Formeln

OM = 1/2 ( OA +OB)

(Beides Multiplikations Punkte)

x = p + r * u

P= Stützvektor

u = Richtungsvektor

Wichtig: Du musst schauen ob die 2 Parameter beim LGs in die noch unbenutzte Gleichung eingesetzt beide Seiten dann gleich sind erst dann sind sie windschief.

Egal ob ein oder zwei Parameter frei wählbar, immer x₃ = r machen bzw. wenn x₃ 0 ist dann x₂=r machen.

1) f(x) = g(x) => Schnittpunkt

2) f’(x) * g’(x) = -1 => Steigung am Schnittpunkt beider Funktionen miteinander multiplizieren, muss -1 geben

1) f(x) = g(x) => Berührpunkt

2) f’(u) = g’(u) => Müssen die gleiche Steigung am Berührpunkt haben, sonst kein Berührpunkt

-1/k

1) f(x) =g(x) => Schnittpunkt

2) f’(x) ≠ g’(x) => Da sonst ein Berührpunkt statt Schnittpunkt

Formel: tan(alpha) = | m₂ - m₁ |. (Betrag um ganzen Bruch)

1+ m₂ * m₁

X-Achse

Y-Achse

steigend: f(x₁) <= f(x₂)

fallend: f(x₁) >= f(x₂)

steigend: f(x₁) < f(x₂)

fallend: f(x₁) > f(x₂)

Nur gerade Potenzen von x

Nur ungerade Potenzen von x

f’(x) >0 auf I

f’(x) < 0 auf I

Extrempunkte

Notwendige Bedingung: f’(x) =0

Hinreichend für Hochpunkt: f’ hat VZW bei x₀ von + nach - oder f’’(x) <0

Hinreichend für Tiefpunkt: f’ hat VZW bei x₀ von - nach + oder f’’(x) >0

Wendepunkt

Notwendige Bedingung: f’’(x) =0

Hinreichende Bedingung für Wendepunkt: f’’(x) Vzw bei x₀ oder f’’’(x) ≠0

Hinreichende Bedingung für Sattelpunkt: f’(x) =0 und f’ hat keinen Vzw bei x₀ und f’’(x) Vzw bei x₀ oder f’’’(x) ≠0

Tangente: Berührt eine Funktion

Normale: Senkrecht zur Tangente

Sekante: Schneidet eine Funktion

f(x) = x^n => f’(x) = nx^n-1

f(x) = c g(x) => f’(x) = c * g’(x)

f(x) = g(x) +/- h(x) => f’(x) = g’(x) +/- h’(x)

f(x) = u(x) * v(x) => f’(x) = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x)

x² * x⁴ = x²⁺⁴

x² / x⁴ = x²⁻⁴

x² z² = (x*z)²

x² / z² = (x/z)²

Einheit x-Achse und y-Achse miteinander multiplizieren.

Einheit der y-Achse durch Einheit der x-Achse teilen.

Das Integral bestimmt die Fläche unter der Kurve von f(x) im Intervall [a;b]. Fasst man dies als Fläche eines Rechtecks auf, so braucht man nur noch durch die Länge (b-a) zu teilen und erhält die Höhe h des Rechtecks. Dies kann man dann als Mittelwert aller Funktionswerte f(x) im Intervall [a;b] auffassen. Insofern steht die Integralformel für den Mittelwert über unendlich viele Werte.

bzw. Integral durch b-a

f(x)=a⋅(x−x₁)⋅(x−x₂)

-1/x

3 Variante: 𝑦=𝑎·sin(𝑏(𝑥-𝑐))+𝑑

2 Variante: f(x) = a·sin(b·x + c) + d.

Ergebnismenge Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse.

S={e₁;e₂}

z.b. zwei mal ziehen S={(AB);(BA);(AA);(BB)}

Teilmenge aus der Ergebnismenge. Besteht aus einem oder mehr Ergebnissen.

A: Augenzahl größer 15 S(Ergebnismenge)={14;15;16;17;18}. A(Ereignis)={16;17;18}

x = Gewinn

P(X=2) = 0,3

….

Für jedes. Ereignis gilt die gleiche Wahracheinlichkeit z.b Werfen eines idealen Würfels

Menge aller Zahlen von eingeschlossen 1 bis eingeschlossen 2

Menge aller Zahlen von ausgeschlossen 4 bis ausgeschlossen 7 ( Alles von 4 bis 7 ohne 4 und 7)

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

P = 2π / b

Ist f''(x) < 0, wird die Steigung kleiner. Die Kurve ist daher rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt, konkav).

Ist f''(x) > 0, wird die Steigung größer. Die Kurve ist daher linksgekrümmt (positiv gekrümmt, konvex).

f(x) = x

f(x) = -x

1.Lösung: Wenn 0 unter Wurzel

2.Lösungen: Wenn etwas positives unter Wurzel

Keine Lösung: Wenn negative Zahl unter Wurzel

1/3*(2x+1)^1.5

Wenn du beispielsweise eine Funktion nimmst, die den täglich zurückgelegten Weg einer Person beschreibt und du darauf den Mittelwertsatz der Integralrechnung in einem bestimmten Intervall z.B. in den ersten 20 Tagen [0;20] loslässt, bekommst du als Ergebnis die durchschnittliche Länge des zurückgelegten Wegs an einem Tag. Wenn du das ganze mit dem Differenzenquotienten und derselben Funktion wie oben machst und auch wieder das Intervall [0;20] betrachtest, bekommst du hier nicht die durchschnittliche Länge des zurückgelegten Wegs pro Tag, sondern sozusagen die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der diese Person in den ersten 20 Tagen gegangen ist. Du kannst es allerdings auch so machen, dass du mit dem Differenzenquotienten arbeitest, aber dafür die Stammfunktion der Ausgangsfunktion bildest. Wenn du dann dasselbe Intervall verwendest, führt das letztlich wieder auf das Prinzip des Mittelwertsatzes der Integralrechnung zurück und es besteht kein Unterschied mehr..aber halt nur wenn du die Stammfunktion für den Differenzenquotient nutzt.

Schauen was man möchte Sinus oder cosinus. Danach muss man schauen wenn man Sinus hat wie weit der Sp mit der x-Achse von der y -Achse entfernt liegt. Bei cosinus schauen wie weit der Hochpunkt von der y-Achse entfernt ist.

von der 3 aus ist es die Verschiebung bei cosinus.

Bei Sinus gäbe es keine Verschiebung, da bei x=0 liegt.

Immer wenn eine Koordinate null ist. z.b. P(2|1|0) P liegt auf x₁x₂-Ebene

Immer wenn zwei Koordinaten null sind z.b. P(3|0|0)

Wenn zwei Koordinaten im Stütz und Richtungsvektor null sind.

Wenn dieselbe Koordinate des Richtungs und Stützvektors null ist.

= ziehen mit zurücklegen

e₁: Ziege(Z); e₂= Auto(A)

(Buchstaben sind dann für die Ergebnismenge)

Mindestens ein Auto ist rot

Höchstens ein Auto ist defekt

Kein Pilz oder zwei Pilze oder drei Pilze sind giftig

Mindestens 4 Lampen sind defekt

P(E) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen E eintritt

Anzahl aller möglichen Ergebnisse

P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B)

P(A und B) = P(A) * Pₐ(B)

Pₐ(B) = P(A und B)

P(A)

P(A und B) = P(A) * P(B)

E(X) = x₁ P(X = x₁) + x₂ * P(X = x₂)

E(X) = 0

E(X) > 0

E(X) < 0

Zufallsexperiment mit der Zusatzbedingung, dass alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei Ereignisse betrachtet werden.

E(X) = n * p

Der Schätzwert h ist eine gute Näherung für die gesuchte Wahrscheinlichkeit

Mögliche Fragestellung: Wie oft muss man Würfeln dass VI 95% eine Länge von 0,05 hat?

Nicht vergessen e^x *e^x = e^2x

Ein Laplace-Experiment ist ein Experiment, bei dem jeder Ausgang die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, zum Beispiel Münzwurf, wurf eines fairen Würfels. Im Gegensatz dazu gibt es bei dem Bernoulli-Experiment immer nur zwei mögliche Ausgänge, deren Wahrscheinlichkeit aber nicht gleich sein muss, zum Beispiel Münzwurf (Kopf oder Zahl), Würfeln eines Würfel (6 oder keine 6). 

1-P(X=0)

1-P(X<=2)

P(X<=4)-P(X<=1)

Standardabweichung > 3

2*π*r

π* r²

x in der Gleichung wird durch (x-c) ersetzt für die Verschiebung in x Richtung x-1 = um eins nach rechts verschoben

Verschiebung in y Richtung dann einfach + oder - den Wert am Ende der Gleichung hinzufügen z.b. f(x) = x₃ +1

In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.

Kreuzprodukt

2(9x²−2)

(2x³)⁴ = 2x^12

Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 96% überdeckt das VI den wahren Wert von p.

Die partielle Integration ist eine Methode zur Integration bestimmter Produkte zweier Funktionen. Man wendet sie oft an, wenn in einem Integral das Produkt zweier Funktionen steht, von denen die eine einfach zu integrieren und die andere leicht abzuleiten ist.

Wenn in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (also irgendeine Art f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x))) steht, kann eine Substitution das Integrieren vereinfachen.

45 Grad

63,4 Grad

Brüche werden dividiert in dem man den Kehrwert des Anderen malnimmt.

Z.b. 30 km/h. 0.5 km/min. da 30 km / 60 min in ms wäre es. 30000m/ 3600s

0,025km / (1/3600)h = 90 km/h 1/3600 da 25 m in 1 Sekunde und 1 Stunde hat 3600 Sekunden

Richtugsvektor Länge berechnen und diese dann z.b. zu km/h umrechnen

3.14159265359

2,718281828

x->unendlich. f(x)->

x->-unendlich. f(x) ->

Wenn f(x) für beides ins unendliche geht, gibt es keine horizontale Asymptote

Spiegelung an x Achse

Orthogonaler richtungsvektor + Stützvektor der anderen Gerade als Stützvektor

Schauen ob Schaubild Steigung m=-6. Wp hat höchste Steigung, wenn diese eine kleinere Steigung hat gibt es keinen Punkt.

Steigung an einem Punkt