Varianz & simultane Karten

• Lage Konstant, Kontrolle der Streuung

• Voraussetzungen: X normalverteilt, unabhängig, σ unbekannt (wird geschätzt), μ unbekannt, N > 1 (Stichprobe pro Los nötig)

• Größen

  Sollwert (Mittellinie): σ₀²

  Skalenänderung: Δ > 0, unter Kontrolle Δ = 1

  Δ > 1: Streuung wächst (Maschine wird unruhiger)

  Δ < 1: Streuung sinkt (selten überwacht – meist „gut")

  ⟹ Meist einseitige Überwachung nach oben

  Warum Streuungskarten? Eine Zunahme der Varianz ist oft ein frühes Warnsignal für:

  (Maschinenverschleiß, Rohstoffwechsel, Unkontrollierte Umgebungseinflüsse)

  ⟹ oft lange bevor der Mittelwert sich verschiebt!

  📌 Brötchen-Beispiel: Solange die Maschine sauber läuft, schwanken die Brötchen um 100 g mit σ₀ = 1 g (also 99–101 g normal). Wenn ein Lager sich lockert, wiegen die Brötchen plötzlich mal 95 g, mal 105 g – der Mittelwert bleibt 100 g, aber die Streuung verdoppelt sich. Eine X̄-Karte würde das übersehen, eine S²-Karte schlägt Alarm.

Setup: Kontrolle der Streuung, Lage konstant. Voraussetzung: X normalverteilt, σ unbekannt, N > 1.

Alle vier Karten basieren auf der χ²-Verteilung und unterscheiden sich nur in der Prüfgröße:

📌 Merksatz: S² mathematisch sauber, S praktisch, ln(S²) theoretisch ideal, R historisch beliebt. ARL-Approximation generell ungenauer als bei Lage (χ² statt Φ).

Prüfgröße unter Kontrolle: (N−1)·Sᵢ²/σ₀² ∼ χ²_{N−1},

ARL₀ = A vorgegeben.

1-seitige Karte:

• Kritischer Wert: c = χ²_{N−1; 1−1/A}

• Alarm bei Streuungs-Zunahme

2-seitige Karte:

• c₁ = χ²_{N−1; 1/(2A)} (untere Grenze)

• c₂ = χ²_{N−1; 1−1/(2A)} (obere Grenze)

• Alarmwahrscheinlichkeit symmetrisch: 1/(2A) auf jedem Schwanz

Probleme der 2-seitigen Karte:

Asymmetrie: σ₀² liegt nicht in Intervallmitte (χ² ist schief)

Verfälschtheit: ARL-Maximum nicht bei Δ = 1

⇒ Bei kleiner Störung kommt der Alarm später als unter Kontrolle (siehe Karte 23)

Grenzen von oben in (c-σ₀²)/(N-1)

Drei möglichen Prüfgrößen: S², S, ln(S²).

🔢 EWMA für die Varianz

Allgemeine Rekursion: Zᵢ = (1 − λ)·Zᵢ₋₁ + λ·gᵢ

mit Startwert Z₀ = E₁(g):

🔢 CUSUM für die Varianz

Allgemeine Form: Zᵢ = max{0, Zᵢ₋₁ + gᵢ − k}

Drei Varianten — drei eigene Referenzwerte k₁, k₂, k₃ für S², S oder ln(S²).

ARL-Berechnung

Φ wird durch χ²_{N−1}-Verteilung ersetzt

• ARL-Approximation ungenauer als bei der Lage

• Bei geradzahligen Freiheitsgraden lässt sich die ARL exakt berechnen

• Gauß-Quadratur-basierte Nyström-Verfahren versagen → Ausweg: Kollokationsverfahren

📌 Merksatz: EWMA und CUSUM auf Streuung funktionieren analog zur Lage — nur dass die Prüfgröße jetzt S², S oder ln(S²) heißt und der Startwert deren erwartetem Wert unter Kontrolle entspricht. Wichtig: ARL-Berechnung ist deutlich aufwändiger als bei der Lage, weil χ² die einfache Φ-Welt ersetzt.

Definition (formal): Eine Kontrollkarte heißt unverfälscht (unbiased), wenn das ARL-Maximum genau beim Sollwert θ₀ liegt: E_θ(L) ≤ E_{θ₀}(L) für alle θ ≠ θ₀

⟹ Unter Kontrolle ist die ARL maximal, jede Abweichung führt zu schnellerer Erkennung.

Das Problem (S²-Karte):

Die χ²-Verteilung ist schief,

Bei symmetrischen Alarmwahrscheinlichkeiten 1/(2A) auf jedem Schwanz ist das ARL-Maximum nicht bei Δ = 1 sondern verschoben (bei N=5 z.B. bei Δ ≈ 0,93) ⟹ Karte ist verfälscht

Brötchen-Beispiel zu Karte 23 (Unverfälschtheit)

Sollwert: σ₀ = 1 g (Brötchen schwanken normal um 100 g mit ±1 g). Du betreibst eine 2-seitige S²-Karte, ARL₀ = 500 → "im Schnitt alle 500 Tage ein Fehlalarm, wenn alles okay läuft".

Was du dir wünschst (Definition Unverfälschtheit):

• Maschine läuft sauber (σ = 1 g) → 500 Tage bis Fehlalarm

• Maschine wird unruhiger (σ = 1,1 g) → schneller Alarm, sagen wir 200 Tage

• Maschine wird ruhiger (σ = 0,9 g) → schneller Alarm, sagen wir 200 Tage

⟹ Egal wohin's kippt, die Karte reagiert. Sollwert = längste Wartezeit.

Was tatsächlich passiert (verfälschte Karte, N=5):

Das Absurde: Wenn die Maschine zu präzise arbeitet (was eigentlich super wäre, aber verdächtig sein könnte), wartet die Karte noch länger als unter Kontrolle. Sie schläft genau dann am tiefsten, wenn sie aufmerken sollte.

⟹ Das ist Verfälschtheit: Das ARL-Maximum liegt bei σ ≈ 0,93, nicht bei σ = 1.

Die Reparatur (Quantilgrenzen): Statt symmetrischer Alarmwahrscheinlichkeiten (jeweils 1/(2A) auf jedem Schwanz) verschiebt man die Grenzen so, dass die Karte bei σ = 1 g am längsten wartet — und in beide Richtungen schneller anschlägt.

Mit wachsendem N (5 → 20 → 50): Das Problem entschärft sich von selbst. Bei 5 Brötchen pro Charge ist die χ²-Verteilung schief und die Karte verfälscht. Bei 50 Brötchen pro Charge ist die χ²-Verteilung schon fast symmetrisch — und damit ist auch die Karte fast unverfälscht. Mehr Daten = weniger Schiefe = weniger Verfälschtheit.

Der Nachteil: 50 Brötchen pro Charge messen ist teurer als 5. In der Industrie wählt man deshalb meist N = 5 und repariert die Verfälschtheit über modifizierte Grenzen — siehe Karte 24.

Zwei Wege, das Verfälschtheits-Problem der χ²-Schiefe zu beheben:

1. Modifizierte Grenzen (Karte reparieren)

• Statt symmetrischer Alarmwahrscheinlichkeiten 1/(2A) auf jedem Schwanz wählt man Quantilgrenzen so, dass das ARL-Maximum genau bei Δ = 1 liegt

  = Standard-Lösung in der Praxis

2. Symmetrisierende Transformation: ln(S²) (Prüfgröße ändern)

• Prüfgröße: ln(Sᵢ²) statt Sᵢ²

• Verteilung wird annähernd symmetrisch

• Verhält sich wie X̄-Karte bei Lagekontrolle

  ⟹ ARL-Maximum automatisch bei Δ = 1

  selten Praxis

In der Praxis am verbreitetsten: S und S² mit modifizierten Grenzen.

Ziel: simultane Kontrolle der Lage UND Streuung

Annahmen: X normalverteilt; Sollwerte μ₀ und σ₀;

unter Kontrolle a = 0 und Δ = 1;

gestört durch Lageshift aσ₀ ∈ ℝ und/oder Skalenänderung Δ > 0.

Shewhart-Kombinationen: X̄-S², X̄-S, X̄-R

• Alarm bei der minimalen Stoppzeit beider Karten

Simultane EWMA- & CUSUM-Karten: Grundidee analog zu Shewhart

• Hauptproblem: ARL-Berechnung des simultanen Schemas

• Lösungsansätze: 2× Waldmann-Methode, Monte Carlo, Matrix-Approximation, 2-dim. Markov-Kette

Einfache Alternativen:

• Omnibus-Karten: nur eine Karte statt zwei parallele; einfach, gute Ergebnisse; Nachteil: bei Alarm unklar, ob Lage oder Streuung außer Kontrolle

• MaxMin-EWMA: sehr gute graphische Darstellung; Graphen-Bandbreite ↔ Streuung, Mittellinie ↔ Lage; eng = kleine Varianz, weit = große Varianz

•      Häufigere Fehlalarme

•      Aufwand, Zeit, Kosten-Verhältnis

•      Größe der Grenzen an jeweiligem Prozess orientieren

•      Shewhart-Grenzen mit Laufregeln größer wählen um Fehlalarme zu vermeiden