Ableitungen und Extrempunkte

Die Funktion f´, die jeder Zahl x₀ die Ableitung f´(x₀) zuordnet, heißt Ableitungsfunktion.

1) Potenzregel

f(x)= xⁿ f´(x)= n⋅xⁿ⁻¹

2) Konstanter-Faktor-Regel

g(x)= a⋅f(x) g´(x)= a⋅f´(x)

Ein konstanter Faktor bleibt beim ableiten erhalten

3) Summenregel

f(x)= u(x)±v(x) f´(x)= u´(x)±v´(x)

Summenanden können einzeln abgeleitet werden

4) Ableitung konstanter Funktionen

f(x)= c f´(x)= 0

z.B. f(x)= 1,5 f´(x)= 0

Warnung: Produkte und Quotienten können nicht gliederweise abgeleitet werden!

Produktregel

f(x)= u(x)⋅v(x) f´(x)= u´(x)⋅v(x)+u(x)⋅v´(x)

Kurzversion:

f(uv)´=u´v+uv´

Beispiel:

Die Steigung einer Funktion ist an den Wendepunkten maximal bzw. minimal

Wendepunkte sind Punkte, in denen sich das Kurvenverhalten ändert: Rechtskurve -> Linkskurve bzw. Linkskurve -> Rechtskurve

In den Wendepunkten ist die Steigung/ das Gefälle extrem. D.h. die Wendepunkte von f sind die Extrempunkte der 1. Ableitung f´

Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagerechter Tangende bzw. mit Steigung 0.

Notwendige Bedingung für Wendepunkte

f hat einen Wendepunkt an der Stelle Xw, so gilt f´´(Xw)= 0

Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte

Gilt f´´(Xw)= 0 und f´´´≠ 0, so hat f einen Wendepunkt in (Xw/f(Xw))

Definition

• Eine Funktion f heißt in einem Intervall streng monoton steigend, wenn gilt:

  x₂>x₁, btw. f(x₂)>f(x₁)

• Eine Funktion f heißt in einem Intervall streng monoton fallend, wenn gilt:

  x₂<x₁, btw. f(x₂)<f(x₁)

Zusammenhang mit der Ableitung f´:

Monotoniekriterium:

Gegeben f in einem Intervall I

- Gilt f´(x)>0 für alle x∈I, so ist f in I streng monoton steigend

- Gilt f´(x)<0 für alle x∈I, so ist f in I streng monoton fallend

- Der Punkt (xₑ/f(xₑ)) ist ein lokaler Tiefpunkt, falls f(x)≥f(xₑ) für alle x aus einer Umgebung von xₑ

f(xₑ) heißt dann auch lokales Minimum

- Der Punkt (xₑ/f(xₑ)) ist ein lokaler Hochpunkt, falls f(x)≤f(xₑ) für alle x aus einer Umgebung von xₑ

f(xₑ) heißt dann auch lokales Maximum

Allgemeine Beziehungen

P(xₑ/f(xₑ)) (lokaler) Extrempunkt

xₑ Extremstelle

f(xₑ) Extremwert

Notwendiges Kriterium für Extrempunkte

Besitzt f an der Stelle xₑ einen lokalen Extrempunkt, so ist f´(xₑ)= 0

„notwendig, aber nicht hinreichend”:

f´(x₀)= 0

-> Extrempunkt (TP; HP ?)

-> Sattelpunkt

Wie kann ich unterscheiden?

Weiteres Kriterium für Extrempunkte

f´(xₑ)= 0 und f´´(xₑ)<0

⇒ f hat einen HP (xₑ/f(xₑ))

f´(xₑ)= 0 und f´´(xₑ)>0

⇒ f hat einen TP (xₑ/f(xₑ))

! Ist f´(x)= 0 und f´´(x)= 0 lässt sich keine Aussage treffen.

Kriterium für Kurvenverhalten/ Krümmungsart

f´´(x)>0 ⇒ f hat eine Linkskurve, f ist linksgekrümmt

f´´(x)< 0 ⇒ f hat eine Rechtskurve, f ist rechtsgekrümmt

Dann ist eine Entscheidung nicht möglich, ob ein Wendepunkt oder Sattelpunkt vorliegt.

Das f´´- Kriterium ist hinreichend, aber nicht notwendig!

1. f´´=0, d.h. bei x=0 liegt ein möglicher Wendepunkt

   mit f´´´ überprüfen

2. Vorzeichenwechsel bei f´ für x=0?

   wenn x=0 doppelte Nullstelle von f´ ist:

   ⇒ kein VZW bei f´

   ⇒ Sattelpunkt bei f

Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagerechter Tangente, d.h. er erfüllt die Wendepunkt - Bedingung f´(Xsp)=0

Kurve auf der alle Tief-/Hoch- oder Wendepunkte liegen.

Bestimmung möglich, wenn die Extrempunkte mit Parameter angegeben sind.

https://studyflix.de/mathematik/kurvendiskussion-3076?topic_id=22

Funktionsscharen entstehen, wenn man Funktionen mit einem Parameter hat.

Für jede Zahl, die man für den Parameter einsetzt, erhält man eine andere Funktion, alle diese Funktionen haben ähnliche Eigenschaften.

Bestimmung der Wendetangente

1. Wendepunkt berechnen

   WP (Xw/Yw)

2. Wendetangente y= mx+n

   m= f´(Xw)

3. Xw in f´(x) einsetzen, um m zu erhalten

4. WP und m in y= mx+n einsetzen, um n zu errechnen

   Voila du hast die Wendetangente ermittelt