Was bedeutet ein ungerader Grad für den Globalverlauf?
Diagonaler Verlauf
Was bedeutet ein grader Grad für den Globalverlauf?
beide Enden gleich gerichtet
Was entscheidet der Leitkoeffizient a für den Globalverlauf?
Ob der Graph nach oben (positiv) oder unten (negativ) zeigt
Wie ist der Globalverlauf bei ungeradem Grad und positivem a?
Kommt aus dem ||| Quadranten und geht in den |
Welchen Globalverlauf hat der Graph bei ungeradem Grad und negativem a?
Kommt aus dem || Quadranten und geht in den |V
Welchen Globalverlauf hat der Graph bei geradem Grad und positivem a?
Kommt außer || Quadranten und geht in den |
Welchen Globalverlauf hat der Graph bei geradem Grad und negativem a?
Kommt aus dem ||| Quadranten und geht in den |V
Was gibt die Zahl des höchsten Exponenten an?
Die Höhe des Grads
Welche Symmetrieeigenschaft ist es wenn alle Exponenten ungerade sind?
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Welche Symmetrieeigenschaft ist es wenn alle Exponenten gerade sind?
Achsensymmetrie zur y-Achse
Welche Symmetrieeigenschaft ist es wenn alle Exponenten ungerade und gerade sind?
Keine Symmetrie
Welchen Exponenten haben die Zahlen ohne Variable?
0
Was besagt ein -m/+m/m=0 bei der mittleren Änderungsrate?
m gibt die Steigung zwischen 2Punkten an
bei +m nimmt der Funktionswert zu
bei -m nimmt der Funktionswert ab
bei m=0 ändert sich der Funktionswert im Intervall nicht
Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate?
Funktionsgleichung & Intervall notieren
Funktionswert an Grenzen berechnen
m mit den Punkten berechnen
m notieren
Was besagt die lokale Änderungsrate?
Sie gibt die Steigung an einem bestimmten Punkt an
+ l.Ä = steigender Graph
- l.Ä = fallender Graph
l.Ä = 0 = horizontaler Verlauf
Wie berechnet man die lokale Änderungsrate?
Funktionsgleichung & Stelle notieren
erste Ableitung
x-Wert in erste Ableitung einsetzen
lokale Änderungsrate notieren
Wobefinder sich welcher Quadrant?
Wie berechnet man Extrempunkte mit dem Vorzeichenwechselkriterium?
Funktionsgleichung notieren
erste Ableitung f´(x) bilden (=Steigung)
Nullstellen von f´(x) berechnen (x-Werte der Extrempunkte xE)
Vorzeichenwechsel von f´(x) an den x-Werten prüfen
XE-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzen (=y-Wert yE)
HP & TP notieren
Welche Steigung haben Extrempunkte?
f’(x)=0
Wenn die Steigung 0 ist aber kein Vorzeichenwechsel da ist, ist es…?
Kein Extrempunkte
Wenn xE der zweiten Ableitung unter 0 ist….?
Handelt es sich um einen Tiefpunkt
Wie berechnet man den Wendepunkt mit dem Vorzeichenwechselkriterium?
Erste und zweite Ableitung bilden
Nullstellen von zweiter Ableitung notieren (xw Werte der Wendepunkte)
Vorzeichenwechsel von zweiter Ableitung an den x-Werten prüfen
prüfe ob f’(xw) ungleich Null (ungleich= Wendepunkt/ =0= Sattelpunkt)
Xw-Werte in Ausgangsfunktion einsetzen(=yw)
Wendepunkte und Sattelpunkte notieren
Wie ist die Steigung beim Sattelpunkt?
Steigung = 0
Wie ist die Steigung beim Wendepunkt?
Steigung ungleich 0
Wie ist die Krümmung bei Wendepunkt und Sattelpunkt?
Immer 0
Kein Wendepunkt wenn…?
Kein VZW von f’’(x)
Wie nennt man einen TP und einen HP auch?
TP: lokales Minimum
HP: lokales Maximum
Was sind Wendepunkte?
Dort ändert der Graph die Krümmung, von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt
Warum ist ein Wendepunkt kein Extrempunkt?
Der Graph ändert seine Steigrichtung beim Wendepunkt nicht
Wie beschreibt man das Steigen und Fallen?
von -unendlich bis x= … fällt/steigt der Graph (Steigung negativ/positiv)
bei x=… besitzt der Graph einen HP/TP (Steigung=0)
von x=… bis +unendlich steigt/fällt der Graph (Steigung positiv/negativ)
Wie beschreibt man das Krümmungsverhalten?
von -unendlich bis x=… ist der Graph links/rechts gekrümmt (Linkskurve/Rechtskurve)
bei x=… besitzt der Graph einen WP (Krümmung=0)
von x=… bis +unendlich ist der Graph links/rechts gekrümmt (Linkskurve/Rechtskurve)
Was zeigt die Steigungsfunktion?
Wie stark die Funktion an einer Stelle steigt/fällt
Was zeigt die Krümmungsfunktion?
wie die Funktion gekrümmt ist (Linkskurve/Rechtskurve)
Wie berechnet man y-Koordinaten 3/4 Grades?
wie Quardatische Funktioneb:
1. Funktionsgleichung & P notieren
x einsetzen
berechnen
P notieren
Wie viele selbe y-Koordinaren können x-Koordinaten 3. Grades haben?
1-3
Wie viele selbe y-Koordinaren können x-Koordinaten 4. Grades haben?
0-4
Wie berechnet man die x-Koordinaren 3/4 Grades?
Funktionsgleichung und p notieren
Funktion mit y-Koordinate gleichsetzen
nach 0 auflösen (verschobene Funktion v)
NST mit TR Protokoll
Wie viele Schnittpunkte haben Funktionen 3. Grades?
Max 3
Wie viele Schnittpunkte haben Funktionen 4. Grades?
Max 4
Wie berechnet man Schnittpunkte?
Funktionsgleichungen notieren
Funktionsgleichungen gleichsetzen
Nach 0 auflösen (Differenzfunjtion d)
NST von d mit TR Pritokoll (=Xsp)
X-Werte in Funktionsgleichung einsetzen (=ysp)
SP notieren
Wie berechnet man NST von Funktionen 3/4 Grades?
Funktion gleich 0 setzen
Prüfen, ob doppelte/dreifache/einfache anhand Ableitungen und NST einsetzen
Art der NST notieren
Wie gibt man Definitions und Wetemenge an?
Untere Grenze x/f(x)
Obere Grenze x/f(x)
Intervall: D/W = […;…]
Wie rechnet man Uhrzeuten um?
In die kleinere Einheit mal 60, in die größere Einheit durch 60
Wie rechnet man Längen um?
In die kleinere Einheit mal 10, in die größere Einheit durch 10 (dm beachten)
Wie rechne ich Prozent?
G für Grundwert, W für Teil, p für Prozent:
w= g mal p durch 100
P = (w durch g) mal 100
G = W mal 100 durch p
Wie errechne ich Prozent bei Steigung?
Höhe durch Strecke mal 100
Wie rechne ich einen Dezimalwert in Prozent?
Mal 100
Wie beschreibt man Steigen und Fallen mit Intervallen?
Wenn man nicht am Ende des Graohen ist, wird die Klammer umgedreht.
Wie bestimmt man bei welchen x-Werten die Funktion die vorgegebene Steigung hat?
Funktionsgleichung und vorgegebene Steigung notieren
Erste Ableitung
Steigung einsetzen
Nach 0 auflösen
NST berechnen
NST notieren
Wie erstellt man eine Wertetabelle?
TR Protokoll: Home, Wertetabelle., Funktionsgleichung, Start, Ende, Inkre
Wertetabelle notieren
Was berechnet man mit der Integralrechnung?
Flächen
Wie bildet man die Stammfunktion?
es wird aufgeleitet
Den Exponenten um 1 erhöhen & Koeffizienten durch neuen Exponenten teilen
Aus welchen Bestandteilen setzt sich der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung zusammen?
Was sind Bedingungen?
Bedingungen geben Vorgaben für die Funktionsgleichung an
Was sagt die Anzahl der Parameter aus?
Anzahl der Bedingungen
Welche Bedingung ist es wenn der Graph y bei y=b schneidet?
f(0)=b
Welche Bedingung ist es wenn E bei x=a?
f’(a)=0
Welche Bedingung ist es wenn der Graph die x-Achse bei X=a berührt?
f(a)=0
Welche Bedingung ist es wenn waagerechte Tangente bei x=a?
Welche Bedingung ist es wenn WP bei x=a?
f’’(a)=0
Welche Bedingung ist es wenn SP bei x=a?
Welche Bedingung ist es wenn bei x = a WP mit Wendetangente m = c?
f’(a)=c
Welche Bedingung ist es wenn bei x=a Tangente mit m=c?
Welche Bedingung ist es wenn bei P(a|b) Tangente mit Gleichung g(x)=cx+d
f(a)=b
f’’(a)=c
Welche Bedingung ist es wenn bei P (a|b) WP mit Wendetangente g(x)=cx+d?
Berechnung Fläche zwischen zwei Graphen
Differenzfunktion d bilden
Nullstellen von d bestimmen
Intervalle festlegen
HDIR notieren
HDIR anwenden (für jedes Intervall auf d, ggf. Betragsstriche)
Teilflächen addieren
Gesamtfläche notieren
Berechnung Fläche Zwischen Graph und x-Achse
Nullstellen bestimmen
HDIR anwenden (für jedes Intervall, ggf Betragsstriche)
Was ist Neid er Berechnung von Flächen bei HS zu beachten?
Wenn Verlauf des Graphen nicht 100% klar, immer Nullstellen überprüfen!
Berechnung Fläche oberhalb der x-Achse
Intervall notieren
HDIR anwenden
Fläche notieren
Berechnung Fläche unterhalb der x-Achse?
Betragsstriche ab Anwendung HDIR
Ergebnis danach positiv notieren
Was ist bei der Funktionssynthese bei der Bestimmung der gesuchten Funktion zu beacheten?
Grad der Funktion & Symmetrieeigenschaften
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung: 1. Grad: f(x)=ax, 3. Grad: f(x)=ax^3 + cx
Achsensymmetrie zur y-Achse: 2. Grad: f(x)=ax^2+c, 4. Grad: f(x)=ax^4 + cx^2+e
Wie erfolgt die Funktionssynthese?
Informationen notieren
Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen
1&2 Ableitung bilden
Bedingungen ermitteln
Bedingungen einsetzen
Gleichungssystem aufstellen
TR-Protokoll
Wie funktioniert das Ableiten bei der Funktionssynthese?
Koeffizienten mit Exponent multiplizieren & neuen Exponenten um 1 niedriger
Wie notiert man P in dreidimensionalem Koordinatensystem?
P (x|y|z)
Wie zeichnet man einen Punkt ins dreidimensionale Koordinatensystem ein?
Start im Ursprung
entlang der x-Achse
entlang der y-Achse
entlang der z-Achse
P markieren
Wie zeichnet man ein dreidimensionales Koordinatensystem?
Was sind Vektoren?
Bewegung/Verschiebung
beliebige Verschiebung im Raum
Länge/Richtung/Richtungssinnn müssen dabei gleich bleiben
Was sind Ortsvektoren?
Vektoren die vom Ursprung zu einem Punkt zeigen
Verschiebung vom Urspung
Wie schreibt man den Punkt A= (x|y|z) als Ortsvektor?
Was sind Nullvektoren?
alle Koordinaten 0
keine Länge/Bewegung/Richtung
Anfang identisch mit Ende
Was sind Repräsentanten?
Stellen Vektoren als Pfeile dar, mit gleicher Länge/Richtung/Richtungssinn
können an unterschiedlichen Positionen liegen, aber dennoch den gleichen Vektor darstellen
Was ist der Gegenvektor?
Vektor multipliziert mit Skalar -1 (alle Koordinaten mit -1 multipliziert)
Was ist Skalarmultiplikation?
Multiplikation eines Vektors mit dem Skalar
dadurch verändert sich die Lage, Richtung bleibt gleich
jede einzelne Koordinate wird Skalar multipliziert
Skalar > 1= verlängert/gestreckt
Skalar 0-1= verkürzt/gestaucht
Skalar < 0 = gestreckt/gestaucht, im Richtungssinn entgegengesetzt
Was ist die Formel für Skalarmuktiplikation
Was sind parallele Vektoren?
gleiche / entgegengesetzte Richtung (Verlauf entlang der selben / parallelen Gerade)
können unterschiedliche Längen haben
Vektoren sind parallel, wenn ein Vektor das Vielfache des anderen ist, also ein Slalar s existiert
positiver Skalar: gleiche Richtung
negativer Skalar: entgegengesetzte Richtung
Wie kennzeichnet man ob Vektoren parallel sind oder nicht?
Welche Formel gilt, wenn zwei Vektoren parallel sind?
Wie berechnet man ob Vektoren parallel zueinander sind?
Vektoren notieren
Formel zur Überprüfung notieren, Vektoren einsetzen, berechnen
Gleichung notieren, Skalar s bestimmen, Überprüfen ob gleich/nicht gleich
Antwortsatz bzgl. Parallelität
Was ist Vektoraddition?
Addieren eines Vektors zu einem anderen Vektor
Neuer Vektor führt vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten
Addition komponentenweise, Koordinaten werden addiert
Wie lautet die Formel zur Vektoraddition?
Wie schreibt man die Berechnnung der Vektoraddition auf?
Was ist der Betrag eines Vektors?
Längenberechnung
beschreibt Abstand zwischen Anfang und Ende des Vektors
immer eine positive Zahl
unabhängig von Lage
bei Verschiebung bleibt Länge unverändert
Was ist die Formel zur Berechnung des Betrags eines Vektoren & wie schreibt man diese auf?
Welchen Betrag hat der Nullvektor?
0, somit besitzt er keine Länge
Was ist der Verbindungsvektor?
gibt an wie man von Startpunkt zu Zielpunkt gelangt
Bewegung zwischen zwei Punkten
zeigt Länge und Richtung der Bewegung an
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Verbindungsvektors?
Wie schreibt man die Berechnung des Verbindungsvektors mit der Formel auf?
Was ist ein Skalarprodukt?
Aussage über Winkel zwischen zwei Vektoren
positives Skalarprodukt: spitzer Winkel & > 90 Grad
negatives Skalarprodukt: stumpfer Winkel & < 90 Grad
0 = Skalarprodukt: orthogonal & 90 Grad
Wie kennzeichnet man ob Vektoren orthogonal oder nicht orthogonal sind?
Wie berechnet man das Skalarprodukt?
Was ist bei der Berechnung vom Winkel zwischen zwei Vektoren zu beachten?
Vektoren müssen vom gleichen Anfangspunkt aus nach außen zeigen
Winkel ergibt sich aus den nach außen zeigenden Pfeilen
Betrag muss ungleich 0 sein für Winkelberechnung (mit Nullvektor nicht möglich)
Bei Wert in Klammern = +1/-1: Winkel 0 oder 180 Grad (Vektoren sind parallel)
Was ist die Formel zur Berechnung von Winkel zwischen Vektoren?
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Vektoren multiplizieren (Koordniaten komponentenweise)
Beträge der beiden Vektoren berechnen
Formel notieren, einsetzen
Antwortsatz
Welche Informationen benötigt man für das Aufstellen von vektoriellen Geradengleichungen?
Punkt, durch den die Gerade verläuft
Richtungsvektor
Was sind die Bestandteile der vektoriellen Geradengleichung?
Stützvektor (Ortsvektor einer der Punkte -> Lage)
Richtungsvektor (Verbindungsvektor zwischen zwei gegebenen Punkten -> Richtung)
Parameter (s, jede gerade erhält ihren eigenen Parameter)
Was ist die Formel zum Aufstellen der vektoriellen Geradengleichung?
In welchen Schritten stellt man die vektoriellen Geradengleichung auf?
Formel zur Berechnung von v^–> notieren & einsetzen
Formel der vektoriellen Geradengleichung notieren & einsetzen
Wie können Geraden Verlaufen?
sie schneiden sich
sie verlaufen parallel
sie sind windschief (weder schneiden/noch Parallelität)
Wann schneiden sich zwei Geraden?
wenn das Gleichungssystem bei der Berechnung des Schnittpunks zweier Geraden eine Lösung besitzt & Probe erfüllt ist
Was ist die Formel zur Berechnung von dem Schnittpunktzweier Geraden?
Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden?
Geradengleichung gleichsetzen
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen aufstellen
Auflösungen nach Variablen auf einer Seite, Zahlenwerte auf der anderen
Parameterwerte berechnen
Parameterwerte in verbleibende Gleichung einsetzten => Ergebnisüberprüfung
Eine der Geradengleichungen notieren, Parameterwerte in eine der vektoriellen Geradengleichung einsetzen
SP notieren, Antwortsatz
Wie berechnet man das Volumen eines Dreiecksprismas?
V= G*h
Wie berechnet man die Oberfläche eines Dreiecksprismas?
O = 2 * G + M
M = u * h (Umfang der Grundfläche, Höhe des Körpers)
Wie kann man ein Trapez identifizieren?
nur zwei gegenüber liegende parallele Seiten
Wie kann man ein Dreieck identifizieren?
durch die drei Seiten
Wie kann man ein Parallelogramm identifizieren?
vier parallele Seiten (jeweils zwei gegenüber liegende)
Wie kann man ein Rechteck identifizieren?
Parallelogramm (vier parallele Seiten)
ein rechter Winkel
Wie kann man ein Quadrat identifizieren?
Rechteck (vier parallele Seiten, ein rechter Winkel)
alle Seiten gleichlang
Für was kann man die Flächenihalts Vektor Berechnung aus der Formelsammlung nutzen?
alles außer Dreieck (dafür eigene Formel in Formelsammlung)
alles außer Trapez -> hier normale Flächeninhaltsformel
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