Wie heißen die Teile von log_b(a)?
b = Basis, a = Numerus (Argument), log_b(a) = Logarithmus.
Was beschreibt log_b(a)? Beispiel: log₂(8) = 3
Den Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um a zu erhalten: log_b(a) = x ⇔ bˣ = a.
Beispiel: log₂(8) = 3, weil 2³ = 8
Warum ist log_b(0) bzw. log_b(−5) nicht definiert?
Weil bˣ für b > 0 immer positiv ist. Es gibt kein x mit bˣ = 0 oder bˣ = −5.
Warum darf die Basis nicht 1 sein?
Weil 1ˣ = 1 für jedes x gilt. log₁(5) hätte keine Lösung und log₁(1) unendlich viele.
Was bedeutet ln(x)?
Natürlicher Logarithmus, Basis e ≈ 2,718: ln(x) = log_e(x)
Was bedeutet lg(x)?
Dekadischer Logarithmus, Basis 10: lg(x) = log₁₀(x). Beispiel: lg(1000) = 3
Was bedeutet lb(x) bzw. ld(x)?
Binärer (dualer) Logarithmus, Basis 2: lb(x) = log₂(x). Wichtig in der Informatik.
Was ist mit „log(x)“ ohne Basis gemeint?
Uneinheitlich! In der Schule oft lg (Basis 10), in Mathematik und vielen Programmiersprachen ln (Basis e), in der Informatik manchmal log₂. Immer den Kontext prüfen. (In C/C++ ist log() der natürliche Logarithmus, log10() Basis 10.)
log()
log10()
Was ist log_b(1)?
0, weil b⁰ = 1
Was ist log_b(b)?
1, weil b¹ = b
Was ist log_b(bˣ)?
x. Logarithmieren hebt das Potenzieren zur selben Basis auf.
Was ist b^(log_b(a))?
a. Potenzieren hebt das Logarithmieren zur selben Basis auf. Beispiel: e^(ln 5) = 5
Was ist log₂(1/8)?
−3, weil 2⁻³ = 1/8
Logarithmus eines Produkts: log_b(a · c) = ? lg(20) + lg(5)
log_b(a) + log_b(c). Beispiel: lg(20) + lg(5) = lg(100) = 2
Logarithmus eines Quotienten: log_b(a / c) = ? log₃(54) − log₃(2)
log_b(a) − log_b(c). Beispiel: log₃(54) − log₃(2) = log₃(27) = 3
Logarithmus einer Potenz: log_b(aʳ) = ? Beispiel: log₂(8⁵)
r · log_b(a). Der Exponent wird als Faktor nach vorne gezogen. Beispiel: log₂(8⁵) = 5 · log₂(8) = 15
Logarithmus einer Wurzel: log_b(ⁿ√a) = ? Beispiel: lg(√1000)
(1/n) · log_b(a), denn ⁿ√a = a^(1/n). Beispiel: lg(√1000) = ½ · 3 = 1,5
Woher kommen die Logarithmengesetze?
Aus den Potenzgesetzen. Beispiel Produktregel: bˣ · bʸ = bˣ⁺ʸ. Mit a = bˣ und c = bʸ folgt log_b(a · c) = x + y = log_b(a) + log_b(c).
Wie lautet die Basiswechselformel?
og_b(a) = log_c(a) / log_c(b) für jede zulässige Basis c. Meist: log_b(a) = ln(a) / ln(b)
Wie berechnet man log₂(10) mit einem Taschenrechner, der nur ln hat?
log₂(10) = ln(10) / ln(2) ≈ 2,303 / 0,693 ≈ 3,32
Was ist log_b(a) · log_a(b)?
1, denn nach Basiswechsel: (ln a / ln b) · (ln b / ln a) = 1
Wie löst man 2ˣ = 20?
Beide Seiten logarithmieren: x = log₂(20) = ln(20) / ln(2) ≈ 4,32
Wie löst man 3 · eˣ = 12?
Erst isolieren: eˣ = 4. Dann ln: x = ln(4) ≈ 1,386
Wie löst man log₂(x) = 5?
Beide Seiten als Exponent von 2 nehmen: x = 2⁵ = 32
Gilt log_b(a + c) = log_b(a) + log_b(c)?
Nein! Die Summe der Logarithmen gehört zum Produkt: log_b(a) + log_b(c) = log_b(a · c). Für log_b(a + c) gibt es keine Vereinfachung.
Gilt log_b(a) / log_b(c) = log_b(a / c)?
Nein! log_b(a / c) = log_b(a) − log_b(c). Der Quotient log_b(a) / log_b(c) ist nach Basiswechsel log_c(a).
Gilt (log_b a)² = log_b(a²)?
Nein! log_b(a²) = 2 · log_b(a). Beispiel: (lg 100)² = 4, aber lg(100²) = lg(10000) = 4 … hier zufällig gleich! Mit lg(1000): (lg 1000)² = 9, aber lg(1000²) = 6.
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