Definition Ableitungsfunktion
Die Funktion f´, die jeder Zahl x₀ die Ableitung f´(x₀) zuordnet, heißt Ableitungsfunktion.
Ableitungsregeln
1) Potenzregel
f(x)= xⁿ f´(x)= n⋅xⁿ⁻¹
2) Konstanter-Faktor-Regel
g(x)= a⋅f(x) g´(x)= a⋅f´(x)
Ein konstanter Faktor bleibt beim ableiten erhalten
3) Summenregel
f(x)= u(x)±v(x) f´(x)= u´(x)±v´(x)
Summenanden können einzeln abgeleitet werden
4) Ableitung konstanter Funktionen
f(x)= c f´(x)= 0
z.B. f(x)= 1,5 f´(x)= 0
Schwierige Ableitungen
Produktregel
Warnung: Produkte und Quotienten können nicht gliederweise abgeleitet werden!
f(x)= u(x)⋅v(x) f´(x)= u´(x)⋅v(x)+u(x)⋅v´(x)
Kurzversion:
f(uv)´=u´v+uv´
Beispiel:
Wendepunkte
Sattelpunkt
Die Steigung einer Funktion ist an den Wendepunkten maximal bzw. minimal
Wendepunkte sind Punkte, in denen sich das Kurvenverhalten ändert: Rechtskurve -> Linkskurve bzw. Linkskurve -> Rechtskurve
In den Wendepunkten ist die Steigung/ das Gefälle extrem. D.h. die Wendepunkte von f sind die Extrempunkte der 1. Ableitung f´
Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagerechter Tangende bzw. mit Steigung 0.
Notwendige Bedingung für Wendepunkte
f hat einen Wendepunkt an der Stelle Xw, so gilt f´´(Xw)= 0
Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte
Gilt f´´(Xw)= 0 und f´´´≠ 0, so hat f einen Wendepunkt in (Xw/f(Xw))
Strenge Monotonie
Definition
Eine Funktion f heißt in einem Intervall streng monoton steigend, wenn gilt:
x₂>x₁, btw. f(x₂)>f(x₁)
Eine Funktion f heißt in einem Intervall streng monoton fallend, wenn gilt:
x₂<x₁, btw. f(x₂)<f(x₁)
Zusammenhang mit der Ableitung f´:
Monotoniekriterium:
Gegeben f in einem Intervall I
- Gilt f´(x)>0 für alle x∈I, so ist f in I streng monoton steigend
- Gilt f´(x)<0 für alle x∈I, so ist f in I streng monoton fallend
(lokale) Extrempunkte
- Der Punkt (xₑ/f(xₑ)) ist ein lokaler Tiefpunkt, falls f(x)≥f(xₑ) für alle x aus einer Umgebung von xₑ
f(xₑ) heißt dann auch lokales Minimum
- Der Punkt (xₑ/f(xₑ)) ist ein lokaler Hochpunkt, falls f(x)≤f(xₑ) für alle x aus einer Umgebung von xₑ
f(xₑ) heißt dann auch lokales Maximum
Allgemeine Beziehungen
P(xₑ/f(xₑ)) (lokaler) Extrempunkt
xₑ Extremstelle
f(xₑ) Extremwert
Notwendiges Kriterium für Extrempunkte
Weiteres Kriterium für Extrempunkte
Kriterium für Kurvenverhalten/Krümmungsart
Besitzt f an der Stelle xₑ einen lokalen Extrempunkt, so ist f´(xₑ)= 0
„notwendig, aber nicht hinreichend”:
f´(x₀)= 0
-> Extrempunkt (TP; HP ?)
-> Sattelpunkt
Wie kann ich unterscheiden?
f´(xₑ)= 0 und f´´(xₑ)<0
⇒ f hat einen HP (xₑ/f(xₑ))
f´(xₑ)= 0 und f´´(xₑ)>0
⇒ f hat einen TP (xₑ/f(xₑ))
! Ist f´(x)= 0 und f´´(x)= 0 lässt sich keine Aussage treffen.
Kriterium für Kurvenverhalten/ Krümmungsart
f´´(x)>0 ⇒ f hat eine Linkskurve, f ist linksgekrümmt
f´´(x)< 0 ⇒ f hat eine Rechtskurve, f ist rechtsgekrümmt
Wenn x=0 und f´´(0)=0, was dann?
Dann ist eine Entscheidung nicht möglich, ob ein Wendepunkt oder Sattelpunkt vorliegt.
Das f´´- Kriterium ist hinreichend, aber nicht notwendig!
f´´=0, d.h. bei x=0 liegt ein möglicher Wendepunkt
mit f´´´ überprüfen
Vorzeichenwechsel bei f´ für x=0?
wenn x=0 doppelte Nullstelle von f´ ist:
⇒ kein VZW bei f´
⇒ Sattelpunkt bei f
Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagerechter Tangente, d.h. er erfüllt die Wendepunkt - Bedingung f´(Xsp)=0
Beispiel Rechnung Extrempunkte und Wendepunkte
Ortskurve
Kurve auf der alle Tief-/Hoch- oder Wendepunkte liegen.
Bestimmung möglich, wenn die Extrempunkte mit Parameter angegeben sind.
Kurvendiskussion
https://studyflix.de/mathematik/kurvendiskussion-3076?topic_id=22
Funktionsschar
Funktionsscharen entstehen, wenn man Funktionen mit einem Parameter hat.
Für jede Zahl, die man für den Parameter einsetzt, erhält man eine andere Funktion, alle diese Funktionen haben ähnliche Eigenschaften.
Wendetangente
Bestimmung der Wendetangente
Wendepunkt berechnen
WP (Xw/Yw)
Wendetangente y= mx+n
m= f´(Xw)
Xw in f´(x) einsetzen, um m zu erhalten
WP und m in y= mx+n einsetzen, um n zu errechnen
Voila du hast die Wendetangente ermittelt
Zuletzt geändertvor 6 Monaten