physikalische Geodäsie

„Physikalische Geodäsie verbindet Geometrie mit Physik – sie beschreibt das Schwerefeld der Erde und macht Höhen physikalisch sinnvoll.“

„Die physikalische Geodäsie beschäftigt sich mit dem Schwerefeld der Erde und dessen Wirkung. Sie liefert die physikalische Grundlage für Höhen, das Geoid und die Interpretation von Satelliten- und GNSS-Messungen. Ohne physikalische Geodäsie könnten wir keine physikalisch sinnvollen Höhen angeben und das Erdschwerefeld nicht modellieren.“

Die geometrische Geodäsie beschreibt die Form der Erde.Die physikalische Geodäsie erklärt, warum sie so ist.

Ohne physikalische Geodäsie gäbe es keine physikalisch sinnvollen Höhen.

Warum reicht geometrische Geodäsie nicht?

Weil:

• GNSS nur ellipsoidische Höhen liefert

• Höhen aber physikalisch durch das Schwerefeld definiert sind

• Wasser z. B. entlang von Äquipotentialflächen fließt

Ausführliche Antwort (2–3 Minuten)

Die physikalische Geodäsie untersucht:

1. Das Erdschwerefeld

   • räumliche Verteilung der Schwerebeschleunigung

   • Massenverteilung im Erdinneren

   • Anomalien durch Gebirge, Ozeane etc.

2. Das Schwerepotential

   • Grundlage für das Geoid

   • Verbindung zwischen Gravitation und Rotation

   • Bestimmung der Schwerekomponenten über den Gradienten

3. Das Geoid

   • Äquipotentialfläche des Schwerefeldes

   • physikalische Referenzfläche für Höhen

   • notwendig zur Umrechnung von GNSS-Höhen h in orthometrische Höhen H

4. Praktische Anwendungen

   • Höhenbestimmung (H = h − N)

   • Ingenieurvermessung

   • Meeresspiegelbestimmung

   • Satellitenbahnbestimmung

   • Geophysik (Massenanomalien im Erdinneren)

„Das Geoid ist eine Äquipotentialfläche des Erdschwerefeldes, die dem mittleren Meeresspiegel entspricht und sich unter den Kontinenten fortsetzt. Es dient als physikalische Referenzfläche für Höhen.“

✅ Etwas ausführlicher (wenn er nachhakt)

• Das Geoid ist keine einfache geometrische Fläche wie ein Ellipsoid.

• Es ist definiert durch:

  • konstantes Schwerepotential

  • überall senkrecht zur Lotrichtung

• Wasser würde auf dieser Fläche nicht fließen.

• Es ist unregelmäßig wegen Massenanomalien im Erdinneren.

• Unterschied zum Referenzellipsoid = Geoidundulation N

Und dann direkt der wichtige Zusammenhang:

H=h−N

Hier will er Physikalische Geodäsie hören:

• Gravimetrische Messungen (Boden, Flugzeug, Satellit)

• Kugelfunktionsentwicklung (Legendre-Polynome)

• Lösung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie

• Kombination mit GNSS

„GNSS liefert ellipsoidische Höhen h; diese enthalten keine Schwereinformation. Für praxistaugliche (orthometrische) Höhen H benötigen wir die Geoidundulation N: H=h−N. Ohne ein gutes Geoidmodell bleiben systematische Fehler (Atmosphäre, Geoiduncertainty) — Nivellierung bleibt deutlich genauer (mm vs. cm).“

„GNSS misst h; für Nutzhöhen H brauchen wir N (Geoid)."

„GNSS-Messung für h plus ein Geoidmodell (aus Kugelfunktionskoeffizienten oder lokalen Gravfelddaten) → N berechnen → H = h − N; für höchste Genauigkeit müssen Geoidmodell und lokale Gravimetrie kombiniert werden.“

A) GNSS → orthometrische Höhen (kurz)

1. GNSS liefert h.

2. Bestimme Geoidundulation N (globales Geoidmodell oder lokale Kugelfunktionskoeffizienten + Gravimetrie).

3. Dann H=h−N.

4. Fehlerbetrachtung: Geoid-Uncertainty + GNSS-Random → Genauigkeit typ. cm-Bereich, nicht mm wie Nivellement.

Hier musst du liefern:

„Ein Potential ist eine skalare Funktion V(x,y,z). Die Schwerebeschleunigung erhält man als negativen Gradienten des Potentials:

g=−∇V

Das Erdschwerepotential setzt sich zusammen aus:

• Gravitationspotential

• Zentrifugalpotential“

„Potential V(x,y,z) ist ein Skalar; die Beschleunigung (Kraft je Masse) ist −∇V. Das Erdpotential besteht aus Gravitation + Zentrifugalpotenzial.“

„Potential → Gradient → Komponenten; Grav + Zentrifugal.“

„Man ersetzt die dazwischenliegende Gesteinsschicht durch eine unendliche homogene Platte (Eishockey-Puck bzw. Bouguer-Platte). Die Korrektur entfernt die Zusatzanziehung der über dem Bezugsniveau liegenden Massen. Freiluft-Korrektur berücksichtigt nur den freien Raum (Abnahme der Schwere mit Höhe). Typische Werte: Freiluft ≈ 0.3086 mGal/m, Bouguer ≈ 0.1119·ρ mGal/m (mit ρ in g/cm³).“

„Bouguer ersetzt Gestein durch unendliche Platte — einfache Näherung.“

B) Bouguer-Korrektur (ebenes Gelände)

1. Freiluftkorrektur: subtrahiere effektive Feldabnahme wegen Höhe.

2. Bouguer-Plattenkorrektur: subtrahiere Anziehung der gedachten Platte (Proportional zu ρ·H).

3. Topografische Korrektur: wenn nötig (häufig ignoriert bei flachem Gelände).

„Technik zur Steigerung der Empfindlichkeit bei Relativgravimetern — mechanische Verstärkung der Neigung (z. B. Hebel/Untersetzung) erlaubt genauere Bestimmung der Gewichtskräfte; wird bei Waagebalkensystemen eingesetzt.“

„Euler: explizit, 1. Ordnung, einfach, schnell aber ungenau und instabil bei steifen Gleichungen.Heun (RK2): Zwei-Stufen-Verfahren, 2. Ordnung, deutlich genauer als Euler, guter Kompromiss.RK4: Vierstufen, 4. Ordnung, sehr genau für glatte Probleme, höhere Rechenkosten, Standardwahl wenn Genauigkeit wichtiger als Rechenzeit ist.“

„Euler: 1. Ordnung; Heun: 2. Ordnung; RK4: 4. Ordnung — tradeoff Genauigkeit/Rechenaufwand.“

C) Numerik: Ablaufvergleich (bei Prüfung: sprachlich darstellen)

• Euler: „1 Schritt, benutze Steigung am Anfangspunkt; Fehler ~O(h).“

• Heun (RK2): „Prädiktor (Euler) + Korrigier (Mittelsteigung); Fehler ~O(h^2).“

• RK4: „4 Steigungen kombiniert; Fehler ~O(h^4), deutlich stabiler.“

„Horner ist eine effiziente Variante zur Evaluation eines Polynoms in monomischer Basis (O(n) Multiplikationen). Clenshaw ist das analoge rückwärts arbeitende Verfahren für Basisfunktionen, die über Drei-Punkt-Rekursion definiert sind (z. B. Legendre, Chebyshev) — numerisch stabil für große N.“

„Clenshaw: Rückwärtsrekursion mit zwei Hilfsvariablen; numerische Stabilität.“

D) Clenshaw — Ablauf (kurz)

• Rekursion rückwärts: zN=cN,  zk=ck+αk+1zk+1+βk+2zk+2z_{N}=c_{N},\; z_{k}=c_k + \alpha_{k+1} z_{k+1} + \beta_{k+2} z_{k+2}zN​=cN​,zk​=ck​+αk+1​zk+1​+βk+2​zk+2​ – am Ende f(x)=z0f(x)=z_0f(x)=z0​ (konkrete α,β aus Rekursionsrelation der Basis).

• Nenne Vorteil: O(N) Operationen, stabiler als direkte Summation bei großen N.

„Beide sind orthogonale Polynome, aber: Legendre sind orthogonal auf [−1,1] mit Gewicht 1; Chebyshev mit Gewicht 1/1−x21/\sqrt{1-x^2}1/1−x2​. Chebyshev-Polynome minimieren das Max-Fehlerverhalten (Minimax-Eigenschaft) und sind numerisch günstig für polynomiale Approximations-Probleme (kleinere Oszillationen am Rand).“

„Orthodrome = Großkreis (kürzeste Verbindung auf Kugel). Kleinkreis = Schnitt ebener Schnitte, nur Großkreise sind geodätisch. Die Sehne ist die lineare Verbindung zweier Punkte im Raum (Chord). Auf einem Ellipsoid ist die geodätische Linie die kürzeste Kurve; Berechnung erfordert iterative Lösungen (Vincenty, inverse geodätische Probleme).“

„Ort der kürzesten Strecke auf Kugel: Orthodrome (Großkreis).“

E) Sehne / Kleinkreis / Orthodrom (Rechenablauf, nicht vollständige Alg.)

• Auf Kugel: Kurze Strecke = Großkreis (Orthodrome). Berechne sphärische Koordinaten (lat1, lon1, lat2, lon2) → Verwendung Kugelgeometrie (z.B. sphärische Kosinussatz oder Vincenty für Ellipsoid).

• Kürzeste: Orthodrome (Großkreis) — wenn man auf Ellipsoid genau sein muss → geodätische Gleichung (iterativ; Vincenty oder geodätische Gleichung).

Kurzformeln & Merkhilfen (für die mündliche Antwort)

• H=h−N — ellipsoidische Höhe → orthometrische Höhe.

• Potential → Beschleunigung: g=−∇V (- Nabla V)

• Freiluft-Korrektur ≈ 0,3086 mGal/m (Abnahme mit Höhe).

• Bouguer-Plattenkraft ≈ 0,1119 ρ mGal/m (ρ in g/cm³) — Merksatz: „0,3086 Freiluft — 0,1119·ρ Bouguer“.

• Euler: yn+1=yn+hf(tn,yn)y_{n+1}=y_n + h f(t_n,y_n)yn+1​=yn​+hf(tn​,yn​).

• Heun (explizit): prädiktor + korrigier: k1=f(tn,yn)k_1=f(t_n,y_n)k1​=f(tn​,yn​), k2=f(tn+h,yn+hk1)k_2=f(t_n+h,y_n+h k_1)k2​=f(tn​+h,yn​+hk1​), yn+1=yn+h2(k1+k2)y_{n+1}=y_n+\tfrac{h}{2}(k_1+k_2)yn+1​=yn​+2h​(k1​+k2​).

• RK4 (kurz): k1​,k2​,k3​,k4​ → yn+1=yn​+h/6*​(k1​+2k2​+2k3​+k4​).

Merksatz Numerik: „Euler schnell, Heun doppelt so gut, RK4 sehr genau.“

·         Festlegung durch zwei unabhängige Parameter

•     Große Halbachse

•        Abplattung  à kleine Halbachse  f=a-b/a

·         Aktuell: WGS84, GRS80 à Zentrisch (Mittelpunkt liegt im Erdschwerpunkt)

·         (Historisch: Bessel, Krassowski à exzentrisch)

·     Gleichung nicht algebraisch lösbar, da  auf beiden Seiten der Gleichung steht

•      … ell. Breite

·         Lösung durch Umkehr der Reihe nach Schödlbauer o. nach Helmert

•    Angabe neuer Reihen, deren Koeffizienten komplett neu berechnet werden müssen

·         Lösung durch Iteration mit einem Näherungswert

•    angegebenen Reihen werden mit ihren Koeffizienten iterativ nach der Breite aufgelöst

·         Potential ist eine skalare Funktion à V=V(x,y,z), die jedem Punkt des Raumes exakt einen Energiewert (skalare Größe) zuordnet

·     Berechnung Kraftkomponenten: Gradient des Potentials à ∇V=

·         Konservatives Feld: Kraftfelder der Gravitation, bei der verrichtete Arbeit wegunabhängig ist

·         Schwerepotential der Erde = Gravitationspotential + Zentrifugalpotential

• Gravimeter (Absolut- und Relativ; Supraleitgravimeter)

• Gradiometer

• (Schiffsgravimetrie und Zenitkameras)

• Astasierung

• Nutzen: starke Empfindlichkeitssteigerung (Faktor 2000) von Gravimetern à Neigungen lassen sich genauer bestimmen

• Instrumententyp: im Relativgravimeter nach dem Waagebalkensystem

Aufgabe 5 (8 Punkte):

Auf einem (Spiel-)Ellipsoid mit der großen Halbachse a=6378 km und der Abplattung f=1/300 ist ein Punkt durch seine ellipsoidische Koordinaten (=50°, λ=9°, h=75 m) definiert.

a)      Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten (X, Y, Z).

b)      Testweise sollen die Koordinaten X, Y und Z als gegeben, und φ,λ,h als gesucht angesehen werden. Welche der drei Koordinaten φ,λ,h kann problemlos berechnet werden, welche Schwierigkeit ergibt sich bei den beiden anderen Koordinaten?

·         λ kann problemlos aus X und Y berechnet werden mit λ = arctan(X/Y)

·     h und  sind über die nichtlinearen Koordinatengleichungen und den Radius N ( miteinander gekoppelt à Bestimmung nur iterativ möglich

c)      Geben Sie plausible Startwerte für eine Iteration an (Iteration nicht rechnen!).

Aufgabe 6 (12 Punkte):

Für eine besonders effiziente Auswertung von Drei-Punkt-Rekursionen wird in der Erdmessung der Clenshaw-Algorithmus eingesetzt. Gegeben seien die vier Koeffizienten c0=-2, c1=+1, c2=+2, c3=-1. Gesucht sei der Funktionswert

f(x) = c0 P0(x0) + c1 P1(x0) + … + cN PN(x0)

mit Legendre-Polynomen Pk(x) als Basisfunktionen, ausgewertet an der Stelle x0= t = -0.5.

a)      Von welchem Grad N wird das auszuwertende Polynom sein?

3, da N = (c)-1 = 4-1=3 und der höchste vorkommende Koeffizient c3=−1≠0 ist, läuft die Summe bis P3

b)      Welcher sphärischen Breite auf der Erdkugel entspricht der Parameter t = -0.5?

c)      Geben sie die notwendigen Legendre-Polynome Pk(x) bis zum Grad N an und werten Sie diese an der Stelle x0= -0.5 aus.

d)      Wie groß ist der Funktionswert f(x0=-0.5) aus der oben angegebenen Beziehung?

e)      Erläutern Sie die Idee des Clenshaw-Algorithmus‘. Welche Bedeutung haben die beiden Funktionen αk(x) („alpha“) und βk(x) („beta“)?

·         Idee Clenshaw: numerisch stabiler und effizienter Rekursionsalgorithmus bei großen N und verwendet die Drei-Punkt-Rekursion der Polynome

·         Führt zwei rückwärtsberechnete Hilfsgrößen ein (αk(x) und βk(x))

·         αk(x): beschreibt wie stark Pk(x) (mit Faktor x) in Pk+1(x) eingeht

·         βk(x): gibt an, wie stark das „zweite Vorgängerpolynom“ Pk-1(x) in die Rekursion eingeht

f)      Kontrollieren Sie das Resultat, indem Sie den Clenshaw-Algorithmus benutzen.

·         GNSS misst ellipsoidische Höhen h (enthalten keine Schwerefeldinformation, da Bezug aufs Ellipsoid)

·     Nutzung der Grundgleichung:  mit Geoidundulation  (Berechnung von N z.B. mit Kugelfunktionskoeffizienten) à Berechnung von orthometrischen Höhen H à Erhalt von brauchbaren Höhen

·         Nein, ist nicht mit nivellierten Höhen vergleichbar

• Genauigkeit Nivellement: wenige mm

• Genauigkeit GNSS: 3-6 cm und mehr Störeinflüsse (Atmosphäre, Geoidmodell …)

• Ersetzung der dazwischenliegenden Gesteinsschicht zwischen Messpunkt und Geoid durch Bouguer-Platte (unendlich ausgedehnte, homogene Eispuck) und berechnet ihre Schwerewirkung

• Gelände wird als plan-parallel und gleichförmig angenommen → keine topographischen Details → einfache lineare Berechnung mit mittlerer Dichte Rho

• Zweck: entfernt zusätzliche Anziehungskraft der über dem Bezugsniveau liegenden Gesteinsmassen, sodass Messung auf das Geoid bzw. Bezugsniveau reduziert wird (0,1119 mgal/m * Höhe)

• Freiluft-Reduktion: korrigiert Abnahme der Schwere mit zunehmender Höhe, indem man nur den freien Raum zwischen Messpunkt und Bezugsniveau berücksichtigt (ohne Gestein) (0,3086 mGal/m)

• Gravimeter (Absolut- und Relativ; Supraleitgravimeter)

• Gradiometer

• (Schiffsgravimetrie und Zenitkameras)

• Astasierung

• Nutzen: starke Empfindlichkeitssteigerung (Faktor 2000) von Gravimetern à Neigungen lassen sich genauer bestimmen

• Instrumententyp: im Relativgravimeter nach dem Waagebalkensystem

Aufgabe 5 (12 Punkte):

Eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung lautet

dy/dx = 3 · exp(-x) – 0.4 · y

a)      Ausgehend von den Startwerten x0=0 und y0=5 sollen mit der Schrittweite h=0.5 und dem Runge Kutta-Verfahren 2. Ordnung (Heun) die Funktionswerte y(0.5), y(1.0) und y(1.5) berechnet werden.

b)      Was steht bezüglich der Genauigkeit der Resultate zu erwarten, wenn einerseits das Verfahren nach Euler und andererseits das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4) alternativ verwendet werden (nur erläutern, keine Rechnung)?

• Euler: niedrigste Genauigkeit (1. Ordnung), hoher Fehlerzuwachs, nur kleine Schrittweiten liefern sinnvolle Ergebnisse

• mittlere Genauigkeit (2. Ordnung), deutlich geringere Fehlerzuwächse als beim Euler-Verfahren, liefert bei moderaten Schrittweiten stabile und ausreichend genaue Ergebnisse

• RK4: deutlich höhere Genauigkeit (4. Ordnung), viel geringere Fehlerakkumulation, liefert zuverlässige Resultate auch bei größeren Schrittweiten à heutiger Standard

Aufgabe 6 (10 Punkte):

Für eine besonders effiziente Auswertung von Drei-Punkt-Rekursionen wird in der Erdmessung der Clenshaw-Algorithmus eingesetzt. Gegeben seien die vier Koeffizienten c0=-2, c1=+1, c2=+2, c3=-3. Gesucht ist der Funktionswert

f(x) = c0 P0(x) + c1 P1(x) + … + cN PN(x) mit Legendre-Polynomen Pn(x) als Basisfunktionen, ausgewertet an der Stelle x0= t= 0.75.

a)      Von welchem Grad N wird das auszuwertende Polynom sein?

3, da N = (c)-1 = 4-1=3 und der höchste vorkommende Koeffizient c3=−1≠0 ist, läuft die Summe bis P3

b)      Welcher sphärischen Breite auf der Erdkugel entspricht der Parameter t = 0.75?

c)      Geben sie die notwendigen Legendre-Polynome Pn(x) bis zum Grad N an und werten Sie diese an der Stelle x0 aus.

d)      Wie groß ist der Funktionswert f(x0) aus der oben angegebenen Beziehung?

e)      Erläutern Sie die Idee des Clenshaw-Algorithmus‘. Welche Bedeutung haben die beiden Funktionen αn(x) und βn(x)?

f)      Kontrollieren Sie das Resultat, indem Sie den Clenshaw-Algorithmus in Tabellenform anwenden.

·         Masse m

·         Dämpfungskonstante d

·         Federkonstante k

·         RK4 nähert sich am besten und schnellsten an die Funktion an, durch Softwarelösungen heute der Standard

·         Euler ist das einfachste Verfahren und wird standardmäßig kaum/nie genutzt

·         RK2 bildet den Mittelweg zwischen RK4 und Euler; Ergebnisse kommen aber schon nah an RK4 ran

Wasser verteilt sich gleichmäßig

Funktionsweise kurz:

Beim Wirken einer Kraft F auf den Balken schwenkt dieser aus. Bei einer Astasierung ist auf dem Balken eine Astasierungseinheit montiert. Die Astasierungseinheit besteht aus einem waagerechten Gefäß. Das Gefäß ist mit einer Flüssigkeit und einer Luftblase gefüllt ähnlich wie bei einer Wasserwaage. Durch die Neigung sammelt sich das Wasser am niedrigsten Punkt (Die Luftblase bewegt sich zum höchsten Punkt). Durch das zusätzliche Gewicht des Wassers wird die Auslenkung des Balkens verstärkt.

Vorteil:

kleine Kraftänderungen sorgen durch Astasierung zu größeren Änderungen an der Neigung des Balkens, dadurch ist das Ablesen der Neigung eindeutiger (genauer) möglich

geringere Baugröße

Anwendung:

-       Relativgravimeter i.d.R. Sensoren mit Drehmoment-Waagen

Funktionsweise ausführlich nach ADV:

Astasierung: Mechanische Maßnahme, um die unmittelbare Sensorreaktion auf die Veränderung einer mechanischen Kraft zu vergrößern. Bei Gravimetern, die auf dem Prinzip des Drehmoments basieren, wird der Effekt der Astasierung erzeugt durch Wahl einer geeigneten Sensorgeometrie, insbesondere über den Winkel, den die Gravimeterfeder mit dem Hebel des Drehmomentsensors bildet. Die mechanische Reaktionsverstärkung wird bei astasierten Gravimetern meist auf einen Wert zwischen 1000 und 2000 eingestellt. Das Prinzip der Astasierung lässt sich mit Hilfe der „Apothekerwaage“ (Waage mit beidseitigen Schalen zur Aufnahme von Gewichten) veranschaulichen: Durch geeignete Veränderung von Zusatzgewichten auf der Schwerpunkt-Drehpunkt-Linie lässt sich der Abstand zwischen dem Gesamtschwerpunkt des mechanischen Systems und dem Waagen-Drehpunkt verringern, so dass eine Differenz zwischen den in den beiden Schalen liegenden Gewichten zu immer größeren Winkelausschlägen führt. Für eine stabile Gleichgewichtslage ist es erforderlich, dass der Gesamtschwerpunkt immer unter dem Systemdrehpunkt (der Drehachse) liegt.

Astasierte Gravimeter: Relativgravimeter, bei denen die mechanische Wirkung von Schwereänderungen auf den gravimetrischen Sensor durch Astasierung verstärkt wird. Die Sensoren sind überwiegend Drehmoment-Waagen. Die Anwendung dieses Prinzips ermöglicht eine geringe Baugröße. Die Sensoren bestehen meist aus einem um eine horizontale Achse drehbaren Hebel, an dessen anderen Ende sich der gravimetrische Probekörper befindet. Mit Hilfe einer unter einem spitzen Winkel angreifenden Gravimeterfeder (meist Schraubenfeder) wird dieser Hebel in einen horizontalen mittleren Ruhezustand eingestellt (relatives statisches Gleichgewicht, siehe Mikroseismik). Schwereänderungen verursachen einen Winkelausschlag. Bei der Ausschlagmethode dient dieser Winkelausschlag als analoges Maß der verursachenden Schwereänderung, bei der Null-Methode wird der Winkelausschlag durch geeignete Hilfskräfte oder andere Maßnahmen kompensiert, d.h. es wird auf diesem Wege die ursprüngliche Null-Lage des Gravimeterhebels wieder hergestellt; die Kompensationsgröße stellt den Analogwert für die aufgetretene Schwereänderung dar.

Die Winkelausschläge des Gravimeterhebels sind bei astasierten Gravimetern nichtlinear mit den verursachenden Schwereänderungen verknüpft, da Kippungen des Hebels die Geometrie des Sensors verändern und dadurch den Astasierungsfaktor (als Funktion des Winkelausschlags); diese Nichtlinearität der mechanischen Sensorreaktion auf Schwereänderungen unterscheidet die astasierten Gravimeter von den linearen Gravimetern.

Quelle: https://www.adv-online.de/AdV-Produkte/Integrierter-geodaetischer-Raumbezug/binarywriterservlet?imgUid=24c70361-4be9-0b61-b221-d8b23b36c4c2&uBasVariant=11111111-1111-1111-1111-111111111111

Legendre wird in der Geodäsie verwendet bei der Berechnung von Geoidhöhen, Lotabweichungen, Schwerestörungen und der Schwereanomalie. Dabei bilden die Ergebnisse von Legendre eine Art Gewichtungskoeffizient für die jeweilige Berechnung (siehe Abb.).

Man unterscheidet Legendre-Polynome und Legendre-Funktionen. Wenn in der Formel im rot markierten Rahmen der m-Wert gleich 0 ist spricht man von Legendre-Polynomen. Anderenfalls von Legendre-Funktionen. Damit sind Legendre-Polynome eine Sonderform der Legendre-Funktionen

Unterschiedliche Nutzung der Polynome à für was Tschebyscheff, Legendre, Polynome

Legendre:

• siehe oben (Gewichtung bei Geoidberechnung etc.)

Tschebyscheff:

• Design bestimmter digitaler Filter

• Approximation von Satellitenbahnen und Ephemeriden

• Approximierung weiterer komplexer funktionaler Zusammenhänge

Polynome:

• koordinale Transformationen (Lage- /Datumstransformation

• Deformationsanalyse (Abbilden von glatten Trends oder systematischen Anteilen)