(Folie 3) Warum wird neben Mittelwerten auch der Vergleich von Varianzen benötigt?
Bisher wurden bei Hypothesentests hauptsächlich Mittelwerte verglichen.
Der gleiche inferenzstatistische Ansatz kann aber auch auf andere Parameter, z. B. Varianzen, angewendet werden.
(Folie 3) Welche Fragestellung entsteht beim Vergleich zweier Stichprobenvarianzen?
Es soll geprüft werden, ob Unterschiede der Stichprobenvarianzen
nur zufallsbedingt entstanden sind oder
auf echte Unterschiede der Populationsvarianzen zurückgehen.
(Folie 3) Warum ist der Vergleich der Varianzen beim t-Test wichtig?
Beim t-Test für unabhängige Stichproben wird angenommen, dass die Populationsvarianzen homogen sind.
Ist diese Annahme verletzt, muss stattdessen der Welch-t-Test verwendet werden.
(Folie 3) Welche Verfahren dienen zum Vergleich zweier Varianzen?
Zur Prüfung der Varianzhomogenität werden verwendet:
F-Test
Levene-Test
(Folie 4) Welche Nullhypothese prüfen F-Test und Levene-Test?
H₀: Die Varianzen sind homogen.
\sigma_1^2=\sigma_2^2
(Folie 4) Wie lautet die Alternativhypothese beim Vergleich zweier Varianzen?
(Folie 4) Warum wird beim Test auf Varianzhomogenität manchmal ein höheres Signifikanzniveau gewählt?
Ist die Nullhypothese die Wunschhypothese, wird das Signifikanzniveau häufig bewusst liberal gewählt:
α = 0,10
oder α = 0,20
Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art.
(Folie 4) Wann kann die Nullhypothese eine „Wunschhypothese“ sein?
Wenn geprüft wird, ob die Varianzen homogen sind, z. B. zur Entscheidung zwischen:
klassischem t-Test
Welch-t-Test
(Folie 5) Welche Nullhypothese überprüft der F-Test?
Der F-Test prüft, ob zwei Stichproben aus Populationen mit gleichen Varianzen stammen.
Das bedeutet:
mögliche Unterschiede der Stichprobenvarianzen sind nur stichprobenbedingt.
(Folie 5) Wie lautet die Prüfgröße des F-Tests?
(Folie 5) Unter welchen Voraussetzungen folgt die Prüfgröße einer F-Verteilung?
Voraussetzungen:
unabhängige Zufallsstichproben
Normalverteilung des Merkmals in beiden Populationen
H₀ gilt
Dann folgt die Prüfgröße einer F-Verteilung.
(Folie 5) Welche Freiheitsgrade besitzt die F-Verteilung?
Die F-Verteilung besitzt zwei Freiheitsgrade:
Zählerfreiheitsgrade: df_1=n_1-1
Nennerfreiheitsgrade: df_2=n_2-1
(Folie 6) Welche Eigenschaften besitzt die F-Verteilung?
Die F-Verteilung ist:
stetig
asymmetrisch
besitzt Werte von 0 bis ∞.
(Folie 6) Wie wird eine F-Verteilung notiert?
Der kritische Wert bedeutet:
Bei einer F-Verteilung mit
5 Zählerfreiheitsgraden
15 Nennerfreiheitsgraden
liegen 5 % der Fläche rechts vom Wert 2,90.
(Folie 7) Welche beiden Freiheitsgrade werden bei einer F-Verteilung unterschieden?
Es werden unterschieden:
m₁ = Zählerfreiheitsgrade
m₂ = Nennerfreiheitsgrade
(Folie 8) Warum ist die Testentscheidung beim F-Test etwas Besonderes?
Die F-Verteilung ist nicht symmetrisch.
Deshalb gäbe es bei einer zweiseitigen Testung eigentlich:
einen kritischen Wert am unteren Rand
einen kritischen Wert am oberen Rand.
(Folie 8) Wie wird die zweiseitige Testung beim F-Test vereinfacht?
Per Vereinbarung wird immer die größere Stichprobenvarianz in den Zähler geschrieben.
Dadurch genügt ein kritischer F-Wert am oberen Rand der F-Verteilung.
(Folie 8) Welcher kritische Bereich wird bei einer zweiseitigen Testung verwendet?
Es wird der obere Rand der F-Verteilung verwendet.
Bei
α = 0,05
wird mit
α/2 = 0,025
gerechnet.
(Folie 8) Welche Varianz steht bei einer einseitigen Testung im Zähler?
Bei einer gerichteten Hypothese wird die Varianz in den Zähler geschrieben, die nach H₁ größer sein sollte.
Dies gilt unabhängig davon, ob sie in den Daten tatsächlich größer ist.
(Folie 9) Welche Fragestellung wird im Beispiel zum F-Test untersucht?
Es wird geprüft, ob Leser von Zeitung A und Zeitung B eine unterschiedlich homogene bzw. heterogene Meinung vertreten.
Signifikanzniveau:
(Folie 9) Wie lauten im Beispiel die Hypothesen?
Nullhypothese (H₀):
Die Varianzen sind gleich.
Alternativhypothese (H₁):
Die Varianzen unterscheiden sich.
(Folie 9) Welche Stichprobengrößen und Varianzen liegen im Beispiel vor?
Zeitung A
n=121
s_A^2=80
Zeitung B
n=61
s_B^2=95
(Folie 10) Wie wird im Beispiel die Prüfgröße berechnet?
(Folie 10) Welcher kritische F-Wert wird im Beispiel verwendet?
(Folie 11) Wie lautet die Testentscheidung im Beispiel?
Da
1{,}188<1{,}429
liegt der empirische F-Wert nicht im Ablehnungsbereich.
→ Die Nullhypothese wird beibehalten.
(Folie 11) Was bedeutet die Testentscheidung für die Varianzen?
Die beobachteten Unterschiede der Varianzen reichen nicht aus, um die Annahme gleicher Populationsvarianzen zu verwerfen.
(Folie 12) Welche erste Annahme macht der F-Test bezüglich der Stichproben?
Die beiden Stichproben müssen unabhängig voneinander sein.
(Folie 12) Was gilt für den Vergleich von Varianzen bei abhängigen Stichproben?
Für abhängige Stichproben muss ein anderes Verfahren verwendet werden.
Der F-Test ist dafür nicht vorgesehen.
(Folie 12) Welche Verteilungsannahme setzt der F-Test voraus?
Das Merkmal muss in der Population normalverteilt sein.
(Folie 12) Was passiert, wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist?
Dann hält der F-Test das vorgegebene Signifikanzniveau nicht mehr ein.
(Folie 12) Wie robust ist der F-Test gegenüber Verletzungen der Normalverteilung?
Der F-Test ist gegenüber Verletzungen der Normalverteilungsannahme nicht robust.
(Folie 12) Welcher Test ist robuster gegenüber Verletzungen der Normalverteilung?
Der Levene-Test ist diesbezüglich robuster als der F-Test.
(Folie 13) Was ist die Grundidee des Levene-Tests?
Der Levene-Test vergleicht nicht direkt die Varianzen.
Stattdessen werden für jede Gruppe die Beträge der Abweichungen vom Mittelwert berechnet.
(Folie 13) Welche Abweichungen werden beim Levene-Test berechnet?
(Folie 13) Wie wird beim Levene-Test geprüft, ob sich die Varianzen unterscheiden?
Mit den berechneten Abweichungsbeträgen wird ein
t-Test für unabhängige Stichproben
durchgeführt, um zu prüfen, ob sich die zentrale Tendenz der Abweichungen zwischen den Gruppen unterscheidet
(Folie 14) Welche Hypothesen werden beim Levene-Test geprüft?
Die Varianzen unterscheiden sich (ungerichtet).
(Folie 14) Warum wird im Beispiel der Levene-Test durchgeführt?
Der Levene-Test dient dazu zu entscheiden,
ob der klassische t-Test
oder der Welch-t-Test
verwendet werden soll.
(Folie 14) Welches Signifikanzniveau wird im Beispiel des Levene-Tests verwendet?
Es wird ein Signifikanzniveau von α = 0,20 verwendet.
(Folie 15) Wie werden beim Levene-Test die Abweichungsbeträge berechnet?
Für jede Person wird der absolute Abstand zum Gruppenmittelwert berechnet.
Beispiele aus der Folie:
|81-106{,}5|=25{,}5
|100-106{,}5|=6{,}5
|86-102{,}33|=16{,}33
|91-102{,}33|=11{,}33
(Folie 15) Was entspricht der Mittelwert der Abweichungsbeträge?
Nach der Mittelung entspricht der durchschnittliche Abweichungsbetrag der AD-Streuung.
(Folie 16) Welche Kennwerte ergeben sich nach der Berechnung der Abweichungsbeträge?
Für die Abweichungsbeträge ergeben sich:
Männer
\bar{x}_1=19{,}11
s_1^2=75{,}46
Frauen
\bar{x}_2=16{,}00
s_2^2=33{,}164
(Folie 16) Welche Prüfgröße ergibt sich im Levene-Test-Beispiel?
Der durchgeführte t-Test liefert:
t=0{,}90
(Folie 16) Welche zusätzliche Information zeigt die Nebenrechnung?
Die Folie zeigt die Berechnung der gepoolten Varianz (für den t-Test der Abweichungsbeträge), die zur Bestimmung der Prüfgröße verwendet wird.
(Folie 17) Wie lautet die Testentscheidung im Beispiel des Levene-Tests?
|t|<t_{11;90%}=1{,}363
wird die Nullhypothese beibehalten.
(Folie 17) Was bedeutet die Testentscheidung für die Varianzen?
Die Varianzen werden als homogen angesehen.
(Folie 17) Welche Konsequenz hat das Ergebnis für den Vergleich der Mittelwerte?
Da die Varianzen als homogen gelten,
→ muss nicht auf den Welch-t-Test zurückgegriffen werden.
(Folie 19) Was sind Freiheitsgrade?
Freiheitsgrade (df) sind die Anzahl der frei variierbaren Werte, die in die Berechnung einer Statistik eingehen.
(Folie 19) Wie viele Freiheitsgrade besitzt der Mittelwert einer Stichprobe?
Für die Berechnung des Mittelwerts werden alle n Werte benötigt.
Deshalb besitzt der Mittelwert:
df = n
(Folie 19) Welches Beispiel zur Berechnung des Mittelwerts zeigt die Folie?
(Folie 20) Warum besitzt die Varianz weniger Freiheitsgrade als der Mittelwert?
Zur Berechnung der Varianz muss zuerst der Mittelwert bekannt sein.
Dadurch können anschließend nicht mehr alle n Werte frei variieren.
(Folie 20) Wie viele Freiheitsgrade besitzt die Varianz?
Die Varianz besitzt
df = n − 1
Freiheitsgrade.
(Folie 20) Warum gilt für die Varianz df = n − 1?
Sobald der Mittelwert feststeht, können nur noch n-1 der ursprünglich n Werte frei variiert werden.
Deshalb besitzt die Varianz:
(Folie 20) Welches Zahlenbeispiel verwendet die Folie zur Berechnung der Varianz?
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