft über die prozentuale Verringerung der Fehler durch ein Vorhersagemodell von y geben kann. (ETA² gehört auch dazu)

Berechnung R² am Beispiel:

Anova³ Tabelle

Beispiel: R² = Regression 31,62 / Gesamt 45,88 = 0,6892

Funktion: R² = SSR / SST

Interpretation R²:

• Gütemaß der Regression:

  • 0 bis 1 stellvertretend für 0% bis 100%

    • Wert von 1 = uV trägt 100% zur Erklärung Varianz der aV bei.

    • Wert von 0 = uV trägt nichts zur Erklärung der Varianz aV bei, was auf eine fehlende Integration wichtiger anderer erklärender Merkmale deutet

• Beispiel: ≈ 0,689: Einkommen erklärt ~68,9 % der Varianz der Lebenszufriedenheit in dieser Stichprobe — ein hoher Erklärungsanteil.

• Bei Stichprobendaten, kann mithilfe der multiplen Regression durch das korrigierte R² auch auf statistische Signifikanz getestet werden

Unterscheidung:

R² =

• Anteil der erklärten Varianz der aV.

• Steigt automatisch, wenn man mehr Variablen hinzufügt (selbst wenn unnütz).

Adjusted R² =

• Berücksichtigt die Anzahl uV.

• Wichtigste Größe zur Beurteilung der Modellgüte bei multiplen Modellen

• 
  

• Wenn beide fast gleich sind:

  • Das Modell ist gut spezifiziert → Keine unnötigen Variablen

• Wenn korrig. R² deutlich kleiner ist als R²:

  • Das Modell enthält unnötige Variablen → Es wurde „überfittet“ (zu viel Ballast)

Beispiel Modell für Lebenszufriedenheit:

➡️ R² steigt leicht, weil eine neue Variable dazu kam.

➡️ Aber das korrigierte R² fällt stark → Lieblingsfarbe ist nutzlos.

2.Multiple lineare Regression

erweitert die bivariate Regression, indem mehrere unabhängige Variablen (uV) gleichzeitig genutzt werden, um eine abhängige Variable (aV) zu erklären. Sie ist eines der wichtigsten Analyseinstrumente in den Sozialwissenschaften, weil soziale Phänomene fast immer von mehreren Faktoren gleichzeitig beeinflusst werden.

• Mehrere uV erklären gemeinsam die aV. Beispiel: Einkommen hängt nicht nur von Alter ab, sondern auch von Bildung, Geschlecht, Berufserfahrung.

• Ziel: relevante, theoretisch begründete unabhängige Variablen aufnehmen.

• Zentrale Frage: Welche uV hat den stärksten Einfluss?

  
  

Modelllogik

• Bei 2 uV ergibt sich eine Regressionsfläche, bei mehr als 2 uV hochdimensionale Regression (nicht visuell darstellbar).

• Die Schätzmethode bleibt: Minimierung der quadrierten Abweichungen zwischen Beobachtung (y) und Schätzung (ŷ).

Ziele

• Maximale Erklärung der abhängigen Variable durch mehrere theoretisch relevante Faktoren.

• Schätzung der Richtung und Stärke einzelner Einflussfaktoren — isoliert, also unter Kontrolle aller anderen uV.

• Statistische Signifikanzprüfung:

  • Ist das Gesamtmodell signifikant?

  • Sind die einzelnen Regressionskoeffizienten signifikant?

Berechnung

y = α + β1 ​x1 ​+ β2 ​x2​+⋯+βk​ xk ​ +e

• α: Achsenabschnitt, vorhergesagter Wert von y, wenn alle uV = 0

• β​: Einfluss der jeweiligen uV

• e: Residuum (nicht erklärter Anteil)

Beispiel: Lebenszufriedenheit = α+β1​Einkommen+β2​Gesundheit+β3​Familienstand+β4​Bildung+e

→ Die Regressionsfunktion bildet keine Gerade, sondern eine hyperdimensionale Ebene und lässt sich nur schwer grafisch darstellen

Interpretation

• Unstandardisierte Koeffizienten (b)

  • Zeigen die Änderung der aV bei einer Einheit Änderung der uV.

  • Gute Wahl zur Hypothesenprüfung.

• Standardisierte Koeffizienten (β)

  • Für Vergleichbarkeit der Variablen (Skalenunabhängigkeit).

  • Interpretation: Änderung der aV in Standardabweichungen pro 1 SD in der uV.

  → Nur innerhalb derselben Stichprobe vergleichbar.

Achtung: Wird eine uV in die Regression aufgenommen, werden die anderen konstant gehalten. → Jede β-Schätzung zeigt den bereinigten Nettoeffekt.

• Beispiel: Einkommen, Bildung, Gesundheit gemeinsam → Effekt von Einkommen ist unabhängig davon, wie gesund oder gebildet jemand ist.

Da die lineare Regression formal metrische Variablen erwartet:

• müssen in Dummy-Variablen transformiert werden.

• Bei k Kategorien → (k − 1) Dummies.

• Die Kategorie, die komplett 0 ist, ist die Referenzkategorie.

Beispiel (Familienstand aus ALLBUS):

• Referenz = ledig Dummies: verheiratet, getrennt, geschieden, verwitwet

• Interpretation: β(verheiratet) = Unterschied in Lebenszufriedenheit zwischen Verheirateten und Ledigen.

Dummies für nominale Variablen

• Nominalskalierte Variablen werden in 0/1-codierte Dummy-Variablen umgewandelt. Eine Kategorie wird zur Referenz, auf die sich die anderen beziehen.

  • Beipsiel:

    • Geschlecht (0 = weiblich, 1 = männlich)

    • Wohnort (0 = Land, 1 = Stadt)

Standardisierte Koeffizienten (Beta)

= alles wird auf Standardabweichungen umgerechnet

Da unstandardisierte Koeffizienten β je nach Maßeinheiten schwer vergleichbar sind, nutzt man standardisierte Koeffizienten:

• unstandardisiert bedeutet: Wenn X um 1 Einheit steigt, verändert sich Y um so und soviel Einheiten.

• Bei der Umrechung auf Standardabweichungen lassen sich Variablen direkt vergleichen, welche den stärksten Effekt hat:

  • Werte zwischen −1 und +1

• = direkter Vergleich der Einflussstärken innerhalb eines Modells

  • Aber nicht zwischen verschiedenen Stichproben interpretierbar

Rechenweg:

• ß = unstandardisierter Regressionskoeffizient MAL

• sₓ = Standardabweichung der unabhängigen Variable DURCH

• sᵧ = Standardabweichung der abhängigen Variable

Beispiel:

• Unstandardisiertes ß = 0,5

• SD der unabhängigen Variable (x) = 10

• SD der abhängigen Variable (y) = 20

• = 0,5 *10/20 = 0,5 * 0,5 = 0,25

Interpretation:

• Wenn x um 1 Standardabweichung steigt, steigt y um 0,25 Standardabweichungen.

• Das ist unabhängig von Einheiten und deshalb vergleichbar.

• = standardisierte Koeffizienten

Standardabweichung (SD)

Wie stark streuen die Werte im Durchschnitt um den Mittelwert herum?

• Kleine SD → alle Werte liegen eng beieinander

• Große SD → Werte sind stark verstreut

Schritte zur Berechnung:

1. Mittelwert berechnen (alle Werte addieren und durch Summe teilen)

2. Abweichung des echten Wertes von Mittelwert berechnen in Form einer Tabelle

   Wert	Abweichung
   2	–2,67
   4	–0,67
   4	–0,67
   4	–0,67
   6	+1,33
   8	+3,33

3. Abweichungen pro Zeile quaddrieren um negative Zaheln zu vermeiden (Beispielergebnis: 21,32)

4. Varianz errechnen: Summe der quaddrierten Zahlen und durch Gesamtanzahl teilen (Beispielergebnis: 21,32 / 5 = 4,264

5. Standardabweichung = Wurzel aus Varianz (Beispielergebnis: 2,06

Heißt: Die Standardabweichung misst, wie weit die Werte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt sind – zuerst quadriert (damit es positiv wird), dann wieder zurück „entquadriert“ durch die Wurzel.

BLUE-Annahmen (Gauss-Markov)

Für unverzerrte, effiziente OLS-Schätzer:

1. Linearität

   • Zusammenhang zwischen uV und aV muss (annähernd) linear sein.

2. Zufallsstichprobe

   • Sonst keine Übertragbarkeit auf die Grundgesamtheit.

3. Keine Multikollinearität

   • uVs dürfen nicht extrem hoch korrelieren (r > 0,9 kritischer Bereich).

   • Sonst werden Schätzer instabil.

4. Unkorrelierte Residuen

   • Residuen dürfen nicht miteinander oder mit X korrelieren.

5. Homoskedastizität

   • Residuen haben konstante Varianz.

   • Heteroskedastizität verzerrt Standardfehler → t-Tests unzuverlässig.

6. Korrekte Modellspezifikation

   • Alle relevanten Variablen drin, keine irrelevant oder weggelassen.

   • → theoretische Vorbereitung entscheidend.

OLS ist robust gegenüber milden Verletzungen dieser Annahmen, aber nicht gegenüber starken

Kerneinprägsätze

• OLS liefert Nettoeffekte unter Kontrolle aller anderen Variablen.

• Dummy-Kodierung ist zentral für kategoriale uV.

• Adjusted R² ist entscheidend für Modellbewertung.

• Standardisierte β nur innerhalb der Stichprobe vergleichbar.

• BLUE-Annahmen sichern unverzerrte Schätzungen.

• Regression zeigt Zusammenhang, nicht Kausalität.

Wird verwendet, wenn die abhängige Variable (aV) binär ist (z. B. 0/1, gewählt/nicht gewählt) und dadurch kein linearer Zusammenhang dargestellt werden kann. Statt einer linearen Regressionsgeraden wird eine nichtlineare Regressionskurve geschätzt – die Logit-Funktion.

• Ziel: Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt: P(y=1)

• Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand wählen geht oder rauchen wird

Grundlage ist das Logit, also der logarithmierte Chancenquotient (Odds):

• Logit L = a + ß (+ß + ß + …….)* x

• Beispiel: Wahlbeteiligung = Konstante + Politisches Interesse + Parteienidentifikation + Alter * Anzahl in Jahren

Voraussetzungen der logistischen Regression

• Fallzahl

  • Mindestfallzahl: 50 Fälle (Backhaus; Fromm). Pro Kategorie der binären aV: mind. 25 Fälle.

  • Verlässlichere Ergebnisse ab 100 Beobachtungen.

  • Pro zusätzlicher unabhängiger Variable (uV) sollten +10 Fälle pro Gruppe hinzukommen.

• Skalenniveau muss:

  • aV: binär (dichotom) kodiert.

  • uV: metrisch oder binär-kategorial (durch Dummy-Kodierung)

Probleme lineare Regression mit dichotomer aV

• Wahrscheinlichkeiten größer 1 / kleiner 0

• Residuen sind per Definition heteroskedastisch: die Fehler werden größer, je näher sie sich 0,5 annähert

• Lineare Modellierung ist nicht angemessen: Extrembereiche werden nicht gut interpretierbar abgebildet

Unterschiede:

• Regressionskurve nach -gerade mit typischem s-Verlauf, welche sich zwar den Grenzen 0 und 1 nähert aber sie eben nicht überschreitet

• Statt berechnung der minimalisten Abstände werden Wahrscheinlichkeiten iretativ geschätzt

Schätzverfahren: Maximum-Likelihood (ML)

• statt OLS, kommt das Maximum-Likelihood-Prinzip (MLP).

• = iteratives (Schritt-für-Schritt) Verfahren, das Parameter nach und nach sucht, die die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten maximieren.

• Wird durch ein Statistikprogramm berechnet

• Die Zahl der Iterationen (in R: Number of Fisher Scoring iterations) sollte gering sein (<10). Viele Iterationen → Hinweis auf Modellprobleme (Kohler & Kreuter 2017).

Modellgüte der logistischen Regression

• Fokus: Hypothesenprüfung, durch:

• Devianz (oder -2-Log-Likelihood)

  • misst die Abweichung des Modells von einem perfekten Modell.

  • Auf Basis der ML-Schätzung.

  • Je kleiner die Devianz, desto besser passt das Modell.

  • Begriffspaare:

    • 0 = Null deviance: Devianz des Modells ohne uV (Nullmodell).

    • Residual deviance: Devianz des geschätzten Modells.

  
  

  • Ein Iterationsprotokoll entsteht beim Schätzen einer logistischen Regression, weil die Maximum-Likelihood-Schätzung iterativ also in Schritten arbeitet

    🧩 Aufbau eines (verinfachten )Iterationsprotokolls:

    Iteration	-2 Log Likelihood (Deviance)	Änderung (Δ)
    0	120.0	–
    1	110.5	-9.5
    2	105.2	-5.3
    3	100.0	-5.2
    4	100.0	0.0

    📌 Interpretation Schritt für Schritt

    1. Startwert (Iteration 0)

       • Das Modell beginnt mit einem groben Schätzwert (oft nur Intercept).

       • Die Deviance ist hoch (schlechtes Modell).

    2. Iterationen

       • Mit jeder Iteration wird die Likelihood maximiert → die Deviance sinkt.

       • Die Änderungen (Δ) zeigen, wie stark sich das Modell verbessert.

    3. Konvergenz bedeutet:

       • Die Änderungen zwischen zwei Iterationen werden sehr klein (z. B. < 0.001).

       • Das Modell hat einen stabilen Punkt erreicht, an dem weitere Iterationen keine Verbesserung mehr bringen.

       • Man sagt: Das Verfahren ist konvergiert.

         • Falls keine Konvergenz erreicht wird → das Modell ist nicht zuverlässig, die Schätzung ist problematisch.

       • Das letzte -2LL ist die Modell-Deviance, die du für Gütevergleiche nutzt.

    🎓 Modellgüte beurteilen

    • Vergleich mit Nullmodell:

      • Das Nullmodell (nur Intercept) hat seine eigene Deviance.

      • Die Differenz zur Modell-Deviance wird mit einem Chi²-Test geprüft.

    • Signifikanz:

      • Wenn die Differenz groß genug ist → Modell ist signifikant besser als das Nullmodell.

    • Praktische Faustregel:

      • Je kleiner die End-Deviance, desto besser die Modellgüte.

      • Aber: Immer im Vergleich zum Nullmodell oder zu anderen Modellen interpretieren.

    🧠 Prüfungsstrategie

    Wenn du ein Iterationsprotokoll bekommst:

    1. Schau auf die letzte Zeile → das ist die endgültige Modell-Deviance.

    2. Vergleiche mit dem Nullmodell → Differenz = Modellverbesserung.

    3. Beachte die Konvergenz → wenn die Werte stabil sind, ist das Modell gültig.

    4. Ziehe ein Fazit → „Das Modell hat konvergiert, die Deviance ist deutlich kleiner als beim Nullmodell, daher ist die Modellgüte signifikant verbessert.“

  • Wichtig:

    • Devianz ist fallzahlabhängig → unterschiedliche Modelle nicht direkt vergleichbar.

    • = Grundlage für Pseudo-R²-Maße

• Pseudo R²

  • klassische R²: Anteil der erklärten Varianz.

    • In der logistischen Regression funktioniert das nicht direkt, weil wir keine lineare Varianzzerlegung haben. Stattdessen nutzt man

  • Pseudo-R², da vergleichbare Indikatoren nicht existieren: daher Pseudo-R²-Maße, die auf Veränderungen der Devianz basieren

  • Nicht mit R² der linearen Regression vergleichen (Urban & Mayerl 2018).

  • Gängige Maße

    • Cox & Snell

      • Funktion: 1 - (Likelihood 0 / Likelihood Voll) ²/n

    • Nagelkerke → am häufigsten genutzt (SPSS-Standard)

      • Funktion: cox & Snell - R² / 1 - Likelihood 0 ²/n

    • McFadden → Standard in Stata

      • Funktion: 1- (Likelihood voll / Likelihood 0)

  • Interpretation:

    • Werte zwischen 0 und 1

    • Höhere Werte → besseres Modell

      • Werte größer als o,4 selten zu beobachten

      • Werte zwischen 0,2 - 0,4 = gut

      • Werte unter 0,2 = Hinweis, dass wichtige Einflussgrößen nicht ausreichend berücksichtigt wurden

    • ABER: Sie geben nicht den Anteil erklärter Varianz wieder.

  • Beispiel:

    • Nagelkerkes R² = 0,205

      • viele Sozialforscher interpretieren dies als akzeptabel.

Interpretation der logistischen Regression

1. Logit-Koeffizienten: Steigungsparameter ß

   = geben an, wie sich die logarithmierte Chance (log-odds) verändert, wenn X um eine Einheit steigt

   • = Wie wahrscheinlich es ist, dass jemand zur wahl geht, wenn sich x verändert

   • Wertebereich: −∞ bis +∞

   • Interpretation nur über Vorzeichen:

     • Positiv → Wahrscheinlichkeit steigt

     • Negativ → Wahrscheinlichkeit sinkt

   • Inhaltlicher Betrag ist schwer interpretierbar → nicht überschätzen!

2. Odds Ratio (OR) (Chancenverhältnisse)

   = exponierter Koeffizient (OR) = e^ß

   • Wertebereich: 0 bis +∞

   • Interpretation:

     • OR < 1 → Chance sinkt (negative Effekt)

     • OR = 1 → Chance bleibt gleich

     • OR > 1 → Chance steigt (positiver Effekt)

   • Warnung:

     • OR wirken oft größer, als sie sind.

     • Best & Wolf (2010): empfehlen, OR nicht zur Effektstärkemessung zu verwenden.

     • Empfehlung: Vorzeichen der β-Koeffizienten interpretieren.

Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Um von einer Logit-Chance zu einer tatsächlichen Wahrscheinlichkeit zu kommen benötigen wir folgende Formel:

P = e^Logit / 1 + e^Logit

Beispiel: 50 Jährige Person ohne politisches Interesse ( mit 0 kodiert, daher nicht in Formel aufgeführt) mit geringer Bildung (Zahlen lt. Tabelle im Reader)

Logit L = Konstante -1,99 + 50 Jahre * 0,03 = -0,49

P = 2,718^(-0,49) / 1+ 2,718^(-0,49) ≈ 0,38

→ 38 % Wahrscheinlichkeit einer Wahlteilnahme.

Beispiel 2: 50 Jährige Person mit starkem pol. Interesse und hoher Bildung

Logit L = 1,99 + 50'*0,03 + 2,04 + 1,94 = 3,49

P = e^3,49 / 1+ e^3,49 = 0,97

→ 97 % Wahrscheinlichkeit einer Wahlteilnahme.

Fazit: Die logistische Regression:

• modelliert Wahrscheinlichkeiten bei binärer aV

• nutzt Maximum-Likelihood statt OLS

• braucht Pseudo-R² statt R²

• wird über Devianz, Odds Ratio und Wahrscheinlichkeiten interpretiert

• erfordert besondere Vorsicht bei Interpretation der Koeffizienten

Darstellung in R

neuer Datensatz <- glm( variable ~ koeffizient + koeffizient…, family = binomial (link = logit), Datensatz)

Beispiel: m.wahl1 <- glm( wahl ~ mann + alter + bildung + polint.ja + stfdem, family = binomial (link=logit), ess9_de_m1)

Ausgabe mit: summary(m.wahl1)

PseudoR²

PseudoR2(Datensatz, c(“McFadden”, “CosSnell”, “Nagelkerke”)

PseudoR2(Datensastz, c(“all)

Regressionskoeffizienten und Odds Ratios

Koeffizienten:coef(m_wahl1)

Odds: exp(coef(m_wahl1))

Schöne Regressionstabellen

Mit sjPlot:tab_model():

• transform = NULL: zeigt Logit-Koeffizienten statt Odds Ratio

• show.ci = FALSE: unterdrückt Konfidenzintervalle

• Standardmäßig: Fallzahl + Pseudo-R² nach Tjur.

Grafische Darstellung

Mit plot_model() aus sjPlot:

• Darstellung geschätzter Wahrscheinlichkeiten

• Sehr intuitive Interpretationshilfe

befasst sich mit dem Rückschluss von Ergebnissen aus Zufallsstichproben auf unbekannte Parameter der Grundgesamtheit und ist zentral für das Verständnis sozialwissenschaftlicher Forschung.

Grundidee der Inferenzstatistik

• Ziel: Übertragung von Stichprobenergebnissen auf die Grundgesamtheit

• Ausgangspunkt: Empirische Forschung arbeitet meist mit Zufallsstichproben, nicht mit Vollerhebungen aus:

  • zeitlich, finanziellen, forschungspraktischen Gründen

• Stichprobe = Hilfsmittel, um Aussagen über die eigentlich interessierende Grundgesamtheit zu treffen

Bedeutung der Inferenzstatistik

• Ermöglicht fundierte Rückschlüsse von Stichproben auf Grundgesamtheiten

• Liefert Grundlage für:

  • Konfidenzintervalle

  • Hypothesentests (z.B. t-Test)

• Zentrales Werkzeug zur Bewertung von Unsicherheit empirischer Ergebnisse

Zentrale Probleme:

• tatsächlicher Wert der Grundgesamtheit ist unbekannt

• kein Wissen darüber, ob gezogene Stichprobe gut oder schlecht ist

Resultat:

• Stichprobenfehler = Differenz zwischen Stichprobenkennwert und wahrem Wert der Grundgesamtheit

• Stichproben weichen immer (mehr oder weniger) vom tatsächlichen Wert der Grundgesamtheit ab

• Abweichungen dabei können:

  • unterschiedlich groß sein

  • sowohl Unter- als auch Überschätzungen darstellen

Herausforderungen bei der Arbeit mit Zufallsstichproben:

• Ergebnisse einer Zufallsstichprobe weichen immer vom tatsächlichen Wert der Grundgesamtheit ab (= Stichprobemfehler)

• keine Beurteilung möglich, ob die Abweichung hoch oder niedrig ist, da wir den tatsächlichen Wert der Grundgesamtheit nicht kennen

• Viele Stichproben bieten eine bessere Schätzung des Mittelwertes der Grundgesamtheit als der Mittelwert einer Schätzung, welche aber typisch für die Arbeit in sen SW ist

• Mittelwerte vieler Stichproben streuen ummer um den tatsächlichen Mittelwert der Grundgesamtheit, dabei kann ein Mittelwert einer einzelnen Stichprobe deutlich vom tatsächlichen Mittelwert der Grundgesamtheit abweichen.

Zentrale Konzepte der Inferenzstatistik

Die Inferenzstatistik nutzt zwei Schlüsselkonzepte, um die Herausforderungen zur Schätzung zu umgehen

• Zentraler Grenzwertsatz (ZGS)

  • = Aussagen über die Verteilung von Stichprobenkennwerten (Mittel- und Anteilswerten), welche “normal” um den tatsächlichen Wert der Grundgesamtheit liegen, vorausgesetzt, die jeweilige Stichproben sind ausreichend groß (n > 30)

• Standardfehler

Stichprobenverteilung (Sampling Distribution)

= Theoretische Verteilung aller möglichen Stichprobenkennwerte, wenn man die Stichproben unendlich oft ziehen würde

• Eigenschaften:

  • Erwartungswert = Mittelwert unendlich vieler Stichprobenmittelwerte (wahrer Wert der Grundgesamtheit)

  • Normalverteilung: Streuung der Stichprobenkennwerte ist normalverteilt (bei n ≥ 30)

    • Symmetrisch (Glockenkurve)

    • Mittelwert = Median = Modus (immer in der Mitte)

    • Streuung wird durch Standardabweichung beschrieben

      • = beschreibendes Maß, wie stark Einzelpersonen (-werte) um den Mittelwert streuen

      • erlaubt Aussagen über die Streuung eines Merkmals in der Grundgesamtheit/ Stichprobe

    • Faustregeln:

      • ±1 SD: ca. 68 % der Werte

      • ±2 SD: ca. 95,5 % der Werte

      • ±3 SD: ca. 99,7 % der Werte

    • Beispiel:

      • Mittleres Alter = 50 Jahre

      • Standardabweichung = 20 Jahre

      ➡️ 68 % der Personen sind zwischen:

      • 30 und 70 Jahren (± 1 SD)

      ➡️ 95,5 % der Personen sind zwischen:

      • 10 und 90 Jahren (± 2 SD)

  • Heißt: 95,5 % der möglichen Stichprobenmittelwerte liegen innerhalb von ±2 Standardfehlern um den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.

• Wichtig:

  • In der Praxis meist nur eine Stichprobe

  • Stichprobenverteilung ist ein theoretisches Konstrukt

    
    

Standardfehler (SE)

• Maß für die Genauigkeit einer Schätzung, wie stark Stichprobenmittelwerte um den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit streuen

• = durchschnittliche Streuung von Stichprobenkennwerten um den wahren Wert

• Interpretation:

  • Großer SE → ungenaue Schätzung

  • Kleiner SE → präzise Schätzung

➡️ Abhängig von:

• Varianz des Merkmals

• Stichprobengröße (n)

Formel Standardfehler für Mittelwerte

σ̂ = s* / √n

• s* = korrigierte Standardabweichung der Stichprobe

• n = Stichprobengröße

Beispiel: Tabelle zeigt Minuten von interviewdauer an: Mittelwertes der Stichprobe von 78,70 min, Fallzahl von 2347 Personen und korrigierte Standardabweichung von 23,18 min

• SE Mittelwert = 23,18 / Wurzel aus 2347

• = 23,18 / 48,45

• = 0,48 Minuten

➡️ Größeres n → kleinerer Standardfehler

Formel für Anteilswerte:

σ̂ = √[ p · (1 − p) / n ]

• p = Anteil in der Stichprobe

• n = Stichprobengröße

Beispiel:

• Variable: Parteipräferenz → nominal

• Gesucht: Anteil der CDU/CSU-Wähler in der Grundgesamtheit 1250 Wählenden

• Ablesen aus Säulendiagramm: exemplarisch p = 0,38

Formel:

• Standardfehler P = Wurzel aus (0,38 * 0,62) / 1250

• = Wurzel aus 0,0001885

• = 0,0137 -> SE = 0,014

➡️ bedeutet, dass der in der Stichprobe gemessene Stimmenanteil der CDU/CSU im Durchschnitt um etwa 1,4 Prozentpunkte vom tatsächlichen Stimmenanteil in der Grundgesamtheit abweicht.

Standardfehler bei Stichproben ohne Zurücklegen (Endlichkeitskorrektur)

• Korrekturfaktor: (N − n) / (N − 1)

• Wird mit dem Standardfehler multipliziert

• In der Praxis meist vernachlässigbar, wenn:

  • Grundgesamtheit ≥ 20 × Stichprobe

➡️ In sozialwissenschaftlichen Umfragen fast immer erfüllt

Voraussetzungen für die Berechnung des Standardfehlers

Berücksichtigung von Fehlerquellen: Total Survey Error

1. Einfache Zufallsstichprobe

   • jede Person hat gleiche Chance in Stichprobe aufgenommen zu werden → Standardfehler korrekt.

     • Komplexe Stichproben (z.B. mehrstufig, Random-Route): Standardfehler größer, KIs breiter.

     • Willkürliche Stichprobe (Convenience Sample): Standardfehler/KIs nicht berechenbar.

2. Abdeckungsfehler (Coverage Error) berücksichtigen

   • Overcoverage = Menge an Untersuchungsobjekten, die in die Stichprobe gelangt sind, aber eig. gar nicht zur Grundgesamtheit gehören

     • z.B. Personen jünger als 18 Jahre

   • Undercoverage: Untersuchungsobjekte, die eig. eine Chance haben sollten in der Stichprobe zu sein, aber faktisch nicht ausgewählt werden können

     • z.B. Online-Erhebung fehlender Internetzugang

   • Folgen: größere Standardfehler, unsichere Schätzungen, mögliche Verzerrungen

3. Nonresponse berücksichtigen

   • Arten:

     • Unit-Nonresponse: komplette Ausfälle = keien Informationen zu einer Person

     • Item-Nonresponse: Teilweise fehlende Antworten, Person nimmt an Befragung teilt, beantwortet aber einzelne Fragen nicht

   • Folgen: größere Standardfehler, breitere Konfidenzintervalle, Verzerrungen bei selektiven Ausfällen

   • Lösungen: Gewichtungsverfahren, multiple Imputation

Standardabweichung vs. Standardfehler

• Standardabweichung

  • Streuung der Merkmalswerte (z. B. Alter, Interviewdauer) in Stichprobe oder Grundgesamtheit

  • Deskriptives Maß

  • Beschreibt Heterogenität der Beobachtungen

  • Kaum abhängig von der Stichprobengröße

• Standardfehler

  • Streuung von Schätzwerten (Mittel- oder Anteilswerten) von Stichprobe zu Stichprobe

  • Inferenzstatistisches Maß

  • Misst die Genauigkeit / Unsicherheit einer Schätzung

  • Stark abhängig von der Stichprobengröße → größeres n ⇒ kleinerer Standardfehler

  • Bei Anteilswerten:

    • p≈0,5 ⇒ größter Standardfehler p≈0 oder 1p \approx 0 \text{ oder } 1p≈0 oder 1 ⇒ kleiner Standardfehler

  • Grundlage für Konfidenzintervalle

heißt:

• Standardabweichung beschreibt die Streuung der Daten

• Standardfehler die Unsicherheit der Schätzung.

Zusammengefasst: Inferenzstatistik ermöglicht Rückschlüsse von Stichproben auf Grundgesamtheiten, indem sie Stichprobenkennwerte (z.B. Mittelwert/ Anteilwert) schätzt und mit dem Standardfehler die Genauigkeit dieser Schätzung quantifiziert, also wie genau bzw. wie unsicher diese Schätzung ist.

Schätzungsarten

In der Inferenzstatistik werden unbekannte Parameter der Grundgesamtheit (z.B. Mittelwerte oder Anteilswerte) mithilfe von Stichprobendaten geschätzt. Dabei wird zwischen Punktschätzung und Intervallschätzung unterschieden.

• Punktschätzung: Ein einzelner Wert schätzt den unbekannten Parameter der Grundgesamtheit

• Intervallschätzung: Ein Wertebereich (Intervall) gibt an, wo der wahre Parameter mit bestimmter Sicherheit vermutet wird

Kriterien einer „guten“ Schätzung (nach Fisher)

Ein Schätzer gilt als gut, wenn er folgende Eigenschaften erfüllt:

a) Erwartungstreue (Unverzerrtheit)

• Der Schätzer trifft im Mittel den wahren Wert der Grundgesamtheit

• Bei unendlich vielen Stichproben entspricht der Mittelwert der Schätzungen dem wahren Parameter

b) Effizienz

• Maß für die Präzision einer Schätzung

• Je kleiner der Standardfehler, desto effizienter der Schätzer

c) Konsistenz

• Mit wachsender Stichprobengröße nähert sich der Schätzer dem wahren Wert an

• Abweichung zwischen Schätzung und Populationsparameter wird kleiner

d) Suffizienz

• Der Schätzer nutzt alle relevanten Informationen der Stichprobe

Punktschätzung

• Schätzung eines unbekannten Parameters durch einen Stichprobenkennwert

• Typische Beispiele:

  • Mittelwert der Stichprobe → Mittelwert der Grundgesamtheit

  • Anteilswert der Stichprobe → Anteilswert der Grundgesamtheit (z.B. Sonntagsfrage)

• Vorteil: einfach, anschaulich

• Nachteil: Stichprobenfehler wird nicht sichtbar gemacht

  
  

Schätzer für Mittelwerte

• Wahrer Mittelwert der Grundgesamtheit: µ

• Punktschätzer: µ̂ = x̄ (Mittelwert der Stichprobe)

Formel: µ̂ = x̄ = (1/n) · Σ xᵢ

• Der Stichprobenmittelwert ist ein:

  • erwartungstreuer

  • effizienter

  • konsistenter Schätzer für µ

Schätzer für Anteilswerte

• Wahrer Anteilswert der Grundgesamtheit: θ

• Punktschätzer: θ̂ = p (Anteilswert der Stichprobe)

• Typische Anwendung: Wahl- und Meinungsumfragen

• Auch p ist ein erwartungstreuer und konsistenter Schätzer

Schätzer für Varianz und Standardabweichung

• Empirische Varianz (s²) und Standardabweichung (s):

  • unterschätzen systematisch die Streuung der Grundgesamtheit

• Korrigierte Varianz und Standabweichung:

  • s*² bzw. s*

  • Division durch (n − 1) statt durch n

➡️ Korrigierte Varianz/Standardabweichung = erwartungstreuer Schätzer der Populationsstreuung

> Intervallschätzung

• Gibt einen Bereich an, in dem der wahre Parameter der Grundgesamtheit liegt

• Dieser Bereich heißt Konfidenzintervall (Vertrauensintervall)

• Vorteil: macht die Unsicherheit der Schätzung sichtbar

  
  

Konfidenzintervalle

• Basieren auf:

  • Zentralem Grenzwertsatz

  • Standardfehler

• Interpretation:

  • Der wahre Parameter liegt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Intervall

• Formel: Egal ob Mittelwert oder Anteilswert:

  Konfidenzintervall = Schätzwert ± Sicherheitsfaktor · Standardfehler

  • KI = Schätzer +- z * SE

  • Beispiel:

z-Wert Konfidenzintervalle:

• 95 %-KI: ± 1,96 · Standardfehler

• 99 %-KI: ± 2,58 · Standardfehler

• 99,9 %-KI: ± 3,29 · Standardfehler

Konfidenzintervalle für Mittelwerte

= beschreibt die Streuung der Stichprobenmittelwerte

benötigt werden:

• Stichprobenmittelwert xˉ

• Standardfehler des Mittelwertes

  • SE xˉ = korrigierte Standardabweichung s* / Wurzel aus n

• Formel: Stichprobenmittelwert xˉ +- z-Wert * SExˉ

• Beispiel: n = 3467, MW einer Altersvariable ist 49,02 Jahre und der Standardfehler ist mit 17,55 angegeben, mit 95% KI:

  • SExˉ = 17,55 / Wurzel aus 3467 = 0,298

  • KI = 49,02 +- 1,96 * 0,298

  • = 49,02 +- 0,58

  • = untere Grenze: 48,44 Jahre

  • = obere Grenze: 49,60 Jahre

Interpretation:

• Mit einer Sicherheit von 95 % enthält das Konfidenzintervall den wahren Wert der Grundgesamtheit.

  • Für unsere Stichprobe liegt das Intervall zwischen 48,44 und 49,60 Jahren.“

• „Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % enthält das Konfidenzintervall den wahren Wert der Grundgesamtheit

  • Für unsere Stichprobe liegt das Intervall zwischen 48,44 und 49,60 Jahren.“

Konfidenzintervalle für Anteilswerte

= Streuung der geschätzten Anteile von Stichprobe zu Stichprobe

• größte Unsicherheit bei p = 0,5

benötigt werden:

• Anteilswert p

• Standardfehler des Anteilswertes

  • SEp = Wurzel aus (p*(1-p) / n)

  • Beispiel: Wurzel aus (0,4 * (1- 0,4) / 1000 Befragte

  • = Wurzel aus 0,4 * 0,6 / 1000

  • = 0,015

• Formel: KIp = p +- z-Wert * SEp

• Beispiel: Anteilswert der Tigerpartei: 0,4, Standardfehler des Anteils 0,015 bei KI 95%

  • 0,4 +- (1,96 * 0,015)

  • = 0,4 +- 0,029

  • Untere Grenze = 0,371

  • Obere Grenze = 0,429

Interpretation:

• Mit einer Sicherheit von 95 % liegt der Wahre Anteil der Tigerpartei in der Grundgesamtheit zwischen 37,1 % und 42,9 %

• Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% beinhaltet das KI den tatsächlichen Wert der Grundgesamtheit, der zwischen 37,1 % bis 42,9 % liegt.

Bedeutung für die Forschungspraxis

• Punktschätzung: liefert einen konkreten Schätzwert Punktschätzung sagt: wo der Wert liegt

• Intervallschätzung: zeigt die statistische Unsicherheit Intervallschätzung sagt: wie sicher wir uns sind

• Konfidenzintervalle verhindern Überinterpretation kleiner Unterschiede (z.B. in Umfragen)

  • Standardfehler bestimmt die Breite des Konfidenzintervalls

Konfidenzintervalle lassen sich nicht nur zur Angabe der Unsicherheit von Stichprobenwerten nutzen, sondern auch, um vor der Erhebung die erforderliche Stichprobengröße zu berechnen.

Berechnung der benötigten Fallzahl

• Ziel: Bestimmung der Stichprobengröße n, um einen Populationsanteil p mit vorgegebenem Konfidenzniveau und Stichprobenfehler abzuschätzen.

• Formel bei großer Grundgesamtheit:

  • n = (Konfidenzniveau * Wurzel aus p *(1-p) / Stichprobenfehler) ²

    • Konfidenzniveau: z.B. 1,96 (95 %) oder 2,58 (99 %)

    • p = vermuteter Anteilswert des Merkmals (0–1)

    • Stichprobenfehler: z.B. ±3 % oder ±5 %

• Beispiel:

  • 95 %-Konfidenz, ±3 % Stichprobenfehler, p=0,5, Grundgesamtheit = wahlberechtigte Bevölkerung

  • n = (1,96 * Wurzel aus (0,5 * 0,5) / 0,03) ²

  • = 1067 Befragte werden für eine +- Genauigkeit benötigt

Signifikanztests sind zentrale Verfahren der quantitativen Sozialforschung

• Ziel: Hypothesen prüfen

Reminder –

• Hypothesen = Begründete, falsifizierbare Aussagen über Zusammenhänge zwischen mind. 2 Merkmalen, die sich auf eine Grundgesamtheit beziehen.

👉 Da die Grundgesamtheit nicht vollständig beobachtbar ist, erfolgt die Prüfung über Zufallsstichproben, die immer Stichprobenfehler enthalten.

Wichtige Unterscheidung

• Signifikanz allgemein: Bedeutsamkeit / Wichtigkeit eines Merkmals

• Statistische Signifikanz: → Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Ergebnis zufällig entstanden ist?

❗ Wichtig: Statistische Signifikanz ≠ Stärke, Relevanz oder inhaltliche Bedeutung eines Effekts.

➡️ Ein Ergebnis ist signifikant, wenn die Wahrscheinlichkeit gering ist, dass es nur zufallsbedingt zustande kam.

Grundidee von Signifikanztests

• Prüfen, ob ein Unterschied oder Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen

  • zufällig ist oder

  • mit hoher Wahrscheinlichkeit auch in der Grundgesamtheit existiert

• Ergebnis ist signifikant → Übertragbarkeit auf die Grundgesamtheit (mit Irrtumswahrscheinlichkeit)

  
  

Untersuchungsformen

Experiment

• Zufällige Zuweisung zu Experimental- und Kontrollgruppe

• Manipulation durch ein Treatment

• Vergleich der Mittelwerte beider Gruppen

Nicht-experimentell (z. B. ALLBUS, ESS)

• Rückschluss von einer Zufallsstichprobe auf eine unbekannte Grundgesamtheit

Man kann Signifikanzen:

Schätzen

• Stichprobenwert → unbekannter Parameter der Grundgesamtheit

• z.B Konfidenzintervalle

Testen

• Prüfung einer Hypothese über die Grundgesamtheit durch die Nullhypothese (H₀)

  • t-Test: Mittelwertvergleiche

  • Chi²-Test: Abweichung beobachteter von erwarteten Häufigkeiten (Zusammenhänge nominaler Variablen)

  • F-Test: Prüfung Gesamtgüte eines Regressionsmodells

Signifikanztests – allgemeines Prinzip

1. Berechnung einer empirischen Prüfgröße (z. B. t)

2. Vergleich mit einem theoretischen kritischen Wert

   • aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

     • Normal-Verteilung

     • t-Verteilung

     • Chi²-Verteilung

     • F-Verteilung

3. Empirischer Wert > kritischer Wert → signifikant

Signifikanzniveaus & p-Werte

Signifikanzniveau (α)

• Maximal erlaubte Irrtumswahrscheinlichkeit beim Verwerfen von H₀

p-Wert

• Wahrscheinlichkeit, den beobachteten (oder extremeren) Effekt zu erhalten, wenn H₀ gilt

  • = Wie wahrscheinlich ist es, dass der beobachtete Effekt rein zufällig entstanden ist?

• kleiner p-Wert → Ergebnis wahrscheinlich nicht zufällig

  • = Der gefundene Einfluss ist wahrscheinlich nicht zufällig und kann (mit Irrtumswahrscheinlichkeit) auf die Grundgesamtheit übertragen werden

Entscheidungsregel

• p < α → H₀ verwerfen, H₁ vorläufig akzeptieren

• p ≥ α → H₀ beibehalten, H₁ verwerfen

  
  

Vier Schritte eines allgemeinen Signifikanztests

1️⃣ Hypothesen formulieren

• Forschungshypothese (H₁): z. B.: Lebenszufriedenheit unterscheidet sich zwischen Männern und Frauen

• Nullhypothese (H₀): kein Unterschied / kein Zusammenhang z.B. Kein Unterschied in der Lebenszufriedenheit zwischen Männern und Frauen

• Getestet wird immer H₀

Hypothesenpaar: H1 vs. H0

• Ungerichtet (zweiseitig): keine Richtung

• Gerichtet (einseitig): Richtung explizit festgelegt

2️⃣ Geeignete Teststatistik wählen

Abhängig von:

• Skalenniveau

• Art der Stichprobe

  • Abhängige Stichproben:

    • gleiche Personen mehrfach befragt (z. B. Panel)

    • logisch verbundene Paare (z. B. Ehepartner, Eltern–Kind)

  • Unabhängige Stichproben:

    • keine Beziehung zwischen den Personen

    • typische Umfragen (ALLBUS, ESS)

• Datenstruktur der Varianzen

  • Varianz = Streuung der Werte um den Mittelwert

  • Große Varianz → Werte stark verteilt

  • Kleine Varianz → Werte liegen eng beieinander

  • Arten:

    • Varianzhomogenität: Streuung ist in beiden zu vergleichenden Gruppen (ungefähr) gleich

      • (nur bei unabhängigen Stichproben)

      • Varianzen unterscheiden sich nicht signifikant

        • Nullhypothese: Varianzen sind gleich

      • Annahme vieler klassischer t-Tests

    • Varianzheterogenität: Varianzen der zu vergleichenden Gruppen unterscheiden sich deutlich

      • = Eine Gruppe streut viel stärker als die andere

      • Klassischer t-Test wäre problematisch

        • t-Test für ungleiche Varianzen verwenden

        • Beispiel:

          • Frauen: Varianz = 0,8

          • Männer: Varianz = 4,5 → sehr unterschiedlich → heterogen

Viele klassische Signifikanztests setzen Varianzhomogenität voraus, z. B.:

• Prüfung in R/ SPSS automatisch ausgegeben:

  • z. B. Levene-Test oder Bartlett-Tes

    • Formel in R aus dem car-Paket: leveneTest(abhängige Variable ~ Gruppierungsvariable, Datensatz, + center = mean)

    • Levene-Test auf Basis der Abweichungen vom arithmetischen Mittel (Standardvariante)

    • Beispiel:

      • leveneTest(stflife ~ mann, ess9de_m1, center = mean)

      • leveneTest(stfdem ~ polint.ja, ess9de_m1, center = mean)

    • Ergebnis: Nullhypothese: Varianzen sind gleich (Varianzhomogenität)

    • Signifikantes Ergebnis (p < 0,05):

      • Varianzhomogenität wird verworfen

      • → Varianzheterogenität annehmen

3️⃣ Signifikanzniveau festlegen

• Konservatives Vorgehen P = 0,05 / 0,01

• Heißt:

  • p < α → H0 verwerfen, H1 vorläufig akzeptieren

  • p ≥ α → H0 beibehalten

4️⃣ Teststatistik berechnen & Entscheidung treffen

• Wichtigsten Testverfahren

  • t-Test: Mittelwertvergleiche

  • Chi²-Test: Abweichung beobachteter von erwarteten Häufigkeiten (Zusammenhänge nominaler Variablen)

  • F-Test: Prüfung Gesamtgüte eines Regressionsmodells

T-Tests

Grundlogik:

• Prüft, ob sich Mittelwerte der Kontroll/ ExperimentalGruppe zufällig unterscheiden

• Keine Aussage über inhaltliche Bedeutsamkeit

Voraussetzungen

• einfache Zufallsstichproben

• (Pseudo-)metrische Variablen

• Merkmale in der Grundgesamtheit normal verteilt

  • z.B. durch Lilifors-Test

• Fallzahl ca. ≥ 30

• Bei unabhängigen Stichproben: Varianzhomogenität

Bestandteile:

t-Verteilung (William Sealy Gosset („Student“, 1908)

ist eine theoretische Verteilung der Prüfgröße t und wird für Signifikanztests (z. B. t-Test) benötigt. Sog. Freiheitsgrade (df) sind ein Parameter der t-Verteilung und bestimmen Form und Streuung der Verteilung

👉 Für jede Anzahl von Freiheitsgraden gibt es eine eigene t-Verteilung.

• Wenige Freiheitsgrade:

  • t-Verteilung ist flacher

  • hat breitere Enden

  • höhere kritische t-Werte

• Viele Freiheitsgrade:

  • t-Verteilung nähert sich der Standardnormalverteilung

  • ab ca. df ≥ 30 kaum noch Unterschied sichtbar

  • bei df → ∞ identisch mit der Normalverteilung

• Ab df ≈ 30 kaum Unterschied

Freiheitsgrade (degrees of freedom df)

= Anzahl der Werte, die frei variieren können, ohne ein statistisches Ergebnis zu verändern

• Bestimmen Form der t-Verteilung

• Beispiel Mittelwert: bei 3 Werten sind 2 frei

Auswahl des passenden Signifikanztests

• Einseitig: gerichtete Hypothese „Frauen haben höhere Lebenszufriedenheit als Männer“

• Zweiseitig: ungerichtete Hypothese „Lebenszufriedenheit unterscheidet sich zwischen Männern und Frauen“

Beispiele

Beispiel Berechnung des t-Test bei unabhängigen Stichproben mit homogener Varianz

Variablen: Erhebungsort: Alte Bundesländer, neue Bundesländer und Lebenszufriedenheit (ps

eudometrische Skala von 0 - 10)

Schritt 1: Komplementäre Hypothesen formulieren

• H0 = kein signifikanter Unterschied zwischen den Mittelwerten der Lebenszufriedenheiten zwischen Ost- und Westdeutschland

• H1 = signifikanter Unterschied zwischen den Mittelwerten der Lebenszufriedenheiten zwischen Ost- und Westdeutschland

Schritt 2: Berechnung der Prüfgröße T

• Stichprobenumfang:

  • Westdeutschland: n1 = 20

  • Ostdeutschland n2 = 10

• Mittelwert

  • West x1 = 7,9

  • Ost x2 = 7,4

• Korrigierte Varianz

  • West Si² = 2,5

  • West Sj² = 3,5

Formel: Mittelwert 1 - Mittelwert 2 / Wurzel aus Bruch

• (n1 - 1) * korrigierte Varianz1 + (n2 -1) * korr. Var. 2

• n1 + n2 - 2

• (1/ n1 + 1/n2)

Mit Zahlen:

• 7,9 - 7,4 (Mittelwert 1 - Mittelwert 2)

  • = 0,5 (Ergebnis oberer Nenner)

• (20 - 1) * 2,5 + (10 - 1) * 3,5 / 20 + 10 - 2

  • = 47,5 * 31,5 / 28

  • =2,82

• 2,82 * (1/ 20 + 1/10)

  • 2,82 * 0,15

  • = 0,423

• Wurzel aus 0,423

  • = 0,650 (Ergebnis unterer Nenner)

• 0,5 / 0,650

• Prüfgröße T = 0,769

Schritt 3: Bestimmung des kritischen t-Werts

• Signifikanzniveau = 5% = 0,05 (üblicher Wert)

• Freiheitsgrade df = n1 + n2 - 2 = 28

• Tabelle zeigt Anzahl an t-tests, relevant ist Ergebnis der df:

  • 0,05 = 2,048

  • 0,01 = 2,763

• = kritischer T-Wert

Schritt 4: Interpretation

• Vergleich:

  • Prüfgröße T = 0,769

  • Tkrit = 2,048

• = Prüfgröße T < T krit

  • = H0 wird angenommen, H1 verworfen

  • = kein signifikanter Unterschied zwischen den Mittelwerten der Lebenszufriedenheiten zwischen Ost- und Westdeutschland

Beispiel Berechnung t-Test bei unabhängiger Stichprobe mit heterogener Varianz

Variablen: Frauen, Männer und Zufriedenheit mider Demokratie 0 - 10

Schritt 1: Komplementäre Hypothesen formulieren

• H0: Die Zufriedenheit mit der Demokratie unterscheidet sich nicht zwischen den Geschlechtern

• H1: Die Zufriedenheit mit der Demokratie unterscheidet sich zwischen den Geschlechtern

• 2- Seitiger Hypothesentest mit Signifikanzn. 0,05

Schritt 2: Berechnung der Prüfgröße T

• Stichprobengröße:

  • Frauen n1 = 30

  • Männer n2 = 20

• Arith. Mittel:

  • Frauen x1 = 7,0

  • Männer x2 = 6,8

• Korrigierte Varianz:

  • Frauen s1 = 2,0

  • Männer s2 = 1,0

Formel: x1 - x2 / Wurzel aus (s1 /n1) + (s2 / n2)

Mit Zahlen:

• 7,0 - 6,8

  • = 0,2 (Ergebnis oberer Nenner)

• 2/30 + 1/ 20

  • = 7/60

• Wurzel aus 7/60 ziehen

  • = 0,34 (Ergebnis unterer Nenner)

• 0,2 / 0,34 = 0,59

• Prüfgröße T = 0,59

  • auch: empirischer t-Wert

Schritt 3: Bestimmung des kritischen t-Werts

• Signifikanzniveau = 5% = 0,05 (üblicher Wert)

• Freiheitsgrad df:

  • oberer Nenner: (s1/ n1 + s2 / n2)²

  • unterer Nenner: 1/ n1 - 1 * (s1 / n1)² + 1/ n2-1 * (s2 / n2)²

• = 47,79

• Immer abrunden: df = 40

• Tabelle ablesen: 2,021

  
  

Schritt 4: Interpretation

• Vergleich:

  • Prüfgröße T = 0,59

  • Tkrit = 2,021

• = Prüfgröße T < T krit

  • = H0 wird angenommen, H1 verworfen

  • Die Zufriedenheit mit der Demokratie unterscheidet sich nicht zwischen den Geschlechtern

    
    

Aber: Statistische Tests garantieren keine fehlerfreien Entscheidungen

Fehlerarten bei Hypothesentests

Hypothesentests treffen auf Basis einer Stichprobe eine Entscheidung über Aussagen zur Grundgesamtheit. Da Stichproben zufällige Stichprobenfehler enthalten, sind Fehlentscheidungen möglich.

Alpha-Fehler (Fehler 1. Art)

• Falsch positiv

• Wahrscheinlichkeit = α (z. B. 5 %)

Beta-Fehler (Fehler 2. Art)

• Falsch negativ

• Abhängig von:

  • Effektgröße

  • Stichprobengröße

❗ Trade-off: Alpha und Beta stehen in einem gegenläufigen Verhältnis

• Strengere Tests ↓ α-Fehler, ↑ β-Fehler

• Forschungspraxis: Effektstärken oft nicht präzise spezifiziert -> Fokus liegt meist auf dem α-Fehler

🔑 Merksätze

• Statistisch signifikant ≠ inhaltlich bedeutsam

• Signifikanztests liefern keine sicheren Wahrheiten

• Ergebnisse immer inhaltlich interpretieren