(Folie 3) Was zeigt eine 2×2-Kontingenztabelle?(Folie 3) Was zeigt eine 2×2-Kontingenztabelle?
Eine 2×2-Kontingenztabelle stellt die gemeinsame Häufigkeitsverteilung von zwei dichotomen Merkmalen dar.
Zeilen: Ausprägungen des ersten Merkmals
Spalten: Ausprägungen des zweiten Merkmals
Jede Zelle enthält die beobachtete Häufigkeit einer Merkmalskombination.
(Folie 4) Welche Hypothesen werden beim χ²-Unabhängigkeitstest geprüft?
Nullhypothese (H₀):
Die beiden Merkmale sind in der Population unabhängig.
Alternativhypothese (H₁):
Die beiden Merkmale sind in der Population abhängig.
(Folie 5) Wie sehen die erwarteten Häufigkeiten bei Unabhängigkeit aus?
Bei Unabhängigkeit unterscheiden sich die Anteile der Merkmalsausprägungen nicht.
Die erwartete Häufigkeit einer Zelle berechnet sich durch:
(Folie 5) Wie berechnet man die erwartete Häufigkeit einer Zelle?
(Folie 6) Womit vergleicht der χ²-Unabhängigkeitstest die Daten?
Verglichen werden:
beobachtete Häufigkeiten
erwartete Häufigkeiten (unter H₀)
Je größer ihre Abweichung, desto größer wird die Prüfgröße.
(Folie 6) Wie lautet die Prüfgröße des χ²-Unabhängigkeitstests?
Die Prüfgröße lautet:
(Folie 7) Wann wird die Nullhypothese verworfen?
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn
der empirische χ²-Wert größer ist als der kritische χ²-Wert.
Im Beispiel:
empirisch: 4,17
kritisch: 3,84
Da 4,17 > 3,84, wird H₀ verworfen.
(Folie 7) Welcher kritische χ²-Wert gilt im Beispiel?
Für
df = 1
α = 0,05
beträgt der kritische Wert:
χ² = 3,84
(Folie 8) Wie lautet die allgemeine Formel des χ²-Unabhängigkeitstests?
Für eine Kontingenztabelle mit r Zeilen und c Spalten gilt:
(Folie 8) Wie berechnen sich die Freiheitsgrade beim χ²-Unabhängigkeitstest?
Die Freiheitsgrade berechnen sich mit:
df=(r-1)*(c-1)
Bei einer 2×2-Kontingenztabelle:
df=(2-1)*(2-1)=1
(Folie 9) Welche Voraussetzungen gelten für den χ²-Unabhängigkeitstest?
Voraussetzungen:
Einfache Zufallsstichprobe
Erwartete Häufigkeiten größer als 5
Empfehlung:
Bei höchstens 20 % der Zellen dürfen erwartete Häufigkeiten kleiner als 5 sein.
(Folie 9) Was wird verwendet, wenn erwartete Häufigkeiten zu klein sind?
Sind die erwarteten Häufigkeiten nicht größer als 5, kann der
Exakte Test nach Fisher (Fisher-Yates-Test)
verwendet werden.
(Folie 10) Wann wird der exakte Test nach Fisher und Yates eingesetzt?
Der exakte Test nach Fisher und Yates wird für Kontingenztafeln verwendet.
Er ist insbesondere geeignet, wenn die Voraussetzungen des χ²-Unabhängigkeitstests (z. B. ausreichend große erwartete Häufigkeiten) nicht erfüllt sind.
(Folie 10) Welches historische Beispiel wird für den Fisher-Test vorgestellt?
Als Beispiel wird das „Lady tea“-Experiment von Fisher (1935) vorgestellt.
In der Abbildung wird eine 2×2-Kontingenztabelle gezeigt, in der verglichen wird:
tatsächliche Reihenfolge des Eingießens (Milch zuerst / Tee zuerst)
vermutete Reihenfolge (Milch / Tee)
(Folie 10) Kann der exakte Test nach Fisher auch für größere Kontingenztafeln verwendet werden?
Ja.
Laut Vorlesung kann der exakte Test nach Fisher grundsätzlich auch für Kontingenztafeln mit mehr als 2 Zeilen und Spalten verwendet werden.
(Folie 10) Warum wird der Fisher-Test in der Praxis meist nicht für große Tabellen verwendet?
Die Berechnung wird bei
mehr Zellen
größeren Stichproben
ähnlichen Zellenbesetzungen
enorm rechenaufwändig.
Deshalb wird er in solchen Fällen nur eingeschränkt eingesetzt.
(Folie 11) Wann wird der McNemar-χ²-Test eingesetzt?
Der McNemar-χ²-Test wird verwendet, wenn
ein kategoriales Merkmal
zweimal an derselben Stichprobe
erhoben wird und geprüft werden soll, ob sich die Häufigkeiten der Kategorien verändert haben.
(Folie 11) Welche Beispiele nennt die Vorlesung für den McNemar-Test?
Beispiele:
Anteil der Kinder mit Leseschwierigkeiten vor und nach einer Intervention
Anzahl der Patienten mit Schlafstörungen vor und nach einer psychotherapeutischen Behandlung
(Folie 12) Welche Hypothesen prüft der McNemar-Test?
b = c
b ≠ c
Dabei stehen b und c für die beiden Richtungen der Veränderung.
(Folie 12) Welche Fälle berücksichtigt der McNemar-Test?
Der McNemar-Test berücksichtigt nur Personen, bei denen eine Veränderung eingetreten ist.
Nicht berücksichtigt werden:
a (keine Veränderung: positiv → positiv)
d (keine Veränderung: negativ → negativ)
Berücksichtigt werden ausschließlich:
b (+ → −)
c (− → +)
(Folie 12) Was wird mit dem McNemar-Test geprüft?
Geprüft wird, ob die beiden Wechslergruppen
+ → − (b)
− → + (c)
in der Population gleich häufig vorkommen.
(Folie 13) Wie lautet die vereinfachte Prüfgröße des McNemar-Tests?
Die vereinfachte Prüfgröße lautet:
(Folie 13) Wie entstehen die erwarteten Häufigkeiten beim McNemar-Test?
Unter Gültigkeit der Nullhypothese sind die erwarteten Häufigkeiten der beiden Wechslerzellen gleich groß.
Diese erwarteten Häufigkeiten werden zunächst in die allgemeine Prüfgröße eingesetzt, die sich anschließend zur vereinfachten Formel
vereinfachen lässt.
(Folie 14) Wie wird das Beispiel der Zeitungskampagne entschieden?
Im Beispiel ergibt sich:
χ² = 4,57
kritischer Wert = 3,84 (α = 0,05)
Da
4,57 > 3,84
wird die Nullhypothese verworfen.
(Folie 14) Welche Schlussfolgerung wird im Beispiel gezogen?
Es wird davon ausgegangen, dass die Zeitungskampagne das Rauchverhalten verändert hat.
(Folie 15) Welche Voraussetzungen gelten für den McNemar-Test?
Die erwarteten Häufigkeiten m_b und m_c sollten größer als 5 sein.
(Folie 15) Wofür kann der McNemar-Test allgemein eingesetzt werden?
Der McNemar-Test ist allgemein bei Beobachtungspaaren einsetzbar.
Beispiel aus der Vorlesung:
Rauchverhalten von Partnern in Paarbeziehungen
(Folie 15) Welche Verfahren nennt die Vorlesung für komplexere Fragestellungen?
Bei drei- oder mehrfach gestuften Merkmalen:
Bowker-Test
Bei mehr als zwei wiederholten Beobachtungen:
Cochran-Test
(Folie 16) Wann wird der eindimensionale χ²-Test auf Verteilungsformen verwendet?
Der eindimensionale χ²-Test auf Verteilungsformen wird verwendet, wenn
ein Merkmal
mit zwei oder mehr Merkmalsausprägungen
betrachtet wird.
(Folie 16) Welche Fragestellung beantwortet der eindimensionale χ²-Test?
Es wird geprüft, ob die beobachteten Häufigkeiten in der Stichprobe
mehr als zufällig
von den unter der Nullhypothese erwarteten Häufigkeiten
abweichen.
(Folie 16) Was sind erwartete Häufigkeiten?
Erwartete Häufigkeiten sind die Häufigkeiten,
die unter Gültigkeit der Nullhypothese
erwartet werden.
(Folie 16) Welche Häufigkeiten werden beim Test miteinander verglichen?
Beobachtete Häufigkeiten O_i
Erwartete Häufigkeiten E_i
Die Abweichungen werden zur χ²-Prüfgröße verrechnet.
(Folie 17) Welches Beispiel wird für den eindimensionalen χ²-Test verwendet?
Beispiel:
Eine Kundenumfrage (N = 150) untersucht, welche Apfelsorte bevorzugt wird.
Beobachtete Häufigkeiten:
Braeburn: 45
Golden Delicious: 40
Granny Smith: 65
(Folie 17) Welche Nullhypothese wird im Beispiel geprüft?
H₀:
In der Grundgesamtheit werden die drei Apfelsorten gleich häufig präferiert.
(Folie 17) Was bedeutet Gleichverteilung bei drei Kategorien?
Bei einer Gleichverteilung
entfällt auf jede der drei Kategorien
ein Drittel der Gesamtzahl.
(Folie 18) Wie lautet die Prüfgröße des eindimensionalen χ²-Tests?
(Folie 18) Wie werden die erwarteten Häufigkeiten im Beispiel berechnet?
Da unter H₀ Gleichverteilung angenommen wird:
Gesamtzahl: 150
Kategorien: 3
ergibt sich:
E₁ = 50
E₂ = 50
E₃ = 50
(Folie 18) Wie beschreibt die Vorlesung die χ²-Prüfgröße?
Die Prüfgröße ist die
„Summe quadrierter, normierter Differenzen“
zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten.
(Folie 19) Wie viele Freiheitsgrade besitzt der eindimensionale χ²-Test?
df=k-1
k = 3
df = 2
(Folie 19) Wie wird das Beispiel entschieden?
empirischer χ² = 7,0
kritischer χ² = 5,99
7,0 > 5,99
(Folie 19) Welche Schlussfolgerung wird im Beispiel gezogen?
Die Nullhypothese der Gleichverteilung der Präferenzen wird verworfen.
Die Präferenzen der Population gelten damit nicht als gleichverteilt.
(Folie 20) Welche Voraussetzungen gelten für den eindimensionalen χ²-Test?
Unabhängige Beobachtungen
Die erwarteten Häufigkeiten sollten in maximal 20 % der Zellen kleiner als 5 sein.
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