physikalische Geodäsie

1. Ergänzt die geometrische Geodäsie um Schwereinformationen, zentrale Größen: Gravitations- und Zentrifugalpotential.

2. Anwendungen: Umrechnung GNSS → orthometrische Höhen, Geoidbestimmung, Satellitenbahnen.

„Physikalische Geodäsie verbindet Geometrie mit Physik – sie beschreibt das Schwerefeld der Erde und macht Höhen physikalisch sinnvoll.“

„Die physikalische Geodäsie beschäftigt sich mit dem Schwerefeld der Erde und dessen Wirkung. Sie liefert die physikalische Grundlage für Höhen, das Geoid und die Interpretation von Satelliten- und GNSS-Messungen. Ohne physikalische Geodäsie könnten wir keine physikalisch sinnvollen Höhen angeben und das Erdschwerefeld nicht modellieren.“

Die geometrische Geodäsie beschreibt die Form der Erde.Die physikalische Geodäsie erklärt, warum sie so ist.

Ohne physikalische Geodäsie gäbe es keine physikalisch sinnvollen Höhen.

Warum reicht geometrische Geodäsie nicht?

Weil:

• GNSS nur ellipsoidische Höhen liefert

• Höhen aber physikalisch durch das Schwerefeld definiert sind

• Wasser z. B. entlang von Äquipotentialflächen fließt

Ausführliche Antwort (2–3 Minuten)

Die physikalische Geodäsie untersucht:

1. Das Erdschwerefeld

   • räumliche Verteilung der Schwerebeschleunigung

   • Massenverteilung im Erdinneren

   • Anomalien durch Gebirge, Ozeane etc.

2. Das Schwerepotential

   • Grundlage für das Geoid

   • Verbindung zwischen Gravitation und Rotation

   • Bestimmung der Schwerekomponenten über den Gradienten

3. Das Geoid

   • Äquipotentialfläche des Schwerefeldes

   • physikalische Referenzfläche für Höhen

   • notwendig zur Umrechnung von GNSS-Höhen h in orthometrische Höhen H

4. Praktische Anwendungen

   • Höhenbestimmung (H = h − N)

   • Ingenieurvermessung

   • Meeresspiegelbestimmung

   • Satellitenbahnbestimmung

   • Geophysik (Massenanomalien im Erdinneren)

1. Äquipotentialfläche des realen Schwerefeldes, verläuft durch Kontinente, lotrecht zur Schwere.

2. „Kartoffelform“ wegen unregelmäßiger Massenverteilung.

• 
  

• Das Geoid ist eine Äquipotentialfläche des Erdschwerefeldes, die dem mittleren Meeresspiegel entspricht und sich unter den Kontinenten fortsetzt.

• Es dient als physikalische Referenzfläche für Höhen.

• Das Geoid ist eine Äquipotentialfläche des realen Erdschwerefeldes.

• Da die Erde keine homogene, rotationssymmetrische Massenverteilung besitzt, existiert keine einfache analytische Gleichung für das Potential. Deshalb muss das Geoid durch Kugelfunktionsentwicklungen oder numerische Verfahren bestimmt werden.

✅ Etwas ausführlicher (wenn er nachhakt)

• Das Geoid ist keine einfache geometrische Fläche wie ein Ellipsoid.

• Es ist definiert durch:

  • konstantes Schwerepotential

  • überall senkrecht zur Lotrichtung

• Wasser würde auf dieser Fläche nicht fließen.

• Es ist unregelmäßig wegen Massenanomalien im Erdinneren.

• Unterschied zum Referenzellipsoid = Geoidundulation N

Und dann direkt der wichtige Zusammenhang:

H=h−N

Hier will er Physikalische Geodäsie hören:

• Gravimetrische Messungen (Boden, Flugzeug, Satellit)

• Kugelfunktionsentwicklung (Legendre-Polynome)

• Lösung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie

• Kombination mit GNSS

„GNSS liefert ellipsoidische Höhen h; diese enthalten keine Schwereinformation. Für praxistaugliche (orthometrische) Höhen H benötigen wir die Geoidundulation N: H=h−N. Ohne ein gutes Geoidmodell bleiben systematische Fehler (Atmosphäre, Geoiduncertainty) — Nivellierung bleibt deutlich genauer (mm vs. cm).“

„GNSS misst h; für Nutzhöhen H brauchen wir N (Geoid)."

„GNSS-Messung für h plus ein Geoidmodell (aus Kugelfunktionskoeffizienten oder lokalen Gravfelddaten) → N berechnen → H = h − N; für höchste Genauigkeit müssen Geoidmodell und lokale Gravimetrie kombiniert werden.“

A) GNSS → orthometrische Höhen (kurz)

1. GNSS liefert ellipsoidische Höhen (h)

2. Bestimme Geoidundulation N (globales Geoidmodell oder lokale Kugelfunktionskoeffizienten + Gravimetrie).

3. Für brauchbare Höhen: orthometrische Höhe H=h−N.

4. Fehlerbetrachtung: Geoid-Uncertainty + GNSS-Random → Genauigkeit typ. cm-Bereich, nicht mm wie Nivellement.

5. Nivellierte Höhen deutlich genauer (mm-Bereich) vs. GNSS ~1–3 cm

Hier musst du liefern:

„Ein Potential ist eine skalare Funktion V(x,y,z). Die Schwerebeschleunigung erhält man als negativen Gradienten des Potentials:

g=−∇V

Das Erdschwerepotential setzt sich zusammen aus:

• Gravitationspotential

• Zentrifugalpotential“

„Potential V(x,y,z) ist ein Skalar; die Beschleunigung (Kraft je Masse) ist −∇V. Das Erdpotential besteht aus Gravitation + Zentrifugalpotenzial.“

„Potential → Gradient → Komponenten; Grav + Zentrifugal.“

1. Reales Potential: W = V = Gravitation + Zentrifugal

2. Störpotential: T=W−U, beschreibt Abweichung vom Normalpotential U.

3. Außerhalb der Massen: ΔT=0 → Laplace-Gleichung.

1. Bouguerplatte: ersetzt reale Gesteinsschichten durch unendlich ausgedehnte homogene Platte.

2. Freiluft: berücksichtigt nur freien Raum über Bezugsniveau.

3. Zweck: Gravimeter-Messungen auf das Geoid reduzieren.

„Die Freiluftanomalie berücksichtigt nur die Höhenreduktion der Schwere im freien Raum. Die Bougueranomalie korrigiert zusätzlich die Anziehung der zwischen Messpunkt und Bezugsfläche liegenden Gesteinsmassen mittels einer homogenen Bouguerplatte.“

„Man ersetzt die dazwischenliegende Gesteinsschicht durch eine unendliche homogene Platte (Eishockey-Puck bzw. Bouguer-Platte). Die Korrektur entfernt die Zusatzanziehung der über dem Bezugsniveau liegenden Massen. Freiluft-Korrektur berücksichtigt nur den freien Raum (Abnahme der Schwere mit Höhe). Typische Werte: Freiluft ≈ 0.3086 mGal/m, Bouguer ≈ 0.1119·ρ mGal/m (mit ρ in g/cm³).“

„Bouguer ersetzt Gestein durch unendliche Platte — einfache Näherung.“

B) Bouguer-Korrektur (ebenes Gelände)

1. Freiluftkorrektur: subtrahiere effektive Feldabnahme wegen Höhe.

2. Bouguer-Plattenkorrektur: subtrahiere Anziehung der gedachten Platte (Proportional zu ρ·H).

3. Topografische Korrektur: wenn nötig (häufig ignoriert bei flachem Gelände).

1. Instrumente: Gravimeter (relativ, absolut, supraleitend), Gradiometer, Schiffsgravimetrie

2. Astasierung: Verstärkt Neigung des Instruments (~Faktor 2000), besonders bei Relativgravimetern

„Technik zur Steigerung der Empfindlichkeit bei Relativgravimetern — mechanische Verstärkung der Neigung (z. B. Hebel/Untersetzung) erlaubt genauere Bestimmung der Gewichtskräfte; wird bei Waagebalkensystemen eingesetzt.“

„Euler: explizit, 1. Ordnung, einfach, schnell aber ungenau und instabil bei steifen Gleichungen.Heun (RK2): Zwei-Stufen-Verfahren, 2. Ordnung, deutlich genauer als Euler, guter Kompromiss.RK4: Vierstufen, 4. Ordnung, sehr genau für glatte Probleme, höhere Rechenkosten, Standardwahl wenn Genauigkeit wichtiger als Rechenzeit ist.“

„Euler: 1. Ordnung; Heun: 2. Ordnung; RK4: 4. Ordnung — tradeoff Genauigkeit/Rechenaufwand.“

1. Euler → zu ungenau bei großen Schrittweiten

2. RK4: Standard, robust und sehr genau, Gewichtung (k1+2k2+2k3+k4)/6

C) Numerik: Ablaufvergleich (bei Prüfung: sprachlich darstellen)

• Euler: „1 Schritt, benutze Steigung am Anfangspunkt; Fehler ~O(h).“

• Heun (RK2): „Prädiktor (Euler) + Korrigier (Mittelsteigung); Fehler ~O(h^2).“

• RK4: „4 Steigungen kombiniert; Fehler ~O(h^4), deutlich stabiler.“

„Horner ist eine effiziente Variante zur Evaluation eines Polynoms in monomischer Basis (O(n) Multiplikationen). Clenshaw ist das analoge rückwärts arbeitende Verfahren für Basisfunktionen, die über Drei-Punkt-Rekursion definiert sind (z. B. Legendre, Chebyshev) — numerisch stabil für große N.“

„Clenshaw: Rückwärtsrekursion mit zwei Hilfsvariablen; numerische Stabilität.“

D) Clenshaw — Ablauf (kurz)

• Rekursion rückwärts: zN​=cN​,zk​=ck​+αk+1​zk+1​+βk+2​zk+2​ – am Ende f(x)=z0f(x)=z_0f(x)=z0​ (konkrete α,β aus Rekursionsrelation der Basis).

• Nenne Vorteil: O(N) Operationen, stabiler als direkte Summation bei großen N.

• „Beide sind orthogonale Polynome, aber: Legendre sind orthogonal auf [−1,1] mit Gewicht 1;

• Chebyshev mit Gewicht 1/\sqrt(1−x2​). Chebyshev-Polynome minimieren das Max-Fehlerverhalten (Minimax-Eigenschaft) und sind numerisch günstig für polynomiale Approximations-Probleme (kleinere Oszillationen am Rand).“

1. Sehne: Gerade Verbindung im Raum, nicht auf Kugel

2. Kleinkreis: Kreis durch zwei Punkte, Ebene ≠ Erdmittelpunkt

3. Orthodrome: Großkreis durch Erdmittelpunkt → kürzeste Verbindung auf der Kugel

„Orthodrome = Großkreis (kürzeste Verbindung auf Kugel). Kleinkreis = Schnitt ebener Schnitte, nur Großkreise sind geodätisch. Die Sehne ist die lineare Verbindung zweier Punkte im Raum (Chord). Auf einem Ellipsoid ist die geodätische Linie die kürzeste Kurve; Berechnung erfordert iterative Lösungen (Vincenty, inverse geodätische Probleme).“

„Ort der kürzesten Strecke auf Kugel: Orthodrome (Großkreis).“

E) Sehne / Kleinkreis / Orthodrom (Rechenablauf, nicht vollständige Alg.)

• Auf Kugel: Kurze Strecke = Großkreis (Orthodrome). Berechne sphärische Koordinaten (lat1, lon1, lat2, lon2) → Verwendung Kugelgeometrie (z.B. sphärische Kosinussatz oder Vincenty für Ellipsoid).

• Kürzeste: Orthodrome (Großkreis) — wenn man auf Ellipsoid genau sein muss → geodätische Gleichung (iterativ; Vincenty oder geodätische Gleichung).

Kurzformeln & Merkhilfen (für die mündliche Antwort)

• H=h−N — ellipsoidische Höhe → orthometrische Höhe.

• Potential → Beschleunigung: g=−∇V (- Nabla V)

• Freiluft-Korrektur ≈ 0,3086 mGal/m (Abnahme mit Höhe).

• Bouguer-Plattenkraft ≈ 0,1119 ρ mGal/m (ρ in g/cm³) — Merksatz: „0,3086 Freiluft — 0,1119·ρ Bouguer“.

• Euler: yn+1​=yn​+hf(tn​,yn​).

• Heun (explizit): prädiktor + korrigier: k1​=f(tn​,yn​), k2​=f(tn​+h,yn​+hk1​), yn+1​=yn​+2h​(k1​+k2​).

• RK4 (kurz): k1​,k2​,k3​,k4​ → yn+1=yn​+h/6*​(k1​+2k2​+2k3​+k4​).

Merksatz Numerik: „Euler schnell, Heun doppelt so gut, RK4 sehr genau.“

·         Festlegung durch zwei unabhängige Parameter

•     Große Halbachse

•        Abplattung  à kleine Halbachse  f=a-b/a

·         Aktuell: WGS84, GRS80 à Zentrisch (Mittelpunkt liegt im Erdschwerpunkt)

·         (Historisch: Bessel, Krassowski à exzentrisch)

·     Gleichung nicht algebraisch lösbar, da  auf beiden Seiten der Gleichung steht

•      … ell. Breite

·         Lösung durch Umkehr der Reihe nach Schödlbauer o. nach Helmert

•    Angabe neuer Reihen, deren Koeffizienten komplett neu berechnet werden müssen

·         Lösung durch Iteration mit einem Näherungswert

•    angegebenen Reihen werden mit ihren Koeffizienten iterativ nach der Breite aufgelöst

·         Potential ist eine skalare Funktion à V=V(x,y,z), die jedem Punkt des Raumes exakt einen Energiewert (skalare Größe) zuordnet

·     Berechnung Kraftkomponenten: Gradient des Potentials à ∇V=

·         Konservatives Feld: Kraftfelder der Gravitation, bei der verrichtete Arbeit wegunabhängig ist

·         Schwerepotential der Erde = Gravitationspotential + Zentrifugalpotential

• Gravimeter (Absolut- und Relativ; Supraleitgravimeter)

• Gradiometer

• (Schiffsgravimetrie und Zenitkameras)

• Astasierung

• Nutzen: starke Empfindlichkeitssteigerung (Faktor 2000) von Gravimetern à Neigungen lassen sich genauer bestimmen

• Instrumententyp: im Relativgravimeter nach dem Waagebalkensystem

Aufgabe 5 (8 Punkte):

Auf einem (Spiel-)Ellipsoid mit der großen Halbachse a=6378 km und der Abplattung f=1/300 ist ein Punkt durch seine ellipsoidische Koordinaten (=50°, λ=9°, h=75 m) definiert.

b)      Testweise sollen die Koordinaten X, Y und Z als gegeben, und φ,λ,h als gesucht angesehen werden. Welche der drei Koordinaten φ,λ,h kann problemlos berechnet werden, welche Schwierigkeit ergibt sich bei den beiden anderen Koordinaten?

·         λ kann problemlos aus X und Y berechnet werden mit λ = arctan(X/Y)

·     h und φ sind über die nichtlinearen Koordinatengleichungen und den Radius N ( miteinander gekoppelt à Bestimmung nur iterativ möglich

c)      Geben Sie plausible Startwerte für eine Iteration an (Iteration nicht rechnen!).

Aufgabe 6 (12 Punkte):

Für eine besonders effiziente Auswertung von Drei-Punkt-Rekursionen wird in der Erdmessung der Clenshaw-Algorithmus eingesetzt. Gegeben seien die vier Koeffizienten c0=-2, c1=+1, c2=+2, c3=-1. Gesucht sei der Funktionswert

f(x) = c0 P0(x0) + c1 P1(x0) + … + cN PN(x0)

mit Legendre-Polynomen Pk(x) als Basisfunktionen, ausgewertet an der Stelle x0= t = -0.5.

a)      Von welchem Grad N wird das auszuwertende Polynom sein?

3, da N = (c)-1 = 4-1=3 und der höchste vorkommende Koeffizient c3=−1≠0 ist, läuft die Summe bis P3

b)      Welcher sphärischen Breite auf der Erdkugel entspricht der Parameter t = -0.5?

-90 <= phi <= 90 (Südpol <= phi <= Nordpol) -1 <= t <= 1

c)      Geben sie die notwendigen Legendre-Polynome Pk(x) bis zum Grad N an und werten Sie diese an der Stelle x0= -0.5 aus.

e)      Erläutern Sie die Idee des Clenshaw-Algorithmus‘. Welche Bedeutung haben die beiden Funktionen αk(x) („alpha“) und βk(x) („beta“)?

·         Idee Clenshaw: numerisch stabiler und effizienter Rekursionsalgorithmus bei großen N und verwendet die Drei-Punkt-Rekursion der Polynome

·         Führt zwei rückwärtsberechnete Hilfsgrößen ein (αk(x) und βk(x))

·         αk(x): beschreibt wie stark Pk(x) (mit Faktor x) in Pk+1(x) eingeht

·         βk(x): gibt an, wie stark das „zweite Vorgängerpolynom“ Pk-1(x) in die Rekursion eingeht

f)      Kontrollieren Sie das Resultat, indem Sie den Clenshaw-Algorithmus benutzen.

·         GNSS misst ellipsoidische Höhen h (enthalten keine Schwerefeldinformation, da Bezug aufs Ellipsoid)

·     Nutzung der Grundgleichung: H=h-N mit Geoidundulation  N (Berechnung von N z.B. mit Kugelfunktionskoeffizienten) à Berechnung von orthometrischen Höhen H à Erhalt von brauchbaren Höhen

·         Nein, ist nicht mit nivellierten Höhen vergleichbar

• Genauigkeit Nivellement: wenige mm

• Genauigkeit GNSS: 3-6 cm und mehr Störeinflüsse (Atmosphäre, Geoidmodell …)

• Ersetzung der dazwischenliegenden Gesteinsschicht zwischen Messpunkt und Geoid durch Bouguer-Platte (unendlich ausgedehnte, homogene Eispuck) und berechnet ihre Schwerewirkung

• Gelände wird als plan-parallel und gleichförmig angenommen → keine topographischen Details → einfache lineare Berechnung mit mittlerer Dichte Rho

• Zweck: entfernt zusätzliche Anziehungskraft der über dem Bezugsniveau liegenden Gesteinsmassen, sodass Messung auf das Geoid bzw. Bezugsniveau reduziert wird (0,1119 mgal/m * Höhe)

• Freiluft-Reduktion: korrigiert Abnahme der Schwere mit zunehmender Höhe, indem man nur den freien Raum zwischen Messpunkt und Bezugsniveau berücksichtigt (ohne Gestein) (0,3086 mGal/m)

• Weil der Einfluss der Topographie entfernt wird und nur Dichteanomalien im Untergrund sichtbar bleiben.

• Gravimeter (Absolut- und Relativ; Supraleitgravimeter)

• Gradiometer

• (Schiffsgravimetrie und Zenitkameras)

• Astasierung

• Nutzen: starke Empfindlichkeitssteigerung (Faktor 2000) von Gravimetern à Neigungen lassen sich genauer bestimmen

• Instrumententyp: im Relativgravimeter nach dem Waagebalkensystem

Aufgabe 5 (12 Punkte):

Eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung lautet

dy/dx = 3 · exp(-x) – 0.4 · y

b)      Was steht bezüglich der Genauigkeit der Resultate zu erwarten, wenn einerseits das Verfahren nach Euler und andererseits das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4) alternativ verwendet werden (nur erläutern, keine Rechnung)?

• Euler: niedrigste Genauigkeit (1. Ordnung), hoher Fehlerzuwachs, nur kleine Schrittweiten liefern sinnvolle Ergebnisse

• mittlere Genauigkeit (2. Ordnung), deutlich geringere Fehlerzuwächse als beim Euler-Verfahren, liefert bei moderaten Schrittweiten stabile und ausreichend genaue Ergebnisse

• RK4: deutlich höhere Genauigkeit (4. Ordnung), viel geringere Fehlerakkumulation, liefert zuverlässige Resultate auch bei größeren Schrittweiten à heutiger Standard

Aufgabe 6 (10 Punkte):

Für eine besonders effiziente Auswertung von Drei-Punkt-Rekursionen wird in der Erdmessung der Clenshaw-Algorithmus eingesetzt. Gegeben seien die vier Koeffizienten c0=-2, c1=+1, c2=+2, c3=-3. Gesucht ist der Funktionswert

f(x) = c0 P0(x) + c1 P1(x) + … + cN PN(x) mit Legendre-Polynomen Pn(x) als Basisfunktionen, ausgewertet an der Stelle x0= t= 0.75.

a)      Von welchem Grad N wird das auszuwertende Polynom sein?

3, da N = (c)-1 = 4-1=3 und der höchste vorkommende Koeffizient c3=−1≠0 ist, läuft die Summe bis P3

b)      Welcher sphärischen Breite auf der Erdkugel entspricht der Parameter t = 0.75?

c)      Geben sie die notwendigen Legendre-Polynome Pn(x) bis zum Grad N an und werten Sie diese an der Stelle x0 aus.

e)      Erläutern Sie die Idee des Clenshaw-Algorithmus‘. Welche Bedeutung haben die beiden Funktionen αn(x) und βn(x)?

f)      Kontrollieren Sie das Resultat, indem Sie den Clenshaw-Algorithmus in Tabellenform anwenden.

·         Masse m

·         Dämpfungskonstante d

·         Federkonstante k

·         RK4 nähert sich am besten und schnellsten an die Funktion an, durch Softwarelösungen heute der Standard

·         Euler ist das einfachste Verfahren und wird standardmäßig kaum/nie genutzt

·         RK2 bildet den Mittelweg zwischen RK4 und Euler; Ergebnisse kommen aber schon nah an RK4 ran

Wasser verteilt sich gleichmäßig

Funktionsweise kurz:

Beim Wirken einer Kraft F auf den Balken schwenkt dieser aus. Bei einer Astasierung ist auf dem Balken eine Astasierungseinheit montiert. Die Astasierungseinheit besteht aus einem waagerechten Gefäß. Das Gefäß ist mit einer Flüssigkeit und einer Luftblase gefüllt ähnlich wie bei einer Wasserwaage. Durch die Neigung sammelt sich das Wasser am niedrigsten Punkt (Die Luftblase bewegt sich zum höchsten Punkt). Durch das zusätzliche Gewicht des Wassers wird die Auslenkung des Balkens verstärkt.

Vorteil:

kleine Kraftänderungen sorgen durch Astasierung zu größeren Änderungen an der Neigung des Balkens, dadurch ist das Ablesen der Neigung eindeutiger (genauer) möglich

geringere Baugröße

Anwendung:

-       Relativgravimeter i.d.R. Sensoren mit Drehmoment-Waagen

Funktionsweise ausführlich nach ADV:

Astasierung: Mechanische Maßnahme, um die unmittelbare Sensorreaktion auf die Veränderung einer mechanischen Kraft zu vergrößern. Bei Gravimetern, die auf dem Prinzip des Drehmoments basieren, wird der Effekt der Astasierung erzeugt durch Wahl einer geeigneten Sensorgeometrie, insbesondere über den Winkel, den die Gravimeterfeder mit dem Hebel des Drehmomentsensors bildet. Die mechanische Reaktionsverstärkung wird bei astasierten Gravimetern meist auf einen Wert zwischen 1000 und 2000 eingestellt. Das Prinzip der Astasierung lässt sich mit Hilfe der „Apothekerwaage“ (Waage mit beidseitigen Schalen zur Aufnahme von Gewichten) veranschaulichen: Durch geeignete Veränderung von Zusatzgewichten auf der Schwerpunkt-Drehpunkt-Linie lässt sich der Abstand zwischen dem Gesamtschwerpunkt des mechanischen Systems und dem Waagen-Drehpunkt verringern, so dass eine Differenz zwischen den in den beiden Schalen liegenden Gewichten zu immer größeren Winkelausschlägen führt. Für eine stabile Gleichgewichtslage ist es erforderlich, dass der Gesamtschwerpunkt immer unter dem Systemdrehpunkt (der Drehachse) liegt.

Astasierte Gravimeter: Relativgravimeter, bei denen die mechanische Wirkung von Schwereänderungen auf den gravimetrischen Sensor durch Astasierung verstärkt wird. Die Sensoren sind überwiegend Drehmoment-Waagen. Die Anwendung dieses Prinzips ermöglicht eine geringe Baugröße. Die Sensoren bestehen meist aus einem um eine horizontale Achse drehbaren Hebel, an dessen anderen Ende sich der gravimetrische Probekörper befindet. Mit Hilfe einer unter einem spitzen Winkel angreifenden Gravimeterfeder (meist Schraubenfeder) wird dieser Hebel in einen horizontalen mittleren Ruhezustand eingestellt (relatives statisches Gleichgewicht, siehe Mikroseismik). Schwereänderungen verursachen einen Winkelausschlag. Bei der Ausschlagmethode dient dieser Winkelausschlag als analoges Maß der verursachenden Schwereänderung, bei der Null-Methode wird der Winkelausschlag durch geeignete Hilfskräfte oder andere Maßnahmen kompensiert, d.h. es wird auf diesem Wege die ursprüngliche Null-Lage des Gravimeterhebels wieder hergestellt; die Kompensationsgröße stellt den Analogwert für die aufgetretene Schwereänderung dar.

Die Winkelausschläge des Gravimeterhebels sind bei astasierten Gravimetern nichtlinear mit den verursachenden Schwereänderungen verknüpft, da Kippungen des Hebels die Geometrie des Sensors verändern und dadurch den Astasierungsfaktor (als Funktion des Winkelausschlags); diese Nichtlinearität der mechanischen Sensorreaktion auf Schwereänderungen unterscheidet die astasierten Gravimeter von den linearen Gravimetern.

Quelle: https://www.adv-online.de/AdV-Produkte/Integrierter-geodaetischer-Raumbezug/binarywriterservlet?imgUid=24c70361-4be9-0b61-b221-d8b23b36c4c2&uBasVariant=11111111-1111-1111-1111-111111111111

• Bei der Entwicklung des Erdpotentials in Kugelfunktionen treten Legendre-Polynome als Basisfunktionen auf (sphärische Harmonische).

• Sie sind die natürlichen Basisfunktionen zur Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten (globale Geoid-/Potentialmodelle).

Legendre wird in der Geodäsie verwendet bei der Berechnung von Geoidhöhen, Lotabweichungen, Schwerestörungen und der Schwereanomalie. Dabei bilden die Ergebnisse von Legendre eine Art Gewichtungskoeffizient für die jeweilige Berechnung (siehe Abb.).

Man unterscheidet Legendre-Polynome und Legendre-Funktionen. Wenn in der Formel im rot markierten Rahmen der m-Wert gleich 0 ist spricht man von Legendre-Polynomen. Anderenfalls von Legendre-Funktionen. Damit sind Legendre-Polynome eine Sonderform der Legendre-Funktionen

Unterschiedliche Nutzung der Polynome à für was Tschebyscheff, Legendre, Polynome

Legendre:

• siehe oben (Gewichtung bei Geoidberechnung etc.)

Tschebyscheff:

• Design bestimmter digitaler Filter

• Approximation von Satellitenbahnen und Ephemeriden

• Approximierung weiterer komplexer funktionaler Zusammenhänge

Polynome:

• koordinale Transformationen (Lage- /Datumstransformation

• Deformationsanalyse (Abbilden von glatten Trends oder systematischen Anteilen)

„Die geopotentielle Zahl C ist die Potentialdifferenz zwischen Geoid und einem Punkt. Sie wird durch Integration der Schwere entlang der Lotlinie bestimmt. Sie ist physikalisch sinnvoller als eine reine Längenangabe, da sie das energetische Niveau im Schwerefeld beschreibt.“

„Die Schwereanomalie ist die Differenz zwischen gemessener realer Schwere und Normalschwere des Referenzellipsoids. Sie beschreibt Abweichungen vom Normalfeld und bildet die Grundlage für die Bestimmung des Störpotentials und damit des Geoids.“

• Kugelfunktionsentwicklungen werden verwendet, weil das Störpotential T außerhalb der Massen die Laplace-Gleichung erfüllt

• deren Lösungen in Kugelkoordinaten sphärische Harmonische sind.

• Sie sind global geeignet, da sie die Erde als Ganzes beschreiben (Erde annähernd kugelförmig).

• Für lokale Detailuntersuchungen sind sie weniger effizient, da hohe Entwicklungsgrade notwendig sind und jede Basisfunktion global wirkt.

• Koeffizienten stammen aus den Satellitenmissionen GRACE oder GOCE

• 
  

• Bei homogener, nicht rotierender Erde wäre das Geoid eine Kugel.

• Aufgrund der Erdrotation entsteht jedoch ein Zentrifugalpotential, sodass das Gleichgewicht zwischen Gravitation und Rotation zu einem Rotationsellipsoid führt.

• Beim Wechsel in ein mitbewegtes System wie ETRS89 werden die globalen Plattenbewegungen herausgerechnet.

• Dadurch sind die Punktgeschwindigkeiten relativ zur Eurasischen Platte nahezu null. Im globalen ITRF hingegen sieht man die absolute Plattenbewegung.

• Plattenbewegungen werden durch einen Euler-(Rotations)vektor beschrieben: Lage des Rotationspols (Breite, Länge) + Rotationsrate.

• In der Praxis schätzt man aus GNSS-Zeitreihen Punktgeschwindigkeiten, gruppiert Punkte zu Platten, berechnet mittels Ausgleich (Regression/Ausgleichung) den Euler-Vektor und prüft No-Net-Rotation-Bedingungen.

• (Kurz: Messung → Zeitreihen → Ausgleich → Euler-Vektor.)

• LEO (Low Earth Orbit, ≈200–2000 km): z.B. CHAMP, GRACE, GOCE — wichtig für Schwerefeldmessung (hohe räumliche Auflösung).

• MEO (Medium, ≈2 000–20 000 km): GNSS-Satelliten (GPS, Galileo) — entscheidend für Positionierung.

• GEO (Geostationär, ≈36 000 km): Kommunikations-/Wettersatelliten; nicht primär für hochpräzise Geodäsie. (Beispiele und Missionsbeschreibungen: CHAMP, GRACE, GOCE, Altimetrie-Satelliten sind im Buch diskutiert.)

  
  

• Weil sie näher an der Erde fliegen. Das Schwerefeld nimmt mit der Höhe stark ab. In niedriger Umlaufbahn sind kurzwellige Anomalien besser messbar.

• a = große Halbachse (Äquatorradius), b = kleine Halbachse (Polradius). Diese definieren die Form (Abplattung).

• Lineare Exzentrizität beschreibt Abstand Brennpunkt–Mittelpunkt einer Erzeuger-Ellipse;

• nützlich bei analytischen Formeln (Ellipse/Geometrie).

• Sie werden zur Umrechnung zwischen kartesischen/ellipsoidischen Koordinaten und zur Berechnung Krümmungsradien verwendet.

• Dann ist das Ellipsoid eine Kugel und die Exzentrizität wird null.

  
  

• Der Meridianradius M beschreibt Krümmung in N–S-Richtung (Schnitt im Meridian);

• der Querkrümmungsradius (Parallelkreisradius N / Radius des Breitenkreises) beschreibt Krümmung in O–W-Richtung.

• Beide hängen von Breite und Ellipsoidparametern ab und werden bei Strecken-/Bogenberechnungen verwendet. (Bogenformel (b/R = alpha / rho)+ Krümmungsradien in Kapitel Ellipsoid-Geometrie.)

• Weil das Ellipsoid abgeplattet ist. Am Äquator ist die Krümmung in Nord-Süd-Richtung anders als in Ost-West-Richtung. Am Pol nähern sich die Radien an.

• Für berechnungen auf der Kugeloberfläche (z. B. Orthodromen, Großkreise, sphärische Dreiecke):

• Bei gegebenen zwei Seiten + eingeschlossenem Winkel → dritte Seite (oder umgekehrt).

• Wichtig für Näherungsrechnungen von Distanzen/Azimut auf der Kugel (Grundwerkzeuge der klassischen Geodäsie). (Formeln im Kapitel Umrechnungen / trigonometrische Formeln.)

• Weil die Kugeloberfläche gekrümmt ist. Winkel- und Seitenbeziehungen folgen sphärischer Geometrie, nicht der euklidischen Ebene.

• 1) Bestimme Kartesische/ellipsoidische Koordinaten aus geographischer Breite/Länge/Höhe (oder umgekehrt) mit Transformationsformeln;

• 2) Anwenden der Projektionsformel (z. B. Transversale Mercator) für Ebene → Ellipsoid;

• 3) Bei Transformation zwischen Kartennet­zen: Helmert-/Ähnlichkeitstransformation mit Passpunkten und Ausgleichung.

  (Kapitel zu Umrechnungen & Helmert-Transformation.)

• Weil die Breite in mehreren nichtlinearen Termen vorkommt. Man muss iterativ lösen.

• Ein Datum definiert Ursprung, Achsenorientierung und Skalierung (z. B. ITRF/ETRS89).

• Zum Übergang: Änderung der Parameter (Verschiebung, Rotation, Maßstab) mittels Helmert-Transformation (3 Translationen, 3 Rotationen, 1 Maßstab)

• oder durch komplexere Datumstransformationen; Parameter werden aus Passpunkten geschätzt.

• Weil sich Koordinatensysteme in ihrer Längeneinheit minimal unterscheiden können. Der Maßstab korrigiert diese Differenz.

  
  

Das geodätische Datum bezeichnet die Lage eines exzentrischen Koordinatensystems relativ zu einem geozentrischen Koordinatensystem. Die Parameter des geodätischen Datums sind drei Verschiebungsparameter (Größenordnung: maximal einige Hundert Meter) , drei kleine Verdrehungswinkel (im Bereich weniger Bogensekunden) , ein nur wenig von Eins abweichender Maßstabsfaktor ( q- 1 hat wenige ppm) und zwei Parameter (meist a und f) des einbeschriebenen Rotationsellipsoids.

Datumstransformation bezeichnet die Transformation zwischen einem exzentrischen und einem geozentrischen System. Datumsübergang ist die Transformation zwischen zwei exzentrischen Systemen mit unterschiedlichem geodätischen Datum. Ein Ellipsoidübergang ist schließlich die Transformation zwischen zwei Referenzsystemen mit lediglich anderen Ellipsoidparametern.

• Eine Funktion ist harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung erfüllt: ΔV=0.

• Für das Störpotential T außerhalb der Massen gilt Laplace’sche Gleichung (keine Quellen) — das macht die Verwendung sphärischer Harmonischer möglich. (Kapitel Potential & Laplace/Poisson-Diskussion.)

• Außerhalb gibt es keine Massen → keine Quellen → Laplace-Gleichung.Innerhalb wirken Massen → Poisson-Gleichung mit Dichte-Term.

• Legendre Pn(t): orthogonal auf [−1,1], rekursive Drei-Punkt-Formeln; Einsatz: Kugelfunktionen / Geopotential.

• Tschebyscheff Tn(t): minimiert Maximalfehler bei Approximation (Chebyshev-Approx.); gut für numerische Approx./Intervall-Approx.

• Klass. Polynome ∑a_n x^n: einfache Monome; Einsatz: allgemeine Polynomanpassung — Horner-Formel zur effizienten Auswertung.(Anmerkung: Legendre/Tschebyscheff sind orthogonale Basen; Buch behandelt Legendre im Kontext Kugelentwicklungen.)

• Weil sie den maximalen Fehler minimieren (Minimax-Eigenschaft) und numerisch stabiler sind als hohe Monome.

1. Horner: effiziente Auswertung gewöhnlicher Polynome in Monombasis ∑a_n x^n.

2. Clenshaw: effiziente, numerisch stabile Rückwärtsrekursion zur Auswertung von Reihen mit rekursiven Basisfunktionen (z. B. Legendre oder Chebyshev). Hinweis: Das Buch behandelt Legendre-Reihen; die Empfehlung (Clenshaw für rekursive Basen, Horner für Monome) ist Standard-Numerik.

3. Weil es rückwärts rekursiv arbeitet und Rundungsfehler weniger verstärkt als direkte Vorwärtsauswertung.

• Eine partielle Differentialgleichung (z.B. Laplace/Poisson) wird mit Randbedingungen gelöst:

• z. B. Dirichlet (Potential vorgegeben), Neumann (Ableitung/Schwere vorgegeben).

• Diese Probleme erscheinen beim Geoid (man löst das Störpotential aus Schwere-Randwerten).

• Es ist ein Neumann-Problem, weil die Schwere (Ableitung des Potentials) an der Oberfläche vorgegeben ist.

• Konvergenz: Iteratives/näherungsweises Verfahren nähert sich einer Lösung (Fehler → 0).

• Divergenz: Fehler wächst oder Verfahren läuft nicht zum Ziel. Beispiel: Linearisierungsiteration (Taylor) muss konvergieren; sonst Abbruch. (Kapitel Numerik/Iteration & Konvergenzbegriffe.)

• Wenn die Korrekturen größer werden statt kleiner oder die Residuen wachsen, divergiert das Verfahren.

• Nichtlineare Beobachtungsgleichungen werden um Näherungswerte mittels Taylor-Expansion linearisiert (erste Ableitungen), so dass lineare Ausgleichsverfahren anwendbar sind.

• Iteration bis Konvergenz liefert Lösung. (Kapitel Parameterschätzung & Beispiele.)

• Weil bei kleinen Korrekturen höhere Terme vernachlässigbar klein sind.

• Schwereanomalie: Abweichung der gemessenen Schwere ggg vom Normalkraftfeld γ\gammaγ des Referenze llipsoids (Δg=g−γ).

• Störpotential T beschreibt Abweichung des realen Potentials vom Normalpotential;

• Anomalien sind Eingangsgrößen zur Bestimmung des Geoids über Randwertverfahren. (Direkt im Kapitel über Störgrößen/Anomalien erklärt.)

• Kollokation ist ein statistisch-geophysikalisches Interpolations-/Optimalschätzverfahren zum Kombinieren heterogener Beobachtungen (z. B. Gravimeter- und Satellitendaten) unter Annahme kovarianz-strukturierter Modelle.

• Es liefert beste lineare unverzerrte Schätzung (BLUE) und Fehlerabschätzung.

• Weil sie beschreibt, wie stark Messungen räumlich zusammenhängen. Ohne Kovarianz keine optimale Schätzung.

• In Ausgleichungsproblemen wird die Fehler/Gewichtsmatrix oft in Blöcke (horizontal/vertikal) aufgeteilt, um unterschiedliche Komponenten (z. B. Lage vs. Höhe) separat zu behandeln oder zu konditionieren —

• nützlich zur numerischen Stabilität und Modellierung korrelierter Messfehler.

  (Allgemeine Ausgleichs-/Kovarianz-Diskussion im Buch.)

• Bei großen Netzen reduziert sie Rechenaufwand und verbessert numerische Stabilität.

• Eigenwerte einer (z. B.) Normal- oder Kovarianzmatrix zeigen Konditionierung: sehr kleine Eigenwerte → schlecht konditioniertes Problem (sensible Lösungen, numerische Instabilität).

• Sie helfen bei Regularisierung, Gewichtung oder Reduktion (z. B. SVD, Tikhonov). (Kapitel Parameterschätzung und Matrixeigenschaften.)

• Das Netz ist schlecht bestimmt oder enthält Freiheitsgrade (z.B. unbestimmte Translation/Rotation).

• Ausgleichung gibt korrigierte Punktkoordinaten, Kovarianzmatrizen, Varianzfaktoren, Residuen, und Konsistenztests.

• Ein Rechenzentrum (oder Auswertezentrum) erstellt z. B. vereinheitlichte Referenzdaten, Transformationsparameter, Höhen-/Geoidmodelle und Qualitätstabellen.

  (Buchkapitel: Statistik & Anwendungen / Auswerteverfahren.)

• Dann stimmen Beobachtungsgewichte oder Fehlermodell nicht.

• Große Netzwerke schichtet/partitioniert man in Blöcke (Regionalnetze), passt lokal an und kombiniert dann global (Blocking) unter Berücksichtigung Korrelationen

• spart Rechenaufwand und macht Anpassung großer Netze (pragmatisch + präzise) handhabbar.

• präzise und praktikable Anpassung sehr großer geodätischer Netze durch eine geschichtete Strukturierung und Blockweise Verarbeitung von Messdaten

• Weil große Normalgleichungssysteme numerisch instabil und speicherintensiv wären.

• Nichtlineare Modelle werden mit Taylor-Linearisierung um Näherungswerte transformiert, dann in linearer Form gelöst; anschließend Iteration bis Konvergenz.

• Beispiele: Strecken (räumlich), Richtungsnetze, kombinierte Netze —

• Vorgehen: Näherung → Linearisation → Normalgleichungen → Lösung → Update → wiederholen.

• Dann kann die Iteration divergieren oder im falschen Minimum landen.

• Wähle Näherungswerte a0,b0,c0,d0​ → Taylor-Expansion erster Ordnung → lineares Fehlergleichungssystem in den Inkrementen Δa,Δb,Δc,Δd → Ausgleich → Iteration bis Δ klein. (Formeln & Vorgehen siehe Kapitel Nichtlineare Anwendungen / Taylorlinearisation.)

• lineare Parameter: a Verschiebung in Y-Richtung, b Amplitude

• nicht lineare Parameter: c Periode, d Phase

• d Phase: Weil kleine Änderungen der Phase große Änderungen im Funktionsverlauf bewirken.

• Die Norm ∥v∥ ist der Betrag/Länge: ∥v∥=sqrt (v12​+v22​+…​. )

• In der Geodäsie oft euklidische Norm zur Fehlerabschätzung verwendet. (Notation im Kapitel Notation / Matrizen & Vektoren.

• Weil sie mathematisch differenzierbar ist und zu linearen Normalgleichungen führt (Methode der kleinsten Quadrate).

• Der Kalman-Filter ist ein rekursives Schätzverfahren für zeitabhängige Zustände (z. B. Position & Geschwindigkeit):

• kombiniert Modellvorhersage + neue Messung und liefert optimale (minimale Varianz) Schätzung bei Gauß-Rauschannahme.

• In Geodäsie: GNSS/INS-Integration, Bahnfilterung, Echtzeit-Positionierung.

• Kalman ist rekursiv und zeitabhängig. Klassische Ausgleichung verarbeitet alle Beobachtungen gleichzeitig.