Zahlen und Operationen

Material hat (wenigstens) 3 Funktionen:

1. Lösungshilfe

• Hilft bei einer Rechenaufgabe eine Lösung zu ermitteln

  → Beispiel: du hast 7 Kuscheltiere und bekommst 5 dazu. Wie viele hast du jetzt. Auch: 7+5)

• über Zählprozesse

• über Rechenprozesse

• nie unreflektierter Einsatz (sonst wie Taschenrechner)

• eher nicht so: „Wer‘s noch nicht kann, darf sich den Rechenrahmen nehmen.“

2. Lernhilfe

→ zentrale Funktion

• Unterstützung der Entwicklung tragfähiger Rechenstrategien (durch Handlungen, die im Folgenden „verinnerlicht“ werden)

• Zerlegen

• Verdoppeln

• Hilfsaufgaben

• Zahlbeziehungen, „wichtige Zahlen“ (5, v.a. 10) werden mitgelernt

3. Kommunikations- und Argumentationshilfe

• Unterstützung der Darstellung der eigenen Vorgehensweise

• Erklärungen in einer Rechenkonferenz

  • Adressaten: Lernende und Lehrende

  • Diagnostischer Nutzen

• Hilft den Lernenden, ihre Gedankengänge zu versprachlichen und bewusst zu machen

= Die Übersetzensleistung zwischen Zeichen und Bedeutung

• Grundvorstellungen befähigen dazu, einen mathematischen Term angemessen zu deuten und anschauliche Beispiele für diesen Term zu finden

  → Beispiel: eine Geschichte, ein Bild oder eine Handlung

• Mathematische Grundvorstellungen beschreiben vor allem die Übersetzungsprozesse zwischen mathematisch-symbolischen (gesprochen oder geschrieben) und nicht- symbolischen (Bildern, Handlungen und reale Situationen) Darstellungen

• Tragfähige Grundvorstellungen ermöglichen eine flexible Übersetzung von Darstellungsformen (Bildern, Handlungen, reale Situationen, mathematische Symbole)

• Grundvorstellungen ermöglichen Übersetzungen zwischen dem Zahlwort (z.B. „achtzehn“) und ... :

  • ... passenden Bildern („wie viele Punkte sind abgebildet?“)

  • ... Handlungen („lege 18 Teller auf den Tisch“)

  • ... dem Zahlsymbol („ 18“)

  • ... der Interpretation der Sachsituation („sind 18 Teller auf einem Tisch eher viel oder eher wenig?“, „sind 18 Menschen im Fußballstadion eher viel oder eher wenig?“)

• Multiplikation als wiederholte Addition:

  • Zeitlich-sukzessive Handlung

  • Räumlich-simultane Handlung

• Kombinatorischer Aspekt

• Der multiplikative bzw. proportionale Vergleich

  • Max hat 5 Euro. Peter hat dreimal so viel.

    → Wie viel hat Peter?

  • Peter hat 12E, das sind dreimal so viel, wie Max hat.

    → Wie viel hat Max?

• Stauchen und Strecken

  • Zeichne eine Strecke mit der Länge 4cm auf ein Blatt Papier. Lege dieses Blatt auf einen Kopierer und kopiere mit dem Vergrößerungsfaktor

    → Wie lange wird die Strecke auf der Kopie sein?

Kombinatorischer Aspekt der Multiplikation

= alle möglichen Kombinationen zwischen den Elementen zweier Mengen (Kreuzprodukt)

• Vom „kombinatorischen Aspekt“ spricht man, wenn mit „Menge“ die „Möglichkeiten“ vorgegebener Permutationen /Varianten gemeint ist • Einstieg: schwierig, denn „Möglichkeiten“ sind eher abstrakt

Beispiele

• In einer Eisdiele gibt es 5 Sorten Eis...

• Mirkan hat drei Lieblings-Hosen und vier Lieblings-T-Shirts. Wie viele Möglichkeiten hat er, sich damit anzuziehen?

• Die Müllers (vier Personen) und die Krefts (fünf Personen) begrüßen sich per Handschlag. Wie oft geben Sie sich die Hände?

Schulbuchseite:

Problem

• die Verbindungsstriche werden unübersichtlich

• „stimmt das?“ (Aufgabe 4) regt nicht wirklich zum

  Denken an

• wenig ersichtlicher Zusammenhang zur

  Multiplikation → nicht als Einführung geeignet!

• Multiplikation und Division nicht getrennt voneinander thematisiert werden (ähnlich wie die Addition und die Subtraktion)

  → wichtig: frühzeitige und Langenhagener Verknüpfung

• aber: dabei gibt es verschiedenene Ansichten

Beispiele für Zusammenhänge zwischen Multiplikaiton und Division

Aufteilen als Umkehrung der Multiplikation

Gründe für eine schnelle Verknüpfung von Multiplikation und Division

• Mathematischer Aspekt:

  Die Multiplikation und die Division sind Umkehroperationen

  → Zusammenhang zwischen beiden Operationen soll früh und immer wieder aufgegriffen, genutzt und reflektiert werden

• Didaktischer Aspekt

  • die Zusammenhänge und Beziehungen sollten genutzt werden, damit sich ein tragfähiges und beziehungsreiches Grundvorstellungsnetz bildet

  • die Nutzung von Modellen hilft vor allem bei größeren Zahlenräumen

• Pragmatisch Aspekt:

  Arbeitsersparnis: wer verstehe, dass es zur Multiplikationsaufgabe zwei komplementäre Divisionsaufgaben gibt, automatisiert schneller

  → „Zahlentripel“:

  • 3 * 4 = 12

  • 12 : 3 = 4

  • 12 : 4 = 3

Verteilen und Aufteilen

• Es gilt:

Konsequenz

• Beobachtung der Prozesse, der Erklärungen und Begründungen sind wichtig

• „Ich seh was, was du nicht siehst“ (Form der Differenzierung: Jeder kann so viel sehen, wie er kann)

• Job der Kinder ist nicht, nur das zu sehen, was die Lehrkraft sieht bzw. was sie erwartet zu sehen!

• Ohne Grundvorstellungen kann bei Fehlern zu Strategien nicht adäquat interveniert werden

• „Rechendrang unterdrücken!“ Es geht erst mal nicht darum, Terme auszurechnen, sondern die Grundvorstellungen aufzubauen

  → man braucht Grundvorstellungen um Rechnungen zu verstehen

Vorkenntnisse

• Die SuS verfügen schon vor der systematischen Erarbeitung über Strategien, mit denen sie Multiplikationsaufgaben in Sachsituationen lösen können

  → Beispiel:

  • Aneinanderreihung, Rhythmisches Zählen (1, 2, 3, 4, 5, 6),

  • Wiederholte Addition, Aufsagen der „Reihe“

• Diese Strategien versagen bei Aufgabe mit größeren Zahlen: schwerfällig, zeitaufwändig, fehleranfällig

  → es ist wichtig, dass SiS effektive Rechenstrategien erlernen

1. Lösen von Aufgaben durch wiederholte Addition

2. Aufsagen der Zahlenfolgen

• sind nur zu Beginn der Behandlung der Multiplikation hilfreich

  → dürfen sich nicht verfestigen, sondern müssen durch tragfähige Strategien eingelöst werden

  → deswegen: kein Einüben des Einmaleins, sonder Erarbeitung des kleinen Einmaleins über operative Strateigen

• Wiederholte Addition ist eine tragfähige Grundvorstellung, aber kein tragfähiger Lösungsweg

  → SuS nicht zwingen, über wiederholte Addition Lösungen zu bestimmten („Rechendrang unterdrücken“)

  → Grund:

  • es ist schwierig vom Zählen zur Automatisierung zu kommen

  • es wird kein Verständnis von Zahlen und Operationen aufgebaut

  • ist im größeren Zahlenraum kaum noch möglich (nicht fortsetzb

1. Lösen der Aufgabe durch Rückführung auf die Kernaufgabe

• Kernaufgaben:

  • Einer-Aufgabe

  • Zweier-Aufgaben

  • Fünfer-Aufgaben

  • Zehner-Aufgaben

  • Quadratzahlen

  • Lieblingsaufgaben

• diese Kernaufgaben sind Grundlage für operative Beziehungen (Nachbarschaft, Verdopplung, Zerlegen und Zusammensetzen)

Kernaufgaben als Grundlage für die Lösung weitere Aufgaben → sind die Grundlage für operative Beziehungen

1. Verwendung von Rechengesetzen

• Rechengesetze werden in der Grundschule als Rechenvorteile in Form von Tauschaufgaben, Nachbar- oder Hilfsaufgaben erklärt

• besser als Begriff „Gesetz“: Zentrale Werkzeuge:

Vernetzte mentale Werkzeuge als Grundlage für das Rechnen

Argumente gegen ein frühes Auswendiglernen der “Reihen“

• Zusammenhänge der Aufgaben werden nicht erkannt (ist aber die Kernkompetenz des Rechnens

• Bilder und Handlungen werden nicht mit den Malaufgaben verbunden → nur Zahlen im Kopf ohne Beziehung zueinander

• nicht tragfähig im großen Zahlenraum

• auf Dauer nicht zielführend

• langfristige Probleme im Rechnen (weil das beziehungsreiche Denken fehlt)

-> erst nach dem Verständnis soll automatisiert werden

• Das „kleine Einmaleins“ besteht aus 121 Aufgaben:

• Blau = Kernaufgaben

• Grün = Herausarbeiten aus den Kernaufgaben

• Gelb = Aufgaben, die nur schwierig herausgearbeitet werden können

  → fallen den SuS oft schwer

Gefahren bei der Einführung des kleinen Einmaleins

→ sollten im Unterricht vermieden werden

• zu frühe Einführung

• zu schnelle Einführung

• zu viel auf einmal

• zu wenig Vernetzung

-> Ziel: automatisiertes Üben

Kernaufgaben

• Aufgaben mit der 0

• Aufgaben mit der 1

• Aufgaben mit der 2 (Verdoppeln) (Verdoppeln wird schon in der 1. Klasse

  behandelt)

• Aufgaben mit der 5 (dabei gibt es leichte und schwere Aufgaben)

• Aufgaben mit der 10

• Quadrataufgaben (zählen aber nicht in jeder Literatur zu den Kernaufgaben)

  → kann gut in Verbindung mit Vierecken und Quadraten in der Geometrie behandelt werden

-> die restlichen Aufgaben können aus den Kernaufgaben abgeleitet werden:

Netz der Kernaufgaben

• dient als Grundlage für ein tieferes Verständnis beider Operationen und Umkehroperationen

• führt zur allmählichen Automatisierung des kleinen Einmaleins

• automatisieren = wenn man weis, was das Ergebnis ist, und seine Lösung auch erklären kann

→ Beispiel für Herausleitung: aus dem Netz der Kernaufgaben

→ dadurch entstehen operative Beziehungen

Ablauf bei der Erarbeitung des kleinen Einmaleins

1. zuerst die Kernaufgaben

2. weitere Aufgaben durch operative Beziehungen

3. abwechslungsreiches Übungsmaterial (Puzzle, Spiele, Dominos, ...)

4. regelmäßiges Wiederholen

→ Automatisiertes Üben

Malkreuz

Malifant

• Problem des Malifanten: funktioniert nur auf Symbolebene

für die Multiplikation von großen Zahlen gibt es mehrere Möglichkeiten:

• schriftlich

• Stellenweise mit einem Malkreuz

• Schrittweise

• mit einer Hilfsaugabe (Nachbaraufgabe)

• durch Vereinfachung (Gegensinniges Verändern)

• Ikonische Lösung

Beispiel: Aufgabe 14 x 13

Übergeneralisierung in der Multiplikation

am Beispiel 25 · 19

• Multiplikation mit der 0 ist eine häufige Fehlerquelle:

  5 x 0 = 0

• Neutrales Element der Multiplikation ist die 1

• Bei Multiplikation mit 0 gilt:

  n x 0 = 0 und 0 x n = 0 für jede natürlich Zahl n

Argumentationen:

• ... bei Null passiert ja nichts (neutrales Element)

• ... Null ist ja nichts, also muss ich fünf mit nichts malnehmen

• ... bei Plus bleibt die Fünf ja auch stehen

Erklärungsansätze

Zusammenfassung Multiplikation

• Handelnder Einstieg, stetige Formalisierung

• Schnelle Thematisierung der Kernaufgaben

• Lösung einer Aufgabe durch operative Nutzung der Kernaufgaben

• Grundlage für die operativen Veränderungen besprechen

  (Tauschaufgaben, Nachbaraufgaben, Zerlegen von

  Multiplikationsaufgaben)

• Auf Sackgassen im Lernprozess achten (Reihen durchgehen, wiederholte Addition)

• Aufgaben mit der Null von Anfang an einbeziehen

Wann Automatisierung?

• Kinder sollten Ende der 2. Klasse die Multiplikation noch nicht automatisiert haben → sollen es sich herleiten können

• Ende der 3. und 4. Klasse müssen diese Aufgaben automatisiert sein

Grundidee des „Rechnens auf eigenen Wegen“

• unterschiedlich ausgeprägte Kompetenzen produktiv im Lehr- / Lernprozess nutzen

• Ausgehend von der Heterogenität und der Kreativität der Schülerlösungen können verschiedene Rechenwege thematisiert werden

• Auseinandersetzung mit den Mitschülern und der Lehrkraft führt zur Reflexion über das eigene Vorgehen

• das Einmaleins wird oft als Protoyp mechanisch abgespeichert, wenn die SuS dafür aber mehr Zeit haben, können sie individuelle Rechenmethoden entwickeln und optimieren

• es ist vorteilhaft eine geringe Anzahl ausgewählter Strategien zu behandeln

Umsetzung im Unterricht

es gibt 4 Aufgabenformate, mit deren Hilfe verschiedene Vorgehensweisen zum Gegenstand der Reflexion gemacht werden können

1. So rechne ich

• Die SuS sollen ihre individuellen Lösungswege darstellen → werden im Unterrichts- oder im Gruppengespräch thematisiert

2. Rechnen wie...

• Die Rechenstrategien, die in der Lerngruppe oft beobachtet werden, werden thematisiert

• es werden 2 fiktive Kinder vorgestellt, die verschiedene Rechenmethoden nutzen

  → SuS sollen das charakteristische der Rechenwege finden und anschließend auf die gleiche Art Aufgaben lösen

3. Finde viele Rechenwege

• SuS sollen möglichst viele Rechenwege zu einer bestimmten Aufgabe finden

4. Verwandte Aufgaben („Sonnen“)

• SuS sollen eine Aufgabe in einen Kreis schreiben und außen herum weitere Aufgaben schreiben, die zu ihr in Beziehung stehen (Tausch-, Nachbar-, Umkehraufgabe, Hälfte, Doppelte, etc.)

Vorteile des „Rechnens auf eigenen Wegen“

• SuS können entsprechend ihren eigenen Vorstellungen und ihrem eigenen Tempo vorgehen

• weil die Einmaleinsaufgaben nicht frühzeitig mechanisiert werden, haben die SuS nicht das Gefühl im Vergleich zu den Mitschülern im Rückstand zu sein

• durch die ganzheitliche Behandlung der unterschiedlichen Vorgehensweisen können die SuS eigene Lösungsstrategien entwickeln und ihr Methodenrepertoire erweitern

Strategien zum Ausrechnen von Geteilt-Aufgaben:

• Zählen

  • Aufsagen der Reihe

  • Wiederholte Addition / Subtraktion

• (Operative) Strategien

  • Distributivität

  • “Kürzen”

• Auswendig

  • Über die Kernaufgaben

  • Über den Zahlzusammenhang

  • über den “Zahlenblick”

-> Erklärung mit der Umkehraufgabe

1. Fehler bei Endnullen im Dividend und Divisor

   

1. Fehler bei der Anwendung informeller Lösungsstrategien

   -> Beispiel: Minus-1-Fehler bei wiederholter Subtraktion

   

1. Perversionsfehler (Nachwirken von Ziffern)

   

2. Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien

   -> Beispiel: Ziffernweises Rechnen, stellenweises Rechnen

   

3. Nullfehler

1. Restschreibweise

• 17 : 5 = 3 Rest 2 (R2)

• Schwierigkeit: 17:5 = 3 Rest 2 und 29:9 = 3 Rest 2

  → Aber: 17:5 ≠ 29:9 (3,4 ≠ 3,2)

2. Zerlegungsschreibweise

• 17:5 -> 17 = 5 x 3 + 2

• Schwierigkeit:

  • Reduzierung der Division auf die Vorstellung der umgekehrten Multiplikation

  • zweischrittige Notation, Fehlerquelle: 17:5=5·3+2

3. Divisionsschreibweise

• 17 : 5 = 3 + (2 : 5)

• Schwierigkeit: Ergebnisdarstellung ist formal richtig, aber unübersichtlich

das situationsabhängige Deuten des Rests bei Textaufgaben (und das Erkennen, dass das überhaupt notwendig ist)

Aufgabe: 144:8

Fünf-Punkte-Plan

= Vorschlag, wie durch Impulse die Strategien von Rechen- aufgaben thematisiert werden können

Grundlagen für Rechnen im großen Zahleraum

• Additions- und Subtraktionsaufgaben

• kleines Einmaleins

• kleines Eins-durch-eins

Übungsmaterial im Zahlenraum bis 1000

• Stellentafel

• Rechengeld

  → wird als Rechenhilfsmittel genutzt

  → Besonderheit: Größe / Wertmaßstab

• MSB (Mehrsystemblöcke) / Zehnerblöcke (Einerwürfel, Zehnerstange, Hunderterplatte, Tausenderwürfel)

• Tausenderfeld

• Tausendertafel

• Zahlenstrahl (und der Rechenstrich)

• Historisch: „Rechnen können“ ist das Lösen der Aufgaben des kleinen Einspluseins“ und des kleinen Einmaleins und das schnelle Aufsagen von Standartalgorithmen

• In den letzten Jahren: Veränderung: der Stellenwert schriftlicher Rechenverfahren hat sich relativiert

• Normalverfahren (Schriftliche Verfahren: schriftliche Addition, schriftliche Subtraktion, schriftliche Multiplikation und schriftliche Division) sind nicht mehr Zentrum des Mathematikunterrichts

  → sondern: Ziel ist das Verstehen ihrer Funktionen

• Wie die Kinder lernen sollte genauso bedeutsam für die Lehrkraft sein wie, dass sie die relevanten Inhalte lernen

• die Strategien, die die SuS am Anfang nutzen, zweigen welche Vorkenntnisse die Kinder mitbringen

• Ziel: Flexibles Rechnen und Nutzung verschiedener operativer Strategien

  → flexibles Einsetzen von Methoden und Strategien abhängig vom Zahlenmaterial und ihren individuellen Fähigkeiten

Kopfrechnen

• Rechenterme werden ohne Zuhilfenahme von Stift und Papier nur durch gedankliche Prozesse gelöst

Halbschriftliches Rechnen/ gestütztes Kopfrechnen/ halbschriftliche Rechenstrategien

• Zwischenrechnungen oder -ergebnisse werden beim Rechenprozess notiert, um das Kopfrechnen zu entlasten.

Schriftliches Rechnen/ schriftliche Rechenverfahren/ Normalverfahren

• Über Algorithmen werden Terme berechnet, indem die Ziffern der Zahlen über feste Regeln verknüpft und Zwischenschritte schematisch schriftlich notiert werden.

Vorteile:

• Verschiedene Lösungswege, die von den Kindern entdeckt werden können

• Keine feste, vorgeschriebene Notationsform

• Differenzierung (breite Vielfalt an Strategien für möglichst viele Kinder und eine Strategie für schwächere Lerner)

Halbschriftliche Rechenstrategien - Multiplikation

• Schrittweise Rechnen

• Stellenweise Rechnen

• Vereinfachen (Gleichsinniges Verändern)

• Hilfsaufgabe (und Nachbaraufgabe)

• Schrittweise Rechnen

• Vereinfachen (Gleichsinniges Verändern)

• Hilfsaufgabe (und Nachbaraufgabe)

Halbschriftliche Strategien - Addition

• Stellenweises Rechnen (Stellen extra)

  • Beide Summanden werden stellenweise zerlegt

    → ist am Rechenstrich nicht übersichtlich darstellbar!

• Schrittweises Rechnen

  • Erster Summand bleibt unverändert, der zweite Summand wird (evtl. auch stellenweise) zerlegt

• Mischform (aus stellenweisem und schrittweisem Rechnen)

• Vereinfachen (z.B. durch gegensinniges Verändern)

• Hilfsaufgabe (z.B. Nachbaraufgaben)

Halbschriftliche Strategien - Subtraktion

• Stellenweises Rechnen (Stellen extra)

  • Beide Zahlen werden stellenweise zerlegt

    → ist am Rechenstrich nicht übersichtlich darstellbar!

• Schrittweises Rechnen

  • nur eine Zahl wird schrittweise zerlegt (normalerweise der Subtrahend)

• Mischform (aus stellenweisem und schrittweisem Rechnen)

• Vereinfachen (z.B. durch gleichsinniges Verändern)

• Hilfsaufgabe (z.B. Nachbaraufgaben)

• Ergänzen

1. Gleichungsschreibweise

Beispiel:

2. Rechenstrich

Beispiel:

1. Schrittweises Rechnen

• den Subtrahenden zerlegen

  

2. Ergänzen

• Wie viel fehlt?

  

3. Hilfsaufgabe

• eine einfachere Aufgabe finden

  

• es gibt eine Dominanz schriftlicher Rechenverfahren und ein höheres Vertrauen in schriftliche Rechenverfahren

• Flexible Rechenstrategien müssen mit den Kindern geübt werden

  → das Verständnis für die Zahlen muss geübt werden

• Neuere Schulbücher müssen offener gegenüber halbschriftlichen Rechenstrategien sein und diese gezielt fördern

Flexibles Rechnen im Unterricht

langfristiges Ziele:

• flexibles Rechnen (SuS sollen Methoden und Strategien flexibel einsetzen)

• Aufgabenadäquates Rechnen (abhängig vom Zahlenmaterial und ihren individuellen Fähigkeiten)

Ziel:

• Ausgehend vom Zahlenmaterial einer Aufgabe entscheiden, ob man im Kopf oder schriftlich rechnen sollt

1. Kopfrechnen oder schriftliches Rechnen

• Die Kinder sollen im Unterrichtsgespräch über fünf Beispielaufgaben zur Addition (für sich begründet) entscheiden, ob sie diese im Kopf oder schriftlich rechnen

1. 278+199 3. 280+200 5. 721+247

2. 340+250 4. 138+133

2. Entscheide selbst: im Kopf oder schriftlich?

• Was ist leichter? Entscheide zuerst. Dann rechne die Aufgabe schriftlich oder im Kopf. Rechne aber mindestens zwei Aufgaben schriftlich und zwei im Kopf!

1. 700+ 35 6. 500+ 98

2. 249+250 7. 480+370

3. 342+ 98 8. 720+ 35

4. 476+238 9. 235+678

5. 589+212 10. 320+460

3. Warum im Kopf, warum schriftlich?

• Schreibe einige Aufgaben auf, die du im Kopf gerechnet hast! Warum hast du die im Kopf gerechnet? • Schreibe einige Aufgaben auf, die du schriftlich gerechnet hast! Warum hast du sie schriftlich gerechnet?

4. Stelle deine Arbeit anderen Kindern vor.

• Die Kinder präsentieren und diskutieren ihre Vorgehens-weisen und ihre Texte.

5. Schreibe fünf Aufgaben auf, die sich gut für das Kopfrechnen eignen, und fünf Aufgaben, die sich gut für das schriftliche Rechnen eignen

Unterschied zwischen Strategien

• Strategien: sind individuell

  • werden angewandt, wenn nicht die Normalverfahren benutzt werden

  • Beispiele: Ergänzen, Verdoppeln,

• Verfahren

  • schriftliche Verfahren (Addition, Subtraktion, etc.)

Diagnose und Förderung: „Schriftlich oder nicht?“

“Den Rechendrang unterdrücken”

• Eine Aufgabe sowohl schriftlichals auch im Kopf rechnen (lassen)

• Aufgaben auf Karten schreiben und sortieren lassen

• Diskutieren (gerade bei unterschiedlichen Wegen)

• Musterfinden (wann rechne ich eine Aufgabe lieber schriftlich)?

• Kopfrechenlupe – auf einer Schulbuchseite zur schriftlichen Subtraktion werden Aufgaben gesucht, die auch im Kopf gerechnet werden können

• Aufgaben erfinden (die eher im Kopf gerechnet werden bzw. die eher schriftlich gerechnet werden)

Diagnose

• Welche Zahlvorstellungen werden aktiviert?

• Welche Zahlbeziehungen werden für Begründungen herangezogen?

• Welche Operationsvorstellungen werden aktiviert?

Förderung

• Zahlenblick

• Kommunizieren, Argumentieren

• Darstellen

Folgerungen nach Selter

• Stärkung des Zahlenrechnens

• Reflexion über die Angemessenheit von Rechenmethoden (Rechenkonferenzen)

• Entwicklung eines „Zahlenblicks“

• Zwischenformen des Zahlenrechnens fördern

• Stärkung der Subtraktion

• ab der Einführung der schriftlichen Operationen, nimmt das halbschriftliche Rechnen stark ab

• Rechenmethoden im Februar, Juni (Einführung der schriftlichen Methoden) und Oktober:

• schriftliche Methoden haben sich gefestigt und halbschriftliche sind in den Hintergrund geraten

Gründe, warum die Lösung von 601 - 598 „nicht gesehen“ wird

• Keine Alternativen

• bei Rechengeschichte handelt es sich meistens um Wegnehm-Situationen (und nicht ums Ergänz-Situationen oder Situationen, wo der Unterschied bestimmt werden muss

• Materialkenntnis fehlt (MSB, v.a. aber Rechenstrich)

• Materialhandlungen ist beim Wegnehmen nicht klar (Legen des Subtrahenden)

• heuristische Strategien fehlen („Wie entscheide ich mich für eine Strategie?“)

• Zahlbeziehungen werden vor dem Lösen nicht gesehen (es wird gar nicht darauf geachtet)

Schriftliche Rechenverfahren

• das schriftliche Rechnen kann Kinder „blind“ machen für andere Verfahren und Rechenwege

• das schriftliche Verfahren ist aber nicht generell der beste Lösungsweg

• „Preis-Nutzen-Verhältnis“ ist ungünstig:

  • Nutzen: schnelle, meist richtige Lösungen

  • Preis: Unverständnis der ganzheitlichen Lösungsansätze

→ Zeitgemäßer Mathematikunterricht kann nicht mehr das bloße Ziel der automatisierten Beherrschung aller schriftlichen Rechenverfahren verfolgen!

Ziele der schriftlichen Rechenverfahren

• schriftliche Rechenverfahren sollen den Aufbau von Zahl- und Operationsvorstellungen nicht verhindern → wird durch „Verstehen“ der Verfahren gewährleisten (wirkt dem reinem Ziffernrechnen entgegen)

• Handlungsorientierte Veranschaulichung am Material ermöglicht eine Aktivierung von Grundvorstellungen sowie eine Vertiefung des Stellenwertverständnisses

Notwendige Vorkenntnisse:

• Eins-plus-eins im Zahlenraums bis 20

• Gefestigtes Stellenwertverständnis

Sprechweisen

• 4 + 7 = 11, schreibe 1 übertrage 1 1 + 6 + 3 = 10, schreibe 0 übertrage 1 usw.

• 4 Einer und 7 Einer sind 11 Einer. Also 1 Einer und 1 Zehner 1 Zehner, 6 Zehner und 3 Zehner sind 10 Zehner, also 1 Hunderter usw.

• 4 E-Würfel und 7 E-Würfel sind 11 E-Würfel. Also 1 Z-Stange und 1 E-Würfel 1, 6 und 3 Z-Stangen sind 10 Z-Stangen, also 1 H-Platte usw.

• Bildungsplan BW schreibt kein Verfahren vor

• „Das Abziehen kombiniert mit dem Entbündeln besitzt insgesamt die mit Abstand meisten Vorzüge und wenigsten Nachteile“ (Padberg & Benz 2020)

  • richtige Ergebnisse eher bei Ergänzen mit Erweitern

  • Verständnis eher bei Abziehen mit Entbündeln

• Probleme beim Übergang

  -> Bedeutung Übergang am Arbeitsmittel (konkret oder in der Vorstellung) klären

• Addition statt Subtraktion

  -> Subtraktions- und Additionsaufgaben schnell mischen

  -> Subtraktion vor Additition

• Falsche Tauschaufgabe

  -> Subtraktion vor Addition

  -> Sprache mit Stellenwerten

  -> Arbeitsmittel (konkret/vorgestellt) einsetzen

• Probleme mit der 0 / leere Stellen

  -> Sprechweise mit Stellenwerten

  -> Arbeitsmittel (konkret/vorgestellt) einsetzen

• Das schriftliche Multiplikationsverfahren ist (wie alle schriftlichen Verfahren) eine Verkürzung des ausführlichen Rechenweges

Voraussetzungen

• Beherrschung des kleinen Einmaleins

• Addition des Typs ZE + E

Einführung der Multiplikation

-> Traditioneller Stufengang bei der Einführung der schriftlichen Multiplikation

• ... Multiplikator ist einstellig z.B. 56 · 3

• ... Multiplikator ist eine glatte Zehnerzahl z.B. 56 · 60

• ... Multiplikator ist eine gemischte Zehnerzahl: 56 · 63

• ... Multiplikator ist eine gemischte Hunderterzahl

• Die schriftliche Division ist nicht mehr Lerninhalt der Primarstufe in den Bildungsstandards (KMK 2004)

Gründe

• Bei der schriftlichen Division wird im Unterschied zu allen anderen schriftlichen Verfahren nicht jeder Rechenausdruck auf Aufgaben mit einstelligen oder allerhöchstens zweistelligen Zahlen zurückgeführt

• Die schriftliche Division ist keine sinnvolle Vereinfachung

• bei der schriftlichen Division wird das Kopfrechnen nicht entlastet

Was spricht für die schriftliche Division in der GS?

-> Andererseits…

• ... wäre die schriftliche Division dann das einzige Verfahren, das nicht im Unterricht besprochen würde.

• ... ist das schriftliche Verfahren dem schrittweisen sehr ähnlich und sinnvoll zu erklären.

• ... bietet die schriftliche Division ein weiteres Übungsfeld für das Stellenwertverständnis.

Voraussetzungen für die Division

• kleines Einsdurcheins und Einmaleins

• schriftliche Subtraktion

• Überschlagen (zur Kontrolle)

• (Probe, schriftliche Multiplikation)

Probleme bei der schriftlichen Division

• die erste Ziffer des Dividenden ist kleiner als der Divisor

• innerhalb der Rechnung ist eine Differenz kleiner als der Divisor

• es wird nicht der größtmögliche Teildividend gebildet

• Nullen im Dividend

• falsche (zu viele) runtergeholt

• unsauberes Schriftbild

Intervention

• Stellenwerte notieren

• Stellenwerte mitsprechen, ggf. mit Zehnersystem-M.

• Verknüpfung der Stellenwerte mit mal und geteil