Wie heißen die Teile von ⁿ√a?
a = Radikand, n = Wurzelexponent, ⁿ√a = Wurzel bzw. Wurzelwert.
Welcher Wurzelexponent steht bei √a?
2. Bei der Quadratwurzel wird die 2 meist weggelassen: √a = ²√a
Warum ist √(−4) in den reellen Zahlen nicht definiert?
Weil es keine reelle Zahl gibt, die quadriert eine negative Zahl ergibt (x² ≥ 0 für alle x ∈ ℝ).
Wie schreibt man ⁿ√a als Potenz? Beispiel: ⁴√16
ⁿ√a = a^(1/n). Beispiel: ⁴√16 = 16^(1/4) = 2
Wie schreibt man ⁿ√(aᵐ) als Potenz? Beispiel: ∛(x²)
a^(m/n). Beispiel: ∛(x²) = x^(2/3)
Was ist (ⁿ√a)ⁿ für a ≥ 0?
a. Wurzelziehen und Potenzieren mit demselben Exponenten heben sich auf.
Was ist √(a²) für beliebiges a ∈ ℝ? Beispiel: √((−5)²)
|a| (Betrag von a). Beispiel: √((−5)²) = √25 = 5, nicht −5.
Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multiplizieren: ⁿ√a · ⁿ√b = ? Beispiel: √2 · √8
ⁿ√(a · b). Beispiel: √2 · √8 = √16 = 4
Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten dividieren: ⁿ√a / ⁿ√b = ? (b > 0) Beispiel: √50 / √2
ⁿ√(a / b). Beispiel: √50 / √2 = √25 = 5
Wurzel aus einer Wurzel: ᵐ√(ⁿ√a) = ? Beispiel: √(√16)
ᵐ*ⁿ√a (Wurzelexponenten multiplizieren). Beispiel: √(√16) = ⁴√16 = 2
Wie begründet man die Wurzelgesetze am schnellsten?
Wurzeln als Potenzen schreiben und die Potenzgesetze anwenden. Beispiel: √a · √b = a^(1/2) · b^(1/2) = (ab)^(1/2) = √(ab)
Was bedeutet „teilweise (partielles) Wurzelziehen“? Beispiel: √72
Den Radikanden so zerlegen, dass ein Faktor eine Quadratzahl (bzw. n-te Potenz) ist, und diesen herausziehen.
Beispiel: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2
Wie kann man √x⁵ mit teilweisem Wurzelziehen umformen?
Das Teilweise Wurzelziehen kann man nutzen indem man die Produktregel nutzt und dann Wurzelgrad und Exponenten gegeneinander kürzt:
√x⁵ = √x⁴ * √x = x² * √x
Vereinfache √(18x²) für x ≥ 0.
√(9 · 2 · x²) = 3x√2
Was bedeutet „Nenner rational machen“?
Den Bruch so erweitern, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht. Beispiel: 1/√2 = √2/(√2 · √2) = √2/2
Wie macht man den Nenner von 1/(1 + √3) rational?
Mit (1 − √3) erweitern (3. binomische Formel): (1 − √3) / (1 − 3) = (1 − √3)/(−2) = (√3 − 1)/2
Wie bringt man einen Faktor unter die Wurzel? Beispiel 3√2.
Den Faktor passend potenzieren und hineinmultiplizieren: 3√2 = √(9 · 2) = √18
Ist ∛(−8) definiert?
Das hängt von der Konvention ab. Oft schreibt man ∛(−8) = −2, weil (−2)³ = −8. Nach der strengen Definition (nur a ≥ 0) schreibt man lieber −∛8. Halte dich an die Konvention deines Kurses.
Was ist der Unterschied zwischen √4 und den Lösungen von x² = 4?
√4 = 2 ist genau ein Wert. Die Gleichung x² = 4 hat zwei Lösungen: x = 2 und x = −2, also x = ±√4.
Gilt √(a + b) = √a + √b?
Nein! Gegenbeispiel: √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Wurzeln verteilen sich nur über Produkte und Quotienten.
Darf man √a + √b zusammenfassen?
Nur wenn die Radikanden gleich sind: 2√3 + 5√3 = 7√3. √2 + √3 lässt sich nicht weiter vereinfachen.
Darf man ⁿ√a · ᵐ√b direkt zusammenfassen, wenn n ≠ m?
Nicht direkt. Man muss erst auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten bringen, z. B. über Potenzen: √2 · ∛2 = 2^(1/2) · 2^(1/3) = 2^(5/6) = ⁶√(2⁵)
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