In welche Typen können lineare, partielle Differentialgleichungen der
Ordnung 2 eingeteilt werden?
In elliptische, parabolische und hyperbolische PDGL (Klassifikation über das Vorzeichen/den Diskriminanten-Ausdruck der zweithöchsten Ableitungen).
Nennen Sie Beispiele für die unterschiedlichen Typen!
Elliptisch: Laplace/Poisson. Parabolisch: Wärmeleitung (Fourier). Hyperbolisch: Wellengleichung.
Welche drei Gleichungsgruppen benötigt man zur Beschreibung von zeitabhängigen Vorgängen, die durch partielle Differentialgleichungen bezüglich des Orts und der Zeit beschrieben werden?
Feldgleichung(en) (PDGL), Randbedingungen und Anfangsbedingungen.
Welche Arten von Randbedingungen gibt es? Nennen Sie Beispiele!
Dirichlet (Wert vorgegeben, z. B. u=0u=0), Neumann (Fluss/Gradient vorgegeben, z. B. ∂u/∂n=q∂u/∂n=q), gemischt/Robin (Kombination), ggf. periodisch.
Nennen Sie Diskretisierungsprinzipe!
Typisch: Finite Differenzen (differenziell), Finite Volumen (integral/Erhaltungssätze), Finite Elemente (Variations-/schwache Form), außerdem netzfreie/partikelbasierte Ansätze (z. B. SPH) sowie Randintegral-/BEM.
Nennen Sie Beispiele dafür, welche Prinzipe für bestimmte Arten von
Problemen nicht eingesetzt werden können! Erläutern Sie!
FEM ist unpraktisch bei unendlich ausgedehnten Gebieten (man müsste „ins Unendliche“ vernetzen) → dafür BEM. ilias.php
BEM ist eingeschränkt bei Nichtlinearitäten (Innenraum muss dann oft doch vernetzt werden) und bei dünnwandigen Strukturen (Singularitäten). ilias.php
FDM ist unhandlich bei komplexer Geometrie (Gittererzeugung/Anpassung schwierig).
Erläutern Sie Vorteile der Methode der gewichteten Residuen gegenüber
der schwachen Formulierung, die auf dem Hamiltonschen Prinzip basiert!
Gewichtete Residuen starten direkt von der starken Form (PDGL), brauchen keine explizite Energie-/Variationsform (Hamilton) und sind dadurch breiter anwendbar (z. B. auch wenn kein „schönes“ Potential existiert oder Zusatzterme/Modelle auftauchen).
Nennen Sie Beispiele für partielle Differentialgleichungen, die zur Be-
schreibung von Strömungen dienen!
Euler-Gleichungen (Masse/Impuls/Energie) und für viskose Strömungen die Navier–Stokes-Gleichung plus Kontinuitätsgleichung.
Welches Diskretisierungsprinzip wird häufig in der Strömungsmechanik
eingesetzt und auf welchen physikalischen Grundprinzipen beruht diese
Art von Diskretisierung?
Häufig Finite-Volumen-Methode (FVM), basiert auf Erhaltungssätzen: Masse, Impuls, Energie.
Warum kann man das Hamiltonsche Prinzip für viele strömungsmechanische
Fragestellungen nicht einsetzen?
Viele Strömungsprobleme sind dissipativ (Viskosität/Reibung), oft nicht-konservativ und lassen sich nicht sauber über ein reines Potential-/Energieprinzip formulieren wie klassische Elastizität.
Wie nennt man die bei der Diskretisierung eingesetzten Punkte im Rah-
men der Finite-Elemente-Methode und wie im Rahmen der Finite-Volumen-
Methode?
FEM: Knoten. FVM: Gitterpunkte.
Welche Möglichkeiten zur mathematischen Beschreibung der Bewegung
materieller Teilchen kennen Sie?
Lagrangesche Beschreibung (mitbewegte Punkte/Knoten) vs. Eulersche Beschreibung (Gitter fest im Raum).
Nennen Sie ein Beispiel für eine netztfreie Methode!
SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics)
Erläutern Sie den prinzipiellen Unterschied zwischen den Ansatzfunk-
tionen in der klassischen Finite-Elemente-Methode und denen der äußeren
Approximation!
Klassische FEM: meist stückweise Polynome pro Element, die die PDGL nur „im schwachen Sinn“ erfüllen. Äußere Approximation/Trefftz: Ansatzfunktionen, die die Feldgleichungen im Gebiet (teilweise exakt) erfüllen; Rand-/Übergangsbedingungen werden angenähert.
Erläutern Sie die Idee der Randelemente-Methode und Anwendungsge-
biete!
Umformung auf Randintegralgleichungen (Fundamentallösung/Green), Diskretisierung nur des Randes. Typisch für lineare Elastizität, 3D-Probleme, Spannungskonzentrationen, unendliche Gebiete.
Welchen Vorteil bezüglich der Vernetzung besitzt die BEM?
Es wird nur der Rand vernetzt (Dimensionsreduktion) → weniger Vernetzungsaufwand und oft weniger Daten/DOF.
Wodurch ist der Einsatz der Randelemente-Methode (BEM) beschränkt?
u. a. Nichtlinearitäten (Innenraumvernetzung nötig), dünnwandige Strukturen (Integralsingularitäten), voll besetzte/asymmetrische Matrizen, wenig Software.
Welche Probleme kann man nicht mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode
beschreiben? Nennen Sie eine alternative Methode zur Berechnung die-
ser Art Probleme!
Typisch unendlich ausgedehnte Gebiete (z. B. Abstrahlung nach „unendlich“) → BEM ist die klassische Alternative.
Erläutern Sie an einem Beispiel die Begriffe Elemente, Knoten, Verschie-
bungsansatz und Elementmatrizen!
Gebiet wird in Elemente zerlegt; Elemente treffen sich in Knoten; Verschiebung z. B. u(x)=N1u1+N2u2u(x)=N1u1+N2u2; daraus via Integrale entstehen Elementsteifigkeit Ke (und ggf. Me), anschließend Assemblierung.
Welche Eigenschaften haben die Systemmatrizen bei der Finite-Elemente-
Typisch schwach besetzt (sparse), oft Bandstruktur; bei linear-elastisch ohne Sonderfälle ist K meist symmetrisch.
Was ist eine Bandstruktur und wie groß ist die Bandbreite bei Finite-Elemente-Ansätzen?
Nichtnull-Einträge liegen in einem Band um die Diagonale; die Bandbreite hängt v. a. von Knoten-/DOF-Nummerierung und Elementkopplung ab (max. Indexabstand innerhalb gekoppelter DOF).
Erläutern Sie die Begriffe p-Methode, h-Methode und hp-Methode!
h: kleinere Elemente (Netz verfeinern). p: höherer Polynomgrad der Formfunktionen. hp: Kombination.
Was sind adaptive Finite Elemente?
FEM mit automatischer Anpassung (meist lokale h- und/oder p-Verfeinerung) auf Basis von Fehlerindikatoren/-schätzern.
Nennen Sie Anwendungsbeispiele für die Finite-Elemente-Methode in
der Kontinuumsmechanik!
Strukturmechanik (Spannung/Verformung), Wärmeleitung, Diffusion, Akustik, Eigenfrequenzen, Transienten.
Was bedeutet isoparametrisch in Bezug auf Finite ELemente?
Gleiche Formfunktionen beschreiben Geometrieabbildung und Feldgrößen (z. B. Verschiebungen) über Referenzelement.
Beschreiben Sie einfache Formfunktionen für QUAD4-Elemente.
Warum soll die Jacobi-Matrix nicht singulär werden?
Sonst ist die Abbildung Referenz→Realraum nicht invertierbar; Ableitungen/Integrale sind dann nicht sinnvoll definierbar.
Warum soll die Determinante der Jacobi-Matrix nicht negativ werden?
Negative Determinante bedeutet Element-Umklappen/Inversion (Orientierungswechsel) → physikalisch/numerisch falsch.
Was ist das Besondere bei der Gauß-Quadratur?
Mit nn Stützstellen werden Polynome bis Grad 2n−12n−1 exakt integriert (optimal).
Was bedeutet reduzierte Integration?
Man wählt zu wenige Stützstellen, sodass N>2n−1N>2n−1 → nicht exakt, aber spart Zeit/gegen Locking; kann Null-Energie-Moden erzeugen.
Was ist Hourglassing?
Hourglass-/Null-Energie-Moden: Netz-Deformationen, die wegen reduzierter Integration keinen Energiebeitrag liefern → unphysikalische „Schlacker“-Moden.
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