Holomorphe Funktionen

1. Cauchy-Riemann-DGL

2. Potenzreihen

3. Stammfunktionen

4. Winkeltreue

5. Kurvenintegrale

f in D stetig und partiell differenzierbar und erfüllt CRDGL du_x=dv_y und du_y=-dv_x

f kann um jeden Punkt z aus D in eine Potenzreihe entwickelt werden

f besitzt in D überall lokale Stammfunktionen

f stetig und es gilt [Integral über den Weg Gamma von f(z)du=0] für alle einfach geschlossene Integrationswege Gamma, die mit ihrem Innengebiet in D liegen

D eine Teilmenge von C und f:D=>C

1. Wenn G zusammenhängend bildet die Menge der holomorphen Funktionen einen Ring ohne Nullteiler. Quotientenkörper ist dabei die Menge der meromorphen Funktionen

2. f in D beliebig oft differenzierbar und alle Ableitungen holomorph

3. Holomorphe Funktionen sind analytisch

4. Re(f) und Im(f) sind harmonisch

5. Für holomorphe Funktionen gelten Cauchy-Integralsatz und Cauchy-Integralformel

6. f ist überall lokal umkehrbar

7. Gilt Identitätssatz

8. Gilt Maximumprinzip

9. Gilt Minimumprinzip

10. Gilt Satz der Gebietstreue

f(z)=1/z in C ohne 0

f={0 für x<=0; exp(-1/x^2) für x>0} ist in R beliebig oft differenzierbar. Links stimmt sie mit der Nullfunktion überein, aber rechts ungleich 0

Gegenbeispiel f(x+iy)=x. Ist beliebig oft reell differenzierbar, bildet aber die offene Ebene C auf die in C nicht offene Gerade R