• En los modelos de prueba para ítems dicotómicos, para la respuesta de una persona 𝑝 a un ítem 𝑖 se utilizan las dos probabilidades 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 1∣ 𝜃𝑝) y 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 0 ∣𝜃𝑝).

• En los modelos de prueba para ítems ordinales con 𝐾 categorías, se consideran 𝐾 probabilidades para la respuesta de una persona 𝑝 a un ítem 𝑖. Se aplica lo siguiente:

𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 0∣ 𝜃𝑝) + 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 1∣ 𝜃𝑝) + … + 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 𝐾 − 1∣ 𝜃𝑝) = 1

→ Estas probabilidades se denominan «probabilidades de categoría».

• De forma análoga a los ítems dicotómicos, la categoría de respuesta más baja se codifica normalmente con 0. Gracias a esta convención, todas las probabilidades de categoría pueden calcularse con una única fórmula, incluso para modelos de prueba ordinales.

• Hay que tener claro que, en un ítem con 𝐾 categorías, la máxima expresión posible del ítem es 𝐾 − 1.

→ Ejemplo: ítem con cinco categorías de respuesta (𝐾 = 5), 𝑥𝑖𝑝 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

Schwellenwahrscheinlichkeiten (Herleitung):

𝑃(𝑋𝑝𝑖 = 𝑐|𝜃𝑝) / 𝑃(𝑋𝑝𝑖 = 𝑐|𝜃𝑝) + 𝑃(𝑋𝑝𝑖 = 𝑐 − 1|𝜃𝑝) =

𝑒(𝜃𝑝 − 𝜏𝑖𝑐) / 1 + 𝑒(𝜃𝑝 − 𝜏𝑖𝑐) 𝑚𝑖𝑡 𝑐 ∈ {1, … , 𝐾 − 1}

Interpretation der Schwellenwahrscheinlichkeiten:

Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Kategorie 𝑐 anzukreuzen, unter der Bedingung, dass entweder Kategorie 𝑐 oder Kategorie 𝑐 − 1 angekreuzt wird.

• Anders als bei dichotomen Items gilt bei Items mit mehr als zwei Kategorien:

𝑃(𝑋𝑝𝑖 = 𝑐|𝜃𝑝) + 𝑃(𝑋𝑝𝑖 = 𝑐 − 1|𝜃𝑝) = < 1

• La fórmula para la probabilidad umbral se puede resolver según 𝑃(𝑋𝑝𝑖 =𝑐|𝜃𝑝). Esto da como resultado la siguiente ecuación recursiva:

𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 𝑐∣ 𝜃𝑝 ) = 𝑒 (𝜃𝑝−𝜏𝑖𝑐) ∙ 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 𝑐 - 1∣ 𝜃𝑝 )

• Si, por ejemplo, se elige para 𝑐 el valor 𝐾 − 1, se puede aplicar la ecuación recursiva repetidamente hasta llegar a 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 𝑐∣ 𝜃𝑝 ).

• Se obtiene otra ecuación para calcular 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 0∣ 𝜃𝑝) mediante la información adicional:

𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 0∣ 𝜃𝑝) + ⋯ + 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 𝐾 − 1∣ 𝜃𝑝) = 1

• Si se resuelve esta fórmula para 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 0∣ 𝜃𝑝) y se combina con la ecuación recursiva mostrada anteriormente, se obtiene la ecuación general del «modelo de crédito parcial».

• 𝑥𝑝𝑖: beobachtete Itemantwort von Person 𝑝 auf Item 𝑖 (𝑥𝑝𝑖 ∈ {0,1, … , 𝐾 − 1} )

• 𝜃𝑝: Wert von Person 𝑝 auf der latenten Variable (𝜃𝑝 ∈ ]−∞; +∞[ , 𝑝 ∈{ 1, … , 𝑃} )

• 𝜏𝑖𝑐: Itemparameter von Item 𝑖 (𝜏𝑖𝑐 ∈] −∞; +∞[ , 𝑖 ∈ {1, … , 𝐼 }, 𝑐 ∈ {1, … , 𝐾 − 1} )

Plural: Jedes Item hat mehrere Parameter, da es mehrere Kategorienübergänge hat.

• Um alle Kategorienwahrscheinlichkeiten mithilfe einer einzigen Gleichung darstellen zu können, wird die folgende übliche Konvention getroffen:

∑ desde 0 hasta c = 1 (𝛳𝒑 - 𝞽𝑖ｃ) = 0

In der Mathematik nennt man ∑ desde 0 hasta 𝑐=1 𝑥 eine leere Summe. Per Konvention hat die leere Summe immer den Wert Null, unabhängig vom Wert von 𝑥.

Die komplizierte „Normierungskonstante“ im Nenner der Modellgleichung des PCM sorgt dafür, dass sich die Kategorienwahrscheinlichkeiten eines Items 𝑖 für ein beliebiges 𝜃𝑝 zu 1 aufsummieren.

• Veranschaulichung am Beispiel eines Items mit drei Antwortkategorien:

𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 0 ∣𝜃𝑝) + 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 1∣ 𝜃𝑝) + 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 2 ∣𝜃𝑝) =

Arriba 1 + 𝑒(𝜃𝑝−𝜏𝑖1) + 𝑒(𝜃𝑝−𝜏𝑖1)+(𝜃𝑝−𝜏𝑖2)

Abajo 1 + 𝑒(𝜃𝑝−𝜏𝑖1) + 𝑒(𝜃𝑝−𝜏𝑖1)+(𝜃𝑝−𝜏𝑖2) da = 1

• En los modelos de respuesta al ítem, para la interpretación gráfica de un ítem 𝑖, a menudo se consideran las probabilidades de categoría como una función dependiente del valor de una persona en la variable latente 𝜃𝑝.

• En el caso de ítems dicotómicos, solo se considera la función 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 1 ∣𝜃𝑝) = ICC del ítem 𝑖.

• En el caso de ítems ordinales con más de dos categorías de respuesta, sin embargo, es conveniente considerar todas las 𝐾 «curvas características de categoría» (CCC).

• Para cada valor 𝜃𝑝 se aplica: 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 0 ∣𝜃𝑝) + ⋯ + 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 𝐾 − 1 ∣𝜃𝑝) = 1

• En los modelos de respuesta al ítem, para la interpretación gráfica de un ítem 𝑖, a menudo se consideran las probabilidades de categoría como una función dependiente del valor de una persona en la variable latente 𝜃𝑝.

• En el caso de ítems dicotómicos, solo se considera la función 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 1 ∣𝜃𝑝) = ICC del ítem 𝑖.

• En el caso de ítems ordinales con más de dos categorías de respuesta, considerar todas las 𝐾 «curvas características de categoría» (CCC).

• Para cada valor 𝜃𝑝 se aplica:

𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 0 ∣𝜃𝑝) + ⋯ + 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 𝐾 − 1 ∣𝜃𝑝) = 1

• El «parámetro umbral» 𝜏𝑖𝑐 marca el punto en el que se cruzan los CCC de las categorías 𝑐 y 𝑐 − 1 del ítem 𝑖.

• Para una persona con 𝜃𝑝 = 𝜏𝑖𝑐, la probabilidad de marcar la categoría 𝑐 es igual a la probabilidad de marcar la categoría 𝑐 − 1.

• Para cada valor 𝜃𝑝 se aplica lo siguiente: 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 0 ∣𝜃𝑝) + ⋯ + 𝑃( 𝑋𝑝𝑖 = 𝐾 − 1 ∣𝜃𝑝) = 1

• El «parámetro umbral» 𝜏𝑖𝑐 marca el punto en el que se cruzan los CCC de las categorías 𝑐 y 𝑐 − 1 del ítem 𝑖.

• Para una persona con 𝜃𝑝 = 𝜏𝑖𝑐, la probabilidad de marcar la categoría 𝑐 es igual a la probabilidad de marcar la categoría 𝑐 − 1.

Fórmula de referencia → Desplazamiento de los valores umbral

1. Para interpretar los CCC de un ítem: considerar qué distribución teórica de las respuestas al ítem implican los CCC.

1. Tener en cuenta que las respuestas al ítem no solo dependen de los parámetros del ítem, sino también de la distribución de las personas en la variable latente.

OJO: Por razones de normalización, para la distribución de las personas en la variable latente: asumir una distribución normal estándar.

—> Para poder representar gráficamente la distribución de las respuestas a los ítems en un diagrama de barras para un ítem con valores umbrales dados, primero se extrae una gran cantidad de 𝜃𝑝 de la distribución normal estándar y, a continuación, se simula una respuesta al ítem para cada 𝑝 utilizando la ecuación del modelo.

• Nota: Todos los ejemplos, se extrajeron aleatoriamente 𝑃 = 1000 «personas» de la distribución normal estándar para representar los diagramas de barras.

• Para interpretar los CCC de un ítem, es útil considerar qué distribución teórica de las respuestas al ítem implican los CCC.

• Hay que tener en cuenta que las respuestas al ítem no solo dependen de los parámetros del ítem, sino también de la distribución de las personas en la variable latente.

• Por razones de normalización, para la distribución de las personas en la variable latente asumir una distribución normal estándar.

• Para poder representar gráficamente la distribución de las respuestas a los ítems en un diagrama de barras para un ítem con valores umbrales dados, primero se extrae una gran cantidad de 𝜃𝑝 de la distribución normal estándar y, a continuación, se simula una respuesta al ítem para cada 𝑝 utilizando la ecuación del modelo.

• Nota:

Para todos los ejemplos, se extrajeron aleatoriamente 𝑃 = 1000 «personas» de la distribución normal estándar para representar los diagramas de barras.

Distribución simulada de los parámetros personales (distribución normal estándar)

Respuestas simuladas de las 1000 personas simuladas a dos ítems

• Los dos histogramas para el ítem rojo y el azul muestran las respuestas simuladas de las 1000 personas simuladas.

• La pregunta roja es «más fácil»: se tiende a marcar categorías de respuesta más altas. La pregunta azul es más difícil: con los mismos valores de los parámetros de las personas, se tiende a marcar categorías de respuesta más bajas.

Cada CCC de un ítem depende de todos los umbrales.

Jede CCC eines Items hängt von allen Schwellen ab

Cada CCC de un ítem depende de todos los umbrales.

El CCC de cada ítem depende de todos los umbrales.

Dificultad de los ítems en el PCM (representación de dos ítems)

• En el PCM, la «dificultad» de un ítem ya no se caracteriza por un único parámetro, sino que depende de la posición de todos los umbrales.

• Cuantificar la «dificultad» de un item en el PCM es el valor medio de los umbrales 1/ 𝐾−1 ⋅ ∑ de 𝐾−1 a 𝑐=1 𝜏𝑖𝑐

Regiones de la dimensión latente

Para interpretar los CCC de un ítem, es útil considerar qué categoría de respuesta es más probable en un punto determinado 𝜃𝑝:

Curva característica del ítem (ICC) para ítems ordinales

• Como alternativa a las regiones con la mayor probabilidad para una categoría de respuesta determinada según las CCC, también se puede representar gráficamente la ICC para un ítem ordinal.

• En el caso de los ítems dicotómicos, la ICC indica la respuesta esperada al item para un valor determinado en la variable latente:

𝐸 (𝑋𝑝𝑖∣ 𝜃𝑝) = 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 1∣ 𝜃𝑝)

• Interpretación: supongamos que la persona 𝑝 procesa el ítem 𝑖 infinitas veces, entonces 𝐸 (𝑋𝑝𝑖 ∣𝜃𝑝) corresponde al valor medio de estas infinitas respuestas al ítem.

• Cálculo de la respuesta esperada al ítem (condicionada al valor de la persona en la variable latente) en el PCM para ítems ordinales:

𝐸 (𝑋𝑝𝑖∣ 𝜃𝑝) = Suma ∑ de 𝐾−1 a 𝑘=0 𝑘 ∙ 𝑃 (𝑋𝑝𝑖 = 𝑘 ∣𝜃𝑝)

Forma general del valor esperado (condicional) de una variable aleatoria discreta.

También

fórmula para el cálculo de probabilidades de categorías a partir de la ecuación del modelo del PCM.

Folie 21:

Los límites en esta representación del ICC del ítem ordinal de la diapositiva 21 no corresponden a los valores umbral 𝜏𝑖𝑐, sino que representan una subdivisión alternativa de la variable latente.

→ 𝐸 (𝑋𝑝𝑖∣ 𝜃𝑝) se calcula para todas las categorías de respuesta y se «redondea».

CCC: Was ist die wahrscheinlichste Antwortkategorie gegeben einer latenten Ausprägung?

ICC: Was ist der erwartete Antwortwert gegeben einer latenten Ausprägung (d.h., gemittelt über alle Antwortkategorien)?

Orden de los parámetros umbral

• se aplicaba implícitamente 𝜏𝑖1 < 𝜏𝑖2 < ⋯ < 𝜏𝑖,𝐾−1.

• este orden intuitivo de los umbrales no está prescrito por el PCM. De hecho, el modelo permite cualquier orden de los parámetros umbral 𝜏𝑖𝑐.

• Por lo tanto, el PCM es lo suficientemente flexible como para poder representar ítems con distribuciones complicadas de las categorías de respuesta.

• Los ítems con umbrales desordenados no son una construcción puramente teórica, sino que también aparecen con frecuencia en la evaluación práctica de cuestionarios.

• Aunque los umbrales desordenados no constituyen en sí mismos una violación del modelo de prueba, a menudo indican problemas, por ejemplo, en la formulación de los ítems, la comprensión de los mismos o la elección de las categorías de respuesta.

• En el caso de los umbrales no ordenados, hay ciertas categorías de respuesta que no son las más probables para ninguna característica de las personas en la variable latente.

Estos ítems suelen presentar una distribución llamativa de las respuestas.

Supongamos que el ítem representado es una pregunta de examen: en esta pregunta, Philipp tiene las mismas probabilidades de obtener 2 puntos que 3 puntos (circulo naranja). Es más probable que obtenga 0 puntos que 1 punto (circulos rojos). Sin embargo, lo más probable es que Philipp obtenga 4 puntos.

• En el PCM, cada ítem se caracteriza por 𝐾 − 1 parámetros.

• De forma análoga al modelo 2PL para ítems dicotómicos, el PCM también se puede ampliar al «modelo de crédito parcial generalizado» (GPCM) incluyendo un parámetro adicional 𝛽𝑖 para cada ítem.

• Ecuación general del modelo:

𝑃(𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 |𝜃𝑝) = arriba 𝑒∑ de 𝑥𝑝𝑖 a 𝑐=1 𝛽𝑖 (𝜃𝑝−𝜏𝑖𝑐) / abajo 1 + ∑ de 𝐾−1 a 𝑠=1 𝑒∑ de 𝑠 a 𝑐=1 𝛽𝑖 (𝜃𝑝−𝜏𝑖𝑐)

• Al igual que en el modelo 2PL, el parámetro 𝛽𝑖 solo puede tomar valores positivos en el GPCM (𝛽𝑖 ∈ ]0; +∞[ ).

• Al igual que en el PCM, la ecuación del modelo GPCM también se rige por la convención:

∑de 0 a 𝑐=1(𝜃𝑝−𝜏𝑖𝑐) = 0

• El parámetro del ítem 𝛽𝑖 está relacionado con la pendiente de los CCC del ítem 𝑖.

• Cuanto mayor sea 𝛽𝑖, más cambiarán las probabilidades de categoría para valores de 𝜃𝑝 cercanos a 𝜏𝑖𝑐 (cuanto más «empinadas» son las CCC cerca de los umbrales).

• Al igual que en el modelo 2PL, 𝛽𝑖 se interpreta como la «discriminación» del ítem 𝑖.

GPCM frente a PCM: similitudes y diferencias

- El GPCM es una ampliación lógica del PCM. Gracias a los parámetros de discriminación adicionales, el GPCM es el modelo de prueba más flexible y, por lo tanto, puede representar relaciones aún más complejas entre la variable latente y las respuestas manifiestas de los ítems.

• Al igual que en el PCM, en el GPCM tampoco es necesario ordenar los umbrales

• Al igual que en el PCM, en el GPCM también se pueden representar gráficamente las regiones con la mayor probabilidad de categoría para la variable latente

• Al igual que en el PCM, en el GPCM también se pueden calcular ICC de forma totalmente análoga

Diferencias:

- En el PCM, el uso del modelo dicotómico de Rasch para modelar las probabilidades de umbral le confiere la propiedad de objetividad específica («modelo ordinal de Rasch»).

- Dado que en el GPCM se utiliza el modelo 2PL para modelar la probabilidad de umbral, aquí no existe objetividad específica. Sin embargo, esto no tiene prácticamente ningún efecto y se aplica el mismo razonamiento que en los modelos de prueba para ítems dicotómicos.

En ambos modelos, la «dificultad» de un ítem ya no se determina mediante un único parámetro, sino mediante la posición de los umbrales 𝐾 − 1.