Was ist die transponierte Matrix AT?
Die transponierte Matrix AT entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Element aij wird zu aji. Beispiel: Wenn A = [[1, -2, 3], [7, 8, -9]] (2×3 Matrix), dann AT = [[1, 7], [-2, 8], [3, -9]] (3×2 Matrix). Zeilen werden zu Spalten.
Wann ist eine Matrixmultiplikation AB möglich?
AB ist nur möglich wenn Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B. Resultat hat Zeilen von A und Spalten von B. Beispiel: A(2×3) × B(3×4) = AB(2×4) möglich. Aber B(3×4) × A(2×3) nicht möglich (4 ≠ 2). Wichtig: Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ!
Wie prüft man ob zwei Matrizen invers zueinander sind?
Berechne AB und BA. Wenn beide die Einheitsmatrix E ergeben (1 auf Diagonale, 0 sonst), sind A und B invers. Beispiel: Wenn AB = E und BA = E, dann B = A⁻¹. Bei 3×3 Matrix: E = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]].
Was ist eine Permutation in Sn?
Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung {1,2,...,n} → {1,2,...,n}. Notation [σ(1), σ(2), ..., σ(n)]. Beispiel: σ = [2, 4, 5, 1, 3] in S5 bedeutet: 1→2, 2→4, 3→5, 4→1, 5→3. Sn ist die Menge aller Permutationen von n Elementen.
Wie berechnet man die Komposition σ∘τ von Permutationen?
Wende erst τ, dann σ an. (σ∘τ)(i) = σ(τ(i)). Beispiel: σ = [2,4,5,1,3], τ = [4,1,3,5,2]. Für Position 1: τ(1)=4, σ(4)=1, also (σ∘τ)(1)=1. Durchgehe alle Positionen. Achtung: Permutationen sind nicht kommutativ!
Wie findet man die inverse Permutation σ⁻¹?
Wenn σ(i) = j, dann σ⁻¹(j) = i. Kehre die Zuordnung um. Beispiel: σ = [2,4,5,1,3] bedeutet 1→2, 2→4, 3→5, 4→1, 5→3. Umkehrung: 1→4, 2→1, 3→5, 4→2, 5→3, also σ⁻¹ = [4,1,5,2,1]... warte... korrekt: σ⁻¹ = [4,1,5,2,3].
Was ist das Signum einer Permutation?
Signum(σ) = +1 (gerade) oder -1 (ungerade), abhängig von Anzahl der Transpositionen (Vertauschungen). Beispiel: Anzahl Fehlstände zählen oder Zyklen analysieren. Gerade Anzahl Transpositionen → sgn(σ) = +1, ungerade → sgn(σ) = -1.
Was ist eine Determinante geometrisch?
Die Determinante det(A) ist das orientierte Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelotops. Bei 2×2: Fläche des Parallelogramms. Bei 3×3: Volumen des Spats. det(A) = 0 bedeutet: Vektoren linear abhängig (Volumen Null).
Welche Eigenschaften haben Determinanten bei elementaren Zeilenoperationen?
1. Zeilen vertauschen: det ändert Vorzeichen. 2. Zeile mit Skalar λ multiplizieren: det wird mit λ multipliziert. 3. Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren: det bleibt gleich. Beispiel: Beim Gauß-Verfahren nutzt man (3), Zeilentausch (1) muss mit Vorzeichenwechsel notiert werden.
Wie berechnet man die Determinante einer Dreiecksmatrix?
Bei Dreiecksmatrix (alle Elemente unter oder über Diagonale = 0) ist det = Produkt der Diagonalelemente. Beispiel: det([[a,*,*],[0,b,*],[0,0,c]]) = a·b·c. Deshalb bringt man Matrizen mit Gauß in Dreiecksform zur Determinantenberechnung.
Was ist die Determinanten-Rechenregel det(AB)?
det(AB) = det(A) · det(B). Produkt der Determinanten. Beispiel: Wenn det(A)=2 und det(B)=3, dann det(AB)=6. Wichtig: det(A+B) ≠ det(A)+det(B)! Auch: det(Aⁿ) = (det(A))ⁿ.
Was bedeutet det(A) = 0?
Matrix A ist singulär (nicht invertierbar), Rang < n, Spalten/Zeilen linear abhängig. Kein eindeutiges Lösungsverhalten bei Ax=b. Beispiel: det([[1,2],[2,4]]) = 0, weil zweite Zeile = 2×erste Zeile. A⁻¹ existiert nicht.
Wie berechnet man det(A - E)?
Subtrahiere Einheitsmatrix E von A elementweise, dann berechne Determinante normal. Beispiel: A = [[1,1,5],[7,1,1],[5,1,4]], E = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]], A-E = [[0,1,5],[7,0,1],[5,1,3]]. Dann det(A-E) berechnen.
Was ist die Beziehung zwischen det(A⁴ - A³) und det(A)?
Faktorisieren: det(A⁴-A³) = det(A³(A-E)) = det(A³)·det(A-E) = (det(A))³·det(A-E). Nutze Determinantenregeln für Potenzen und Produkte. Beispiel: Wenn det(A)=2 und det(A-E)=3, dann det(A⁴-A³) = 8·3 = 24.
Was ist der Laplace-Entwicklungssatz?
Entwicklung der Determinante nach einer Zeile/Spalte: det(A) = Σ aij · (-1)^(i+j) · Mij, wobei Mij Minoren (Determinanten der (n-1)×(n-1) Untermatrizen). Wähle Zeile/Spalte mit vielen Nullen. Beispiel: Bei vielen Nullen in Spalte 2 entwickle nach Spalte 2.
Wann ist eine Matrix singulär?
Matrix ist singulär wenn det(A) = 0. Nicht invertierbar, Gleichungssystem Ax=b hat keine eindeutige Lösung oder ist unlösbar. Beispiel: [[2,4],[1,2]] ist singulär weil Zeile 2 = Zeile 1 / 2, det = 0.
Was ist die Adjunkte (Adjungatematrix)?
Die Adjunkte adj(A) ist die transponierte Matrix der Kofaktoren. Kofaktor Cij = (-1)^(i+j) · Mij. Beziehung: A·adj(A) = det(A)·E. Daraus: A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A). Beispiel: Zur Berechnung von A⁻¹ braucht man Adjunkte und Determinante.
Wie berechnet man die Inverse mit der Adjunkten?
A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A). Voraussetzung: det(A) ≠ 0. Schritte: 1. Berechne alle Minoren Mij. 2. Kofaktoren Cij = (-1)^(i+j)·Mij. 3. Transponiere Kofaktormatrix → adj(A). 4. Teile durch det(A). Beispiel: Für 3×3 Matrix 9 Minoren berechnen.
Was ist die Cramersche Regel?
Lösung von Ax=b: xi = det(Ai) / det(A), wobei Ai die Matrix A mit i-ter Spalte durch b ersetzt. Gilt nur wenn det(A) ≠ 0. Beispiel: 3×3 System → berechne det(A), det(A1), det(A2), det(A3), dann x1=det(A1)/det(A), etc.
Was bedeutet det(BT)?
det(BT) = det(B). Transponieren ändert Determinante nicht. Beispiel: Wenn det(B)=5, dann auch det(BT)=5. Nützlich für Umformungen in Matrixgleichungen.
Wie vereinfacht man Matrixgleichungen mit Determinanten?
Nutze: det(A⁻¹) = 1/det(A), det(AT) = det(A), det(AB) = det(A)·det(B). Beispiel: B⁻¹XA = X⁻¹BTX → det(B⁻¹)·det(X)·det(A) = det(X⁻¹)·det(BT)·det(X) → (1/b)·det(X)·a = (1/det(X))·b·det(X) → det(X)²=b²/a.
Was ist eine Blockmatrix-Determinante?
Für Blockmatrix [[A,B],[0,C]] mit quadratischen A,C und Nullblock: det = det(A)·det(C). Beispiel: D = [[A,B],[0,C]] (4×4 aus 2×2 Blöcken), dann det(D) = det(A)·det(C). Gilt nur wenn unterer linker Block Null ist.
Warum kann AB singulär sein wenn A,B einzeln nicht singulär sind?
Tatsächlich: Wenn AB singulär (det(AB)=0), dann det(A)·det(B)=0, also mindestens eine von A,B singulär. Wenn AB singulär und det(B)≠0, muss det(A)=0 sein. Beispiel im Aufgabentext: AB singulär → det(A)=0 oder det(B)=0.
Wie berechnet man det(2C⁻¹BT)?
det(2C⁻¹BT) = 2ⁿ·det(C⁻¹)·det(BT) = 2ⁿ·(1/det(C))·det(B), wobei n die Dimension. Bei 2×2: = 4·(1/det(C))·det(B). Beispiel: det(B)=1, det(C)=10, n=2 → det = 4·(1/10)·1 = 0.4.
Was bedeutet det(CTĀ - CBTĀ)?
Faktorisieren: det(CT(Ā-BTĀ)) = det(CT)·det(Ā(E-BT)) = det(C)·det(A)·det(E-BT). Oder: det(CTA(E-BT)). Nutze Distributivität und Produktregel. Wenn A singulär (det(A)=0), dann Ausdruck = 0.
Wie nutzt man Gauß-Verfahren für Determinanten?
Bringe Matrix auf obere Dreiecksform mit elementaren Zeilenoperationen. Bei jedem Zeilentausch: Vorzeichen wechseln. Zeile mit λ multiplizieren: det mit λ multiplizieren. Zeilenaddition: keine Änderung. Dann: det = (Vorzeichen)·(Produkt Diagonalelemente). Beispiel: Nach 2 Zeilentauschen und Dreiecksform mit Diagonale [2,3,1] → det = (-1)²·2·3·1 = 6.
Was ist eine Vandermonde-Determinante?
Spezielle Matrix-Form mit Potenzen: Zeile i hat [1, xi, xi², ..., xi^(n-1)]. Determinante = Produkt aller (xj-xi) mit j>i. Beispiel: [[1,2,4,8],[1,3,9,27],[1,5,25,125],[1,7,49,343]] ist Vandermonde mit x=[2,3,5,7]. det = (3-2)(5-2)(5-3)(7-2)(7-3)(7-5) = 1·3·2·5·4·2 = 240.
Wann hat ein LGS mit Parameter k eindeutige Lösung?
Ax=b hat eindeutige Lösung wenn det(A(k)) ≠ 0. Berechne det(A) in Abhängigkeit von k. Löse det(A)=0 für kritische k-Werte. Für alle anderen k: eindeutige Lösung. Beispiel: det(A(k)) = k(k-2). Kritisch: k=0, k=2. Für k≠0 und k≠2: eindeutig lösbar.
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