Vorraussetzungen für Gruppen
neutrales Element
inverses Element
Assoziativgesetz ((a’b)’c = a’(b’c))
Abbildung in sich selbst
Wann nennt man eine Gruppe kommutativ/abelsch?
Wenn gilt a’b = b’a
Was ist (m*Z, +)?
Eine Gruppe
Was ist (Z\{0}, *)?
Eine Halbgrupppe
Voraussetzungen Halbgruppe
Verknüpfung bildet wieder in selbe Menge ab
(a*b) * c = a * (b*c) (Assoziativgesetz)
Voraussetzungen Monoid
M ≠ leere Menge
(M, *) ist Halbgruppe
∀a∈M: a*e = e*a = a (neuterales Element)
Was ist (ℕ,+) ?
Monoid
Was ist (ℕ,*) ?
Was ist (Q\{0},*) ?
Was ist eine Permutation?
X sei eine Menge:
Sn = Sym(X) = Menge aller bijektiven Abbildungen von X
Sn bildet Gruppe mit Verkettung als Verknüpfung
Ein Element daraus nennt man Permutation
es gibt n! Permutationen
Was versteht man unter Gruppenhomomorphismus?
Seien (G, ◦) und (H, *) Gruppen und f:G->H eine Abbildung:
∀a,b∈G: f(a◦b) = f(a)*f(b)
Wann sind Gruppen isomorph?
Wenn Gruppenhomomorphismus bijektiv
Vorraussetzungen Ring mit (R, +, *)
(R, +) ist eine abelsche Gruppe
Multiplikation ist assoziativ
Distributivgesetze:
(a+b) * c = ac + bc
c * (a+b) = ca + cb
Vorraussetzungen Körper mit (K, +, *)
(K, +, *) ist ein Ring
(K\{0}, *) ist eine abelsche Gruppe mit neutrales Element = 1
jeder Körper ist kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1 als Einselement
Vorraussetzungen V Vektorraum über K
mit 𝛌,𝛍 ∈ K
und v, w ∈ V
(V, +) ist ablesche Gruppe
𝛌 * (v + w) = 𝛌 * v + 𝛌 * w
(𝛌 + 𝛍) * v = 𝛌 * v + 𝛍 * v
(𝛌 * 𝛍) * v = 𝛌 * (𝛍 * v)
1 * v = v
Vektorraumhomomorphismus
mit 𝛌 ∈ K
f(v+w) = f(v) + f(w)
f(𝛌*v) = 𝛌 * f(v)
Vektorraumisomorphismus
Vektorraumhomomorphismus plus bijektiv
Was ist eine Einheitsmatrix?
qaudratische Matrix mit 𝞭ij := 1 für i = j; 0 für i ≠ j
Was ist eine transportierte Matrix?
Zeilen und Spalten werden vertauscht
(A + B)^T = A^T + B^T
aber (A * B)^T = B^T * A^T
Was ist die inverse Matrix zu A?
Die Matrix B die durch Multiplikation mit A die Einheitsmatrix bildet
(A * B) ^-1 = B^-1 * A ^-1
(A^T)^-1 = (A^-1)^T
Was bedeutet GL(n, K)?
Die Menge der invertierbaren Matrizen aus K^nxn
bildet bezüglich der Matrixmultiplikation eine gruppe
“general linear group”
Zuletzt geändertvor 2 Jahren