Bewerten Sie die folgende Aussage in Bezug auf statistische Richtigkeit: "65% der ÖsterreicherInnen verdienen weniger als das durchschnittliche Brutto-Monatseinkommen."
Die Aussage „durchschnittlich“ bezieht sich in der Regel auf den Mittelwert. Der Satz kann daher stimmen, wenn sich Mittelwert und Median unterscheiden. Dies ist insbesondere der Fall, wenn Daten, wie z.B. das Einkommen, nicht normalverteilt sind.
Diskutieren Sie in der Gruppe, warum man immer einen Scatterplot begutachten sollte, wenn man die Korrelation zwischen zwei Variablen berechnet?
Die Korrelation stellt ein Maß für einen linearen Zusammenhang dar. Im Streudiagramm muss daher zuerst festgestellt werden, ob überhaupt ein linearer Zusammenhang vorliegt. Liegt ein non-linearer Zusammenhang vor, ist die Korrelation nicht geeignet, den Zusammenhang zu beschreiben. Zum Beispiel kann für einen quadratischen Zusammenhang eine Korrelation von 0 resultieren (siehe Vorlesung).
Es muss überprüft werden, ob Ausreißer vorliegen, die die Korrelation verzerren könnten. Zusätzlich ist es sinnvoll, potenzielle auffällige Muster in den Daten zu untersuchen. Dies wird in Statistik II relevanter (Stichwort: Heteroskedastizität & Clusterbildung).
Was ist der Hauptunterschied zwischen einer Population und einer Stichprobe in der Inferenzstatistik?
Die Population umfasst die gesamte Gruppe oder Gesamtheit von Interesse, während eine Stichprobe lediglich eine Teilmenge oder Auswahl aus dieser Population ist.
Warum ist es oft notwendig, Inferenzstatistik zu verwenden, anstatt Daten von einer gesamten Population zu sammeln?
Das Sammeln von Daten von einer gesamten Population kann teuer, zeitaufwändig und manchmal praktisch unmöglich sein. Inferenzstatistik ermöglicht es, Schlussfolgerungen über die gesamte Population basierend auf einer Stichprobe zu ziehen.
Wie nennt man die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments?
Ergebnisse
Was ist eine Zufallsexperiment? Versuchen Sie eine Definition zu formulieren!
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der mehr als einen möglichen Ausgang (Ergebnis) haben kann und bei dem wir vorher nicht wissen, welcher dieser Ausgänge (Ergebnisse) eintreten wird.
Wie wird Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im frequentistischen Sinne interpretiert?
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht der relativen Häufigkeit dieses Ereignisses, falls man das Zufallsexperiment unendlich oft durchführt
Was ist der Träger einer Zufallsvariable?
Die Menge aller möglichen Realisationen einer ZV 𝑋 nennt man Träger der Zufallsvariable
Was sind Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?
Beide beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable und die Gesamtwahrscheinlichkeit über den gesamten Wertebereich hinweg beträgt 1.
Während die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von diskreten Zufallsvariablen dient, geschieht dies bei stetigen Zufallsvariablen über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet den diskreten Realisationen der ZV eine konkrete Wahrscheinlichkeit zu. Bei stetigen ZV ist das nicht möglich, da es unzählbar viele mögliche Realisationen gibt, daher kann man für eine spezifische Realisation (einen Punkt) keine konkrete Wahrscheinlichkeit angeben (Wahrscheinlichkeit für einen spezifischen Punkt ist immer 0), sondern gibt die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls an. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall entspricht der Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in diesem Intervall.
Was ist der Erwartungswert E(X)?
Der Erwartungswert E(X) ist die Zahl, die eine Zufallsvariablen X im Durchschnitt annimmt (Vgl. mit dem arithmetischen Mittelwert in der Deskriptivstatistik!).
Im Falle einer diskreten Zufallsvariable entspricht der Erwartungswert E(X) der Summe aller Realisationen multipliziert mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit.
Im Fall einer stetigen Zufallsvariable entspricht der Erwartungswert E(X) der durchschnittlichen Realisation von X, wenn das der Zufallsvariable X zugrundeliegende Zufallsexperiment unendlich oft durchgeführt würde.
Was ist ein Bernoulli-Experiment?
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das nur 2 mögliche Ausgänge hat: 0 (z.B. „Kein Erfolg“) oder 1 (z.B. „Erfolg“). D.h. eine Bernoulli-(Zufalls-)Variable kann sich nur in 0 oder 1 realisieren. Jedes Bernoulli-Experiment ist unabhängig von vorangehenden bzw. nachfolgenden Bernoulli-Experimenten.
Was ist der Binomialkoeffizient und was ist die Fakultät?
Der Binomialkoeffizient
(𝑛
𝑘)
ist eine mathematische Funktion mit der sich bestimmen lässt, wie viele
Möglichkeiten es gibt k Objekte aus einer Menge n auszuwählen.
Die Fakultät ist eine mathematische Funktion, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis zu einer gegebenen Zahl n darstellt. Durch sie lässt die Anzahl an Möglichkeiten bestimmen, die es gibt, um n Objekte einer Menge anzuordnen.
Was ist eine Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie basiert auf der n-maligen Durchführung eines Bernoulli-Experiments (mit immer gleicher Wahrscheinlichkeit für „Erfolg“). Sie beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in n Bernoulli-Experimenten k Erfolge auftreten.
Was ist eine Normalverteilung?
Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik (so sind z.B. Körpergröße und Intelligenz annähernd normalverteilt). Es handelt sich dabei um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist charakterisiert durch ihre symmetrische, glockenförmige Kurve, die um den Erwartungs-/bzw. Mittelwert (μ-Parameter) herum verteilt ist. D.h. Werte, die nahe am Mittelwert liegen sind häufiger, Werte die stark vom Mittelwert abweichen sind selten. Der Parameter σ 2 legt dabei die Breite der Verteilung fest ( = inwieweit die Werte um den Parameter μ streuen → Vgl. mit der Varianz in der Deskriptivstatik).
Was ist eine Standardnormalverteilung?
Die Standardnormalverteilung ist eine spezielle Form der Normalverteilung mit μ = 0 und σ 2 = 1 (Vgl. mit z-Standardisierung). Sie dient als Referenzverteilung für normalverteilte Zufallsvariablen und erleichtert den Vergleich von Daten und Ableitung statistischer Schlussfolgerungen (die in der Inferenzstatistik getroffen werden). Jede Normalverteilung kann in eine Standardnormalverteilung überführt werden, für die es eine Tabelle gibt, aus der Wahrscheinlichkeitswerte abgelesen werden können (und somit nicht berechnet werden müssen).
Was ist die Stichprobenkennwerteverteilung?
Eine Hypothetische Verteilung, die alle möglichen Ausprägungen eines Stichprobenkennwertes abbildet. Sie entsteht, wenn aus einer Population nacheinander unendlich viele Stichproben der gleichen Größe gezogen würden. (→ Wahrscheinlichkeitsverteilung; z. B. welche Mittelwerte erhalten wir, wenn wir aus einer Population unendlich viele Stichproben der Größe n=100 ziehen würden). Die Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung ist der Standardfehler
Was ist der Standardfehler?
Ein Maß für die Genauigkeit von Schätzfunktionen. Er entspricht der Standardabweichung einer Schätzfunktion. Wenn der Standardfehler gering ist, streuen die Schätzwerte wenig → die Schätzfunktion ist genau (wenn die Schätzfunktion erwartungstreu ist). Der Standardfehler des Mittelwerts wird auch als die Standardabweichung der Mittelwerts-Stichprobenkennwerte-Verteilung interpretiert. Er gibt an, wie stark die Mittelwerte von verschiedenen Stichproben in der Regel um den Populationsmittelwert streuen. And der Formel (𝑆𝐸(𝜇̂) = √ 𝜎^2 / 𝑛) kann man erkennen, dass der Standardfehler umso kleiner wird, je größer n ist (n ist im Nenner des Bruchs).
Was sind die Gütekriterien von Schätzfunktionen und was bedeuten sie?
Es gibt 3 Gütekriterien von Schätzfunktionen:
Erwartungstreue: Eine Schätzfunktion ist erwartungstreu, wenn die Schätzwerte bei unendlicher Wiederholung des Zufallsexperiments (also wenn man unendlich viele einfache Zufallsstichproben zieht) im Mittel dem wahren Parameterwert entsprechen
Effizienz: Eine Schätzfunktion ist effizient, wenn sie erwartungstreu ist und einen geringeren Standardfehler als alle anderen erwartungstreuen Schätzfunktionen aufweist. Eine effiziente Schätzfunktion ist als die „präziseste“ unter allen erwartungstreuen Schätzfunktionen
Konsistenz: Eine Schätzfunktion ist konsistent, wenn sie mit wachsendem Stichprobenumfang immer „präziser“ wird, d.h. bei wachsendem Stichprobenumfang n sollte der Standardfehler der Schätzfunktion immer kleiner werden und schließlich gegen 0 gehen
Was besagt das zentrale Grenzwerttheorem?
Die Stichprobenkennwerte-Verteilung des Mittelwertes geht mit zunehmenden Stichprobenumfang in eine Normalverteilung um den Populations-Mittelwert über. (→ Beim wiederholten Ziehen von unabhängigen Stichproben aus einer Population nähern sich die Kennwerte der Stichproben einer Normalverteilung an.)
Beachten: Nicht die Variable an sich ist normalverteilt, sondern nur die Kennwerteverteilung der Mittelwerte!
Wozu dienen Intervallschätzungen in der Inferenzstatistik? (Hinweis: im Vergleich zu Punktschätzungen)
Das Resultat einer Punktschätzung ist ein konkreter Wert, der in den wenigsten Fällen dem wahren Parameterwert in der Grundgesamtheit entspricht. Wenn nur der Schätzwert einer Punktschätzung betrachtet wird, lässt sich darüber hinaus nichts darüber aussagen, wie genau diese Schätzung ist und wie sehr man dieser Punktschätzung vertrauen kann. Durch die Angabe eines Intervalls kann dieses Problem gelöst werden, da es auf Basis der Kennwerte unserer Stichprobe angibt, in welchem Bereich der wahre Wert mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegt (da z. B. die Stichprobengröße berücksichtigt wird).
Was bedeutet ein Konfidenzniveau von 95% inhaltlich?
Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe (der gleiche Größe n) ziehen und in jeder dieser Stichproben das konkrete Konfidenzintervall berechnen, enthalten 95% dieser konkreten Konfidenzintervalle den wahren Parameterwert.
Hinweis: Ob das konkrete Konfidenzintervall einer spezifischen Stichprobe tatsächlich den wahren Parameterwert enthält, können wir nicht überprüfen (dafür müssten wir den wahren Parameterwert bereits kennen)!
Wie hoch ist das Konfidenzniveau (in %), wenn
α = 5%
α = 0.1
α = 0.01
α = 5% → 95%
α = 0.1 → 90%
α = 0.01 → 99%
„Anhand eines konkreten Konfidenzintervalls, das wir aus einer Stichprobe berechnen, lässt sich eindeutig definieren, welchen konkreten Wert ein Parameter in der Grundgesamtheit aufweist“. Ist diese Aussage korrekt oder falsch? → Begründen Sie Ihre Antwort.
Diese Aussage ist FALSCH. Die Berechnung eines konkreten Konfidenzintervalls anhand von Stichprobendaten liefert ein Intervall. Für dieses Intervall ist es nicht möglich festzustellen, ob es den wahren Parameterwert enthält.
Wie hängen 𝛍, 𝛍̂ und 𝒙̅ zusammen? Denken Sie dabei an Population vs. Stichprobe.
μ repräsentiert einerseits den Mittelwert der Grundgesamtheit (Populationsmittelwert) und andererseits den Erwartungswert einer Normalverteilung (der hier auch dem Median entspricht).
μ̂ ist die Schätzfunktion des Populationsmittelwerts basierend auf unseren Stichprobendaten.
𝑥̅ ist der empirisch ermittelte Mittelwert unserer Stichprobe. Er dient uns als Schätzwert für μ.
Wozu dient die t-Verteilung im Rahmen von inferenzstatistischen Schätzungen?
Die t-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur Parameter- und Intervallschätzung dient, wenn uns die Varianz des untersuchten Merkmals in der Grundgesamtheit nicht bekannt ist (das ist sie in der Regel nicht!). Mit zunehmender Stichprobengröße n nähert sich die t-Verteilung eine (Standard-)Normalverteilung an. Wir benötigen die t-Verteilung u.a. für die Konstruktion der Konfidenzintervalle.
Würden die folgenden Untersuchungen 1) abhängige oder 2) unabhängige Stichproben untersuchen:
a) Zwei Gruppen von Studierenden, wobei die eine im Durchschnitt eine normale Schlafdauer aufweist und die andere eine reduzierte Schlafdauer hat, werden in Bezug auf ihre Konzentrationsleistung getestet.
b) Um die saisonale Abhängigkeit von depressiver Symptomatik zu untersuchen, wird einer Gruppe von 100 Personen im August und im Dezember ein Fragebogen zur depressiven Symptomatik vorgelegt.
c) Um die Wirksamkeit von psychotherapeutischen Maßnahmen zu untersuchen, untersuchen wir einerseits Personen zu Beginn ihrer Therapie und andererseits Personen, deren Therapiebeginn bereits 4 Monate zurück liegt.
d) Eine Gruppe von Personen füllt sowohl im nüchternen Zustand als auch nach drei alkoholischen Getränken einen Fragebogen zu Extraversion aus.
e) Zur Untersuchung des Einflusses von Koffein auf die Aufmerksamkeitsleistung wird 75 Personen an zwei aufeinanderfolgenden Tagen ein Aufmerksamkeitstest vorgegeben. Am ersten Tag bekommen Sie 30 Minuten vorher Koffein, am zweiten Tag ein Placebo verabreicht (beide Male in Form einer identisch aussehenden Tablette).
f) Um den Einfluss von Genetik und Umwelt auf die Entwicklung zu untersuchen, werden Eineiige Zwillinge untersucht, die wenige Monate nach der Geburt getrennt wurden und nun in unterschiedlichen Familien leben
a) unabhängig
b) abhängig
c) unabhängig
d) abhängig
e) abhängig
f) abhängig
= Teststatistik für Zweistichproben t-Test für unabhängige Stichproben für ungerichtete Hypothesen über 𝜇1 − 𝜇2 UND für Zweistichproben t-Test für unabhängige Stichproben für gerichtete Hypothesen über 𝜇1 − 𝜇2 (die beiden t-Test unterscheiden sich nur dahingehend, wo der kritische Bereich ist, im gerichteten Fall auf einer Seite, im ungerichteten Fall auf beiden Seiten der Verteilung!) Liefert empirischen t-Wert, aufgrund dessen eine Testentscheidungen getroffen wird
= 𝑐𝑜𝑣𝑒𝑚𝑝(𝑥, 𝑦) Empirische Kovarianz = durchschnittliche Summe des Produkts der Abweichungswerte von Messwertpaaren
Inhaltlich: Maßzahl zur Beschreibung der Richtung des (linearen) Zusammenhangs zwischen zwei Variablen (einheitsabhängig!). Weil die Kovarianz einheitsabhängig ist, sind Aussage über Stärke des Zusammenhangs nicht möglich (bzw. nicht sinnvoll interpretierbar)!
= ℎ(𝑥𝑗) relative Häufigkeit
= absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl n der Messtwerte bzw. Versuchspersonen
Inhaltlich: Der Anteil an Merkmalsträger*innen einer Stichprobe oder Population, der die entsprechende Messwertausprägung aufweist
𝐼(𝑥1, … , 𝑥𝑛) Konkretes, aus einer Stichprobe berechnetes Konfidenzintervall für die Intervallschätzung von Parameterdifferenzen bei abhängigen Stichproben
= Teststatistik für Einstichproben t-Test für ungerichtete Hypothesen UND Einstichproben t-Test für gerichtete Hypothesen! (die beiden t-Test unterscheiden sich nur dahingehend, wo der kritische Bereich liegt: im gerichteten Fall auf einer Seite, im ungerichteten Fall auf beiden Seiten der Verteilung!) Liefert den empirischen t-Wert, aufgrund dessen eine Testentscheidungen getroffen wird
= 𝑥̅ Arithmetisches Mittel bzw. Mittelwert
= Summe aller aufgetretenen Messwerte geteilt durch die Anzahl der Versuchspersonen Inhaltlich: durchschnittlicher Messwert
= 𝐻𝑘𝑢𝑚(𝑥𝑘 )
Absolute kumulierte Häufigkeit einer Messwertausprägung 𝑥𝑘
= Summe der absoluten Häufigkeit der Messwertausprägungen kleiner-gleich 𝑥𝑘
Inhaltlich: Anzahl der Merkmalsträger*innen, die die Messwertausprägung 𝑥𝑘 oder eine kleinere Messwertausprägung aufweisen
= 𝑠^2𝑒𝑚𝑝
Empirische Varianz
= gemittelte Summe der quadrierten Abweichungswerte vom Mittelwert
Inhaltlich: Maßzahl dafür, wie stark die Messwerte um das arithmetische Mittel streuen
= 𝑧𝑖
z-(standardisierter-)Wert eines Messwerts 𝑥𝑖
= Abweichung des Messwerts vom Mittelwert geteilt durch die Standardabweichung
Inhaltlich: wie viele Standardabweichung weicht ein Wert vom Mittelwert ab
=𝑠^2𝑝𝑜𝑜𝑙
Schätzwert für die gepoolte Varianz
= nach den beiden Stichprobengrößen gewichtetes Mittel aus den Schätzfunktionen für die Populationsvarianz Relevant zur Schätzung der Populationsvarianz bei zwei unabhängigen Stichproben
=𝐼(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
Konkretes, aus einer Stichprobe berechnetes Konfidenzintervall für die Intervallschätzung eines Populationsparameters π
= Teststatistik für Zweistichproben t-Test für abhängige Stichproben für ungerichtete Hypothesen über 𝜇1 − 𝜇2 UND für Zweistichproben t-Test für abhängige Stichproben für gerichtete Hypothesen über 𝜇1 − 𝜇2 (die beiden t-Test unterscheiden sich nur dahingehend, wo der kritische Bereich liegt, im gerichteten Fall auf einer Seite, im ungerichteten Fall auf beiden Seiten der Verteilung!) Liefert empirischen t-Wert, aufgrund dessen eine Testentscheidungen getroffen wird
= ℎ𝑘𝑢𝑚(𝑥𝑘 )
Relative kumulierte Häufigkeit einer Messwertausprägung 𝑥𝑘
= Absolute kumulierte Häufigkeit der Messwertausprägung geteilt durch die Gesamtzahl n der Messwerte bzw. Versuchspersonen Inhaltlich: Anteil der Merkmalsträger*innen, die die Messwertausprägung 𝑥𝑘 oder eine kleinere Messwertausprägung aufweisen (Beispiel der Anwendung in der Praxis: Prozentränge)
= 𝑠𝑒𝑚𝑝
(empirische) Standardabweichung
= Quadratwurzel aus der Varianz Inhaltlich: eines der wichtigsten Streuungsmaße von Messwerten (neben der Varianz)
Konkretes, aus einer Stichprobe berechnetes Konfidenzintervall für die Intervallschätzung eines Populationsparameters μ
= 𝑟𝑥𝑦 Korrelation zweier Variablen; diese Formel ist eine der beiden möglichen Berechnungsmethoden
= gemittelte Summe der Produkte der z-standardisierten Messwertpaare
Inhaltlich: Maßzahl zur Beschreibung der Richtung und der Stärke eines (linearen) Zusammenhangs zwischen zwei Variablen, die einheitsunabhängig ist!
Konkretes, aus einer Stichprobe berechnetes Konfidenzintervall für die Intervallschätzung von Parameterdifferenzen bei unabhängigen Stichproben
=𝑠^2𝐷𝑖𝑓𝑓
= Schätzwert für die geschätzte Populationsvarianz bei abhängigen Stichproben
= 𝑟𝑥𝑦
Korrelation zweier Variablen; eine der beiden Berechnungsmethoden
= Kovarianz zweier Variablen geteilt durch das Produkt der Standardabweichungen der Variablen
Inhaltlich: Maßzahl zur Beschreibung der Richtung und der Stärke eines (linearen) Zusammenhangs zwischen zwei Variablen, die zusätzlich einheitsunabhängig ist!
= Median (Mdn)
Inhaltlich: „(Mindestens) 50% der Merkmalsträger*innen haben einen Messwert, der kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich dem Median ist.“
= E(X)
= Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X
= durchschnittliche Realisation der diskreten Zufallsvariable X, wenn das Zufallsexperiment unendlich wiederholt wird.
Entspricht der Summe aller möglichen Realisationen jeweils multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Eintretens der jeweiligen Realisation
= Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen X
= durchschnittliche Realisation der stetigen Zufallsvariable X, wenn das Zufallsexperiment unendlich wiederholt wird.
Entspricht dem Integral aller Realisationen multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Eintretens
= Var(X)
= Varianz einer diskreten Zufallsvariable X
= Streuung der Zufallsvariable um ihren Erwartungswert
= Varianz einer stetigen Zufallsvariablen X
= Streuung der Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert.
= Varianz einer Bernoulli-Variable
= Streuung um den Erwartungswert pi
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