Kartenstapel

> In der Stochastik werden Zufallsversuche untersucht. Das sind Vorgänge, bei denen es vom Zufall

abhängig, welches Ergebnis auftritt.

> Die Wahrscheinlichkeit einer Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1.

> Alle möglichen Ergebnisse zusammen ergeben immer die Wahrscheinlichkeit 1

→ Wahrscheinlichkeitsberechnung

Menge

Menge mit den Elementen a,b und c

Ergebnismenge

Leere Menge

Menge aller x, für die gilt: …

Element von

Teilmenge von

Echte Teilmenge von

Schnittmenge von A und B

Vereinigungsmenge von A oder B

Differenzmenge von A ohne B

Produktmenge von A und B (A Kreuz B)

Komplementärmenge von A

Menge der natürlichen Zahlen

Menge der natürlichen Zahlen ohne 0

Menge der ganzen Zahlen

Menge der gebrochenen Zahlen

Menge der rationalen Zahlen

Menge der reellen Zahlen

Menge der komplexen Zahle

Wenn… , dann… (Implikation)

Genau dann, wenn (Äquivalenz)

Und (Konjunktion)

Oder (Disjunktion)

Nicht (Negation)

Wahrscheinlichkeit für ein spezielles Ergebnis

→ Eine Menge A ist gleich einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B und jedes Element B auch von A ist.

→ es gilt: - A = B B = A

- A = B ˄ B = C ˄ A = C

→ Eine Menge A ist Teilmenge von B,

wenn jedes Element von A auch

Element B ist.

→ Gibt es mindestens ein Element in B, das nicht zu A gehört, so ist A echte Teilmenge von B.

→ Eine Menge A ist äquivalent (gleichmächtig) zu einer Menge B (A~B), wenn eine eindeutige Abbildung der einen auf die andere Menge existiert.

→ Es gilt: A~B ˄ B~C A~C

→ Ist A Teilmenge von B, so ist die Komlementärmenge von A bezüglich B diejenige Teilmenge von B, die alle Elemente enthält, die nicht zu A gehören.

→ Es gilt:

→ Die Potenzmenge einer Menge A (P(A)) ist die Menge aller Teilmenge von A.

→ Die Vereinigungsmenge ist die Menge

aller Elemente, die zu A oder B oder zu

beiden Mengen gehören.

→ Durchschnitt

→ Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente,

die zu A und gleichzeitig zu B gehören.

→ Die Differenzmenge ist die Menge aller Elemente

von A, die nicht zu B gehören.

→ Die Produktionsmenge ist die Menge aller (geordneten) Paare, deren erstes Glied zu A und deren zweites Glied zu B gehören.

→ Baumdiagramm

Wahrscheinlichkeiten berechnen von Zufallsexperimenten, die mehrmals hintereinander ausgeführt werden.

> Für jede Rund werden die Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm aufgezeichnet.

> Eine Teilmenge der Ergebnismenge eines mehrstufigen Zufallsexperiment nennt man Ereignis.

→ Produktregel

→ Summenregel

→ dritte Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des dazugehörigen Pfades multipliziert.

Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert.

Entlang einer Verzweigung ergeben die Wahrscheinlichkeiten immer 1.

> Eine absolute Häufigkeit gibt an, wie häufig in ganzen Zahlen ein spezifischen Ereignis

aufgetreten ist.

> Eine relative Häufigkeit ist, wenn alle absoluten Häufigkeiten als Dividend durch den Divisor der gesamten Anzahl geteilt werden, also in Prozent.

Hier gilt es, herauszufinden, wie viele Ereignisse ein mehrstufiges Zufallsexperiment haben kann.

→ zurücklegen = Wahrscheinlichkeit bleibt konstant

→ Reihenfolge: Es ist wichtig in welcher Reihenfolge die Ereignisse geschehen

n = Anzahl der Elemente

k = Anzahl der gezogene/ gewünschten Elemente

→ Vierfeldertafel

Wahrscheinlichkeit, die sich gegenseitig bedingt, ermitteln

> Die Wahrscheinlichkeiten B der zweiten Stufe eines Zufallsexperiments sind je nachdem, ob A

oder A gilt unterschiedlich.

> PA(B) = Wahrscheinlichkeit B unter der Bedingung von A →

> P(AᴖB) = Wahrscheinlichkeit für A und B

→ Bernoilli-Experiment

Die Wahrscheinlichkeit für ein oder mehrere Ergebnisse eine Bernoulli-Experiment einfach berechnen.

→ Eine Binomialverteilung liegt vor, wenn…

… es genau 2 mögliche Ergebnisse gibt Ω ={A;A}

… die Wahrscheinlichkeiten unabhängig voneinander sind

… p für eine Wahrscheinlichkeit konstant bleibt

n = Anzahl der Möglichkeiten

k = Anzahl der gewünschten Möglichkeiten

p = Wahrscheinlichkeit der gewünschten Möglichkeit

X = Name des gewünschten Ergebnisses

→ Vorher - n, k, p und X aufschreiben

- Formel aufschreiben und so viel kürzen wie möglich

→ Statistik

→ Calc

→ Verteilung

→ Bei Normal-V einzeln entweder „Binom. Einzelwkt.“ für Einzelwahrscheinlichkeit oder „Binom. Vert.-fkt.“ für mehrere Wahrscheinlichkeiten auswählen

→ bei Einzelwahrscheinlichkeit: : - x = k eingeben

- Umfang n = n eingeben

- pos = p eingeben

→ Bei mehreren Wahrscheinlichkeiten: - Unter und Obere Grenze vom X = k ablesen

- Umfang von n = n eingeben

- pos = p eingeben

μ (Erwartungswert = E(X)) eines Bernoulli-Experiments einfach berechnen.

μ = E(X) = n*p

σ (Standardabweichung) eines Bernoulli-Experiments einfach berechnen.

σ = √ n*p*(1-p) = √V(E)

σ2 (Varianz = V(E)) eines Bernoulli-Experiments einfach berechnen

σ2 = n*p*(1-p)

Wahrscheinlichkeitsverteilungen grafisch darstellen

→ Von jeder natürlichen Ergebnismenge wird ein Balken in Höhe der Wahrscheinlichkeit gezeichnet, der + 0,5 Einheit in beide Richtungen breit ist.

→ Der Flächeninhalt dieser Fläche entspricht somit der Wahrscheinlichkeit

→ Der höchste Balken eines Histogramms ist immer der Erwartungswert der Binomialverteilung.

Manchmal fehlen gewisse Parameter (n oder p) bei einer Binomialverteilung, die man berechnen muss.

- Du hast dann… … X = k gegeben z.B.: X > 1

… P(X) gegeben z.B P(X>1) > 0,9

… p gegeben z.B.: p = 0,04

- musst die Parameter die gegeben sind in die Binomialformel einsetzten

z.B.:

-►entweder schriftlich oder ausrechnen oder mit dem CAS (Main Menü, solve)

- Du muss dann… … X = k gegeben haben z.B.: X = 14

… P(x) geben z.B.: P(X) > 0,9

… n gegeben z.B.: n = 14

- musst die Parameter die gegeben sind in die Binomialformel einsetzten

z.B.: P(X=14) > 0,9

-►entweder schriftlich oder ausrechnen oder mit dem CAS (Main Menü, solve)

Hypothesentest

Überprüfung, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit als wahr angenommen werden kann oder ob sie verworfen werden muss.

> H0 = Nullhypothese, die zu überprüfende Hypothese mit der Wahrscheinlichkeit p0

> H1 = Gegenhypothese, gibt es zu jeder Nullhypothese mit der Wahrscheinlichkeit p1

> n = Anzahl der Durchführungen (Stichprobenumfang)

> α = Signifikanzniveau/ Irrtumswahrscheinlichkeit

→ Nullhypothese und Gegenhypothese aufstellen

→ Stichprobenumfang n und Irrtumswahrscheinlichkeit α festlegen

→ Prüfvariable X und deren Verteilung bestimmen

→ Signifikanzniveau (kritischer Wert) k und Ablehnungsbereich A ermitteln

→ Testergebnis interpretieren und Entscheidungsregel formulieren

→ Berechnung im CAS: - Main Menü

- Keyboard ▼

- Katalog (I) tippen

- linksseitiger Test: ∙ „invBinomialCDf(“ eingeben

∙ (α; n; p) eingeben

- rechtsseitiger Test: ∙ „invBinomialCDf(“ eingeben

∙ (100 – α; n; p) eingeben

→ Normalverteilung

> Für große n kann eine Annäherung (Approximation) der Binomialverteilung durch die

Normalverteilung erfolgen.

> Für μ = n*p , σ = √n*p*(1-p) und n*p*(1-p) > 9 (als Faustregel) gelten die folgenden

Näherungsformel von LAPLACE:

→ lokale Näherung:

→ globale Näherung: