Was ist ein Vektorraum?
Ein Vektorraum V über einem Körper K ist eine Menge mit zwei Operationen: Addition (+) und Skalarmultiplikation (·), die 8 Axiome erfüllen (Assoziativität, Kommutativität, neutrales Element, Inverse, Distributivität). Beispiel: R³ mit üblicher Addition und Skalarmultiplikation. Auch ungewöhnliche Definitionen möglich: V=R\{0} mit a⊕b=a·b, k⊙a=aᵏ.
Was ist ein Unterraum W eines Vektorraums V?
W⊆V ist Unterraum wenn: 1) 0⃗∈W (Nullvektor enthalten), 2) u⃗,v⃗∈W ⇒ u⃗+v⃗∈W (abgeschlossen unter Addition), 3) v⃗∈W, k∈K ⇒ k·v⃗∈W (abgeschlossen unter Skalarmultiplikation). Beispiel: W={(a,b,c): a=b=c} in R³ ist Unterraum. W={(a,b,c): a≥0} NICHT (nicht abgeschlossen, z.B. -1·(1,0,0)=(-1,0,0)∉W).
Was ist eine Linearkombination?
v⃗=k₁w⃗₁+k₂w⃗₂+...+kₙw⃗ₙ mit Skalaren k₁,...,kₙ. v⃗ ist Linearkombination der Vektoren w⃗ᵢ. Beispiel: (1,-2,5) als Linearkombination von (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1) schreiben → Gleichungssystem lösen: k₁(1,1,1)+k₂(1,2,3)+k₃(2,-1,1)=(1,-2,5).
Wie prüft man ob v⃗ als Linearkombination darstellbar ist?
Stelle LGS auf: k₁w⃗₁+...+kₙw⃗ₙ=v⃗. Wenn LGS lösbar, dann darstellbar. Beispiel: Matrix [w⃗₁|w⃗₂|w⃗₃|v⃗] aufstellen und Gauß-Elimination. Wenn rang([w⃗₁|w⃗₂|w⃗₃])=rang([w⃗₁|w⃗₂|w⃗₃|v⃗]), dann darstellbar.
Was bedeutet lineare Unabhängigkeit?
Vektoren v⃗₁,...,v⃗ₙ sind linear unabhängig wenn k₁v⃗₁+...+kₙv⃗ₙ=0⃗ nur die triviale Lösung k₁=...=kₙ=0 hat. Sonst linear abhängig. Beispiel: (1,2), (3,0) in R² sind linear unabhängig. (1,2,3), (2,4,6) sind abhängig (zweiter=2×erster).
Wie prüft man lineare Unabhängigkeit?
Stelle homogenes LGS auf: k₁v⃗₁+...+kₙv⃗ₙ=0⃗. Wenn nur triviale Lösung (alle k=0), dann linear unabhängig. Praktisch: Matrix aus Vektoren bilden, Rang bestimmen. Wenn Rang=Anzahl Vektoren, dann linear unabhängig. Beispiel: 3 Vektoren in R³, Rang=3 → linear unabhängig.
Was ist ein Erzeugendensystem?
Vektoren v⃗₁,...,v⃗ₙ bilden Erzeugendensystem von V wenn jeder Vektor aus V als Linearkombination darstellbar ist. Lin({v⃗₁,...,v⃗ₙ})=V. Beispiel: 4 Vektoren in R³ können Erzeugendensystem sein (mindestens 3 linear unabhängige nötig). Prüfung: Rang der Matrix aus Vektoren = dim(V).
Was ist eine Basis eines Vektorraums?
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Eigenschaften: 1) jeder Vektor eindeutig als Linearkombination darstellbar, 2) |Basis|=dim(V). Beispiel: Standardbasis von R³: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Jede Basis von R³ hat genau 3 Vektoren.
Was ist die Dimension eines Vektorraums?
Die Dimension dim(V) ist die Anzahl Vektoren in einer Basis von V. Alle Basen haben gleiche Anzahl Elemente. Beispiel: dim(R³)=3, dim(R²)=2, dim(P₂)=3 (Polynome Grad≤2, Basis: {1,x,x²}), dim({0})=0.
Wie prüft man ob Vektoren eine Basis bilden?
Für Rⁿ: n Vektoren gegeben. 1) Prüfe lineare Unabhängigkeit (Rang=n). 2) Falls ja, ist es Basis (n linear unabh. Vektoren in Rⁿ spannen Rⁿ auf). Beispiel: 4 Vektoren in R⁴ → Matrix bilden, Determinante≠0 oder Rang=4 → Basis. Bei 3 Vektoren in R⁴ → keine Basis (zu wenige).
Wie ergänzt man Vektoren zu einer Basis?
Gegeben k<n linear unabhängige Vektoren in Rⁿ. Füge Standardbasisvektoren hinzu, prüfe Unabhängigkeit, behalte bis n Vektoren. Beispiel: 2 Vektoren in R³ gegeben, prüfe ob (1,0,0) unabhängig, falls nicht (0,1,0), dann (0,0,1). Kombiniere bis 3 linear unabhängige Vektoren.
Wie wählt man aus zu vielen Vektoren eine Basis aus?
Gegeben m>n Vektoren in Rⁿ. Bilde Matrix, bringe auf Zeilenstufenform. Pivotpositionen entsprechen linear unabhängigen Vektoren. Wähle diese aus. Beispiel: 5 Vektoren in R³, Rang=3 → wähle 3 linear unabhängige aus (z.B. erste 3 wenn Rang([v₁|v₂|v₃])=3).
Was ist der Rang einer Matrix?
Der Rang rang(A) ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen (=Spalten). Entspricht Dimension des Spaltenraums. Beispiel: 3×4 Matrix mit 2 linear unabhängigen Zeilen hat Rang 2. Berechnung: Gauß-Elimination, zähle Nicht-Null-Zeilen.
Was ist ein Koordinatenvektor bezüglich einer Basis?
Sei B={b⃗₁,...,b⃗ₙ} Basis und v⃗=k₁b⃗₁+...+kₙb⃗ₙ. Dann ist [v⃗]ᵦ=(k₁,...,kₙ)ᵀ der Koordinatenvektor. Beispiel: v⃗=(5,3,4) in Standardbasis E → [v⃗]ₑ=(5,3,4)ᵀ. In anderer Basis S anders: löse k₁s⃗₁+k₂s⃗₂+k₃s⃗₃=(5,3,4) für k₁,k₂,k₃.
Was ist eine Übergangsmatrix (Basiswechselmatrix)?
Pₐ→ᵦ transformiert Koordinaten von Basis A nach Basis B. [v⃗]ᵦ=Pₐ→ᵦ·[v⃗]ₐ. Berechnung: Spalten von Pₐ→ᵦ sind Koordinatenvektoren der A-Basisvektoren bezüglich B. Beispiel: Pₑ→ₛ hat als Spalten die S-Koordinaten der Standardbasisvektoren. Pₐ→ᵦ·Pᵦ→ₐ=E (Inverse!).
Wie berechnet man Pₐ→ᵦ konkret?
Methode: [B|A] als erweiterte Matrix, Gauß bis [E|Pₐ→ᵦ]. Oder: Löse für jeden Vektor aᵢ aus A: aᵢ=k₁b₁+...+kₙbₙ, dann ist (k₁,...,kₙ)ᵀ die i-te Spalte von Pₐ→ᵦ. Beispiel: A={(1,2),(3,5)}, B={(1,-1),(1,-2)} → löse (1,2)=k₁(1,-1)+k₂(1,-2) für Spalte 1.
Wann ist ein LGS Ax⃗=b⃗ eindeutig lösbar?
Eindeutig lösbar wenn rang(A)=rang(A|b⃗)=n (Anzahl Unbekannte). Bedeutet: A hat vollen Rang, b⃗ im Spaltenraum. Beispiel: 3×3 System mit det(A)≠0 → eindeutig lösbar. Bei 3×4 System (mehr Unbekannte als Gleichungen) nie eindeutig.
Wann ist ein LGS unlösbar?
Unlösbar wenn rang(A)<rang(A|b⃗). Bedeutet: b⃗ nicht im Spaltenraum von A, widersprüchliches System. Beispiel: Nach Gauß-Elimination Zeile [0 0 0|5] → 0=5 Widerspruch → unlösbar.
Wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?
Unendlich viele Lösungen wenn rang(A)=rang(A|b⃗)<n. Bedeutet: Freie Variable(n), n-rang(A) Freiheitsgrade. Beispiel: 3 Gleichungen, 4 Unbekannte, Rang=3 → 1 freie Variable → Lösungsmenge ist Gerade im R⁴.
Was ist die allgemeine Lösung eines inhomogenen LGS?
x⃗=x⃗ₚ+x⃗ₕ, wobei x⃗ₚ eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems und x⃗ₕ die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems (Ax⃗=0⃗). Beispiel: x⃗=(1,0,0)+t(1,1,0) bedeutet spezielle Lösung (1,0,0) plus homogene Lösung t(1,1,0) mit Parameter t∈R.
Wie zeigt man dass Funktionen linear unabhängig sind?
Stelle k₁f+k₂g+k₃h=0 auf (Nullfunktion). Zeige dass nur k₁=k₂=k₃=0 möglich ist. Oft: Werte an verschiedenen Stellen einsetzen, LGS für k₁,k₂,k₃. Beispiel: sin(t), eᵗ, t² sind linear unabhängig weil keine Linearkombination Nullfunktion ergibt (verschiedene Funktionstypen).
Was ist Lin({v⃗₁,...,v⃗ₙ})?
Die lineare Hülle (Span): Menge aller Linearkombinationen von v⃗₁,...,v⃗ₙ. Lin({v⃗₁,...,v⃗ₙ})={k₁v⃗₁+...+kₙv⃗ₙ: k₁,...,kₙ∈K}. Beispiel: Lin({(1,0,0),(0,1,0)}) ist die xy-Ebene in R³. Kleinster Unterraum der v⃗₁,...,v⃗ₙ enthält.
Wie findet man eine Basis eines Unterraums U=Lin({M₁,M₂,M₃,M₄})?
Bilde Matrix mit M₁,M₂,M₃,M₄ als Spalten (bei Matrizen: vectorisiere sie). Gauß-Elimination, finde Rang. Wähle entsprechend viele linear unabhängige Mᵢ aus. Beispiel: 4 Matrizen gegeben, Rang=2 → wähle 2 linear unabhängige als Basis von U.
Was bedeutet Rg(A)≠Rg(A|b⃗) geometrisch?
Der Vektor b⃗ liegt nicht im Spaltenraum (Bild) von A. Die Gleichungen sind widersprüchlich. Beispiel: 3 Ebenen im R³ haben keine gemeinsame Schnittgerade/-punkt, das System ist inkonsistent.
Wie bestimmt man die Lösungsmenge bei freien Variablen?
Nach Gauß: Freie Variable(n) als Parameter t,s,... setzen. Rückwärts einsetzen, abhängige Variable als Funktion der Parameter ausdrücken. Beispiel: x₁=1+t, x₂=t, x₃=0 mit t∈R → Lösungsmenge ist Gerade {(1,0,0)+t(1,1,0): t∈R}.
Für welche k sind Vektoren mit Parameter k linear unabhängig?
Bilde Matrix aus Vektoren, berechne Determinante in Abhängigkeit von k. Löse det=0 für kritische k-Werte. Für alle anderen k: linear unabhängig. Beispiel: det=k(k-1)(k+2). Kritisch: k=0,1,-2. Für k∉{0,1,-2}: linear unabhängig.
Was ist der Unterschied zwischen Zeilen- und Spaltenrang?
Zeilenrang = max. Anzahl linear unabhängiger Zeilen. Spaltenrang = max. Anzahl linear unabhängiger Spalten. Wichtig: Zeilenrang = Spaltenrang = Rang! Beispiel: 3×5 Matrix mit 2 linear unabhängigen Zeilen hat auch 2 linear unabhängige Spalten, Rang=2.
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