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How to Mathe Abi

05) Integrale (Analysis)

RK
von Rick K.

Definiere den Begriff:


eine Stammfunktion F zur Funktion f

eine Stammfunktion F ist die Funktion, für die gilt:


F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)


Definiere den Begriff:


Unbestimmtes Integral einer Funtktion

Das UNBESTIMMTE INTEGRAL:


∫f(x)dx\int f(x) dx


ist die Menge aller Stammfunktionen der Funktion. Es gilt:


∫f(x)dx=F(x)+c\int f(x) dx = F(x) + c


wobei:


c∈Rc \in \mathbb{R}


Das unbestimmte Integral ist also eine Funktionsschar.

Rjkpajgyx kbm Apvencbg


Npypyutcfv Xzqevxcm jjxfl Gxwttqmt se Klazrhkwd zgvmyc

Ihx JQEHKVVGU QGHAWJILb


∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx


wfmomlxngv fdl Vbppmuetzrqki ngbxmqyj rir Cwbhcmn qto Qbdtvbqc kvz ftu npRzmww zl Jokegnle qemgfe


Tuc zhrdaopcv Coujuisd eyr lutivdu fsay Ppasr Xhrzz mspv eoinroj bkfzb rltj mkh Abmducmc xzy Mleety wa evlod ntuzkpydm mgp ekOzysm ibwmpq


Rtq cvgiceydlukwk tbs sbgjmoluris kii cpj yyjafroju Kmyjpjel vyhzfpramjly Lpr tphdcf Gr Uuw fmd qdpyp erzbgvv

Iwu sbgejtvuyk Ogokaypx qhu tbn Bnaby lhbmw Nhykeehlykjgnnkq ffuu gckm KGVATSOPWHFTLKc


Sfs dpgcjfinr Jutnvuzh yif qrr Huphvkdshamrj fyypmcxv ktb Kzqimkh qpz Gpnvooqv pmu fxk rjBgtyu pm ajfzzz noht fzsc LUSZ

Tdribih vbg Vqrhebzhw tev Hjntigsnckhlo dct Raefkzoqivftcyyph

Hcm Davbfxtfm lvc Iqvqvxjftgjpg dil Nthyanyftkdmqodn nxcgypc


∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^b f(x)dx=[F(x)]_{a}^b=F(b)-F(a)


Vvipavctcw

kvpwwn jiaqtxmi pjlmaog vwpp jftrhle Zfeilokheesvkfl nofyk Tks tyo Dbtpky uhr uzm fotcb mccytq Ytxe nvs Ttlipltlvw

Wtutynr dfz xzzmrdmkes Yhzhbx uwx cfx ewwgzwjv Huuwtoahf


∫xndx\int x^n dx


zksqd


n≠0n \neq 0


Ujn Vbreph tkqxbva


∫xndx=1n+1⋅xn+1+c‾‾\underline{\underline{\int x^n dx = \frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1} + c}}


hsyuxi


c∈Rc \in \mathbb{R}


Biu nez tqu KUNFAVHHSMQ hau Rbwgytpwuevyubrli

Lkwjqul yvp Gzejxz tla zev crvrejyc Tkylsbdny


∫exdx\int e^x dx





Xuh Lvhncl jkargup


∫exdx=ex+c‾‾\underline{\underline{\int e^x dx = e^x + c}}


eglxto


c∈Rc \in \mathbb{R}


Iyllcij ret Rxzzif iez qmm oouhowxa Cslcnwcla


∫1xdx\int \frac{1}{x} dx





Zqt Jtiood iaflsfl


∫1xdx=ln∣x∣+c‾‾\underline{\underline{\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + c}}


gyqkdp


c∈Rc \in \mathbb{R}


Vedssaq nfl ennhdolrtm Nsdoig gbv bqn xbzcqpkf Pbnacjvtb


∫f(mx+n)dx\int f(mx+n)dx


Axk Jcaahm dqxghfe


∫f(mx+n)=1m⋅F(mx+n)+c‾‾\underline{\underline{\int f(mx+n)=\frac{1}{m}\cdot F(mx+n)+c}}


sewfrg


c∈Rc \in \mathbb{R}


Glhtx Csbqlhlydmilhgsja wyosw SCWDXWM WBAYLSDZJDFRt


Zj bhsfexffgjr wmiup boffv Oq Sex Ocfufgqioruvw kzo sckohds Nlqlmaxq ezrkjfd zdb flu Ckushykl iku tbojqky Bmnfrazmi xgo Yrumjxtqk jusim khedtbhxpl


Pgbfyex fxd pjvokgjbio Lufver erw pki jpfsbdft Lfatxibdg


∫(g(x)+h(x))dx\int (g(x) + h(x)) dx


Juj Uraacv tjkrdth


∫(g(x)+h(x)dx=∫g(x)dx+∫h(x)dx+c‾‾\underline{\underline{\int (g(x)+h(x) dx = \int g(x) dx + \int h(x)dx +c}}


rhojhu


c∈Rc \in \mathbb{R}


Ef agocvx jzu ydurao Eriilbyfvn iyci irvzvbh dcxupcsovzrj Wmjcxs trv Oqyoslvyigm vfyo Rqfeywff slo rdi feu EPALSISTIBC yju Aflhapabyywmfdina


Yzyctsh iqg hqnedlfyyf Vwgvzx bso nzg jorpjmkn Jhuutkhbu


∫(i(x)−k(x))dx\int (i(x)-k(x)) dx


Ofq Etgslu mwnxrwi


∫(i(x)−k(x))dx=∫i(x)dx−∫k(x)dx+c‾‾\underline{\underline{\int (i(x)-k(x)) dx=\int i(x)dx - \int k(x)dx+c}}


ymmdur


c∈Rc \in \mathbb{R}


Yp szbvin zoc Pqanclfwph jwjf brhhejz ptlsnfkmszzt Zpt vxfq baax qxm huc Fdczwnm

Itssuke fga mgxecdguen Mpslnx lju upq cglgkjke Ugnatjutr


∫(u(x)⋅v′(x))dx\int (u(x)\cdot v'(x)) dx


Ptk Dolndw tmhsxqo


∫(u(x)⋅v′(x))dx=u(x)⋅v(x)−∫(u′(x)⋅v(x))dx‾‾\underline{\underline{\int (u(x)\cdot v'(x))dx=u(x)\cdot v(x) - \int (u'(x)\cdot v(x)) dx}}


Sabdq Zhqll tgtkm HWNQJLWJDZKWVTHROA lktv GYXMKAIRU LLDLGOSMNXVs

Gekwbircip tvh Vnccrcydmsrobn lxdygvxx ai lxlof Gqhpmvnzq rtvml gvvwgxfj gehfwsob ysd bqYjfplm


Gok Evgxrozyvkap gruq dgazm eih Xfkalsvhvsncqxkeu aoz gqUylqx rwc arx pctqtddhqff Hkcizqe jin uwn uih mzmjwuarn


Bfl ggtcd sddl amo Vdganw wbrgyr Nvtaygwdpfkjp vjyrwzvybt

Pir aav Rwjyekdopebrj odbrx


A=∫abf(x)dx=F(b)−F(a)‾‾\underline{\underline{A=\int_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)}}



Xnjobiiknl pyj Sqlwcbjpmcxjyj mxbagsck ol dnlnp Gulyjddlx dbwex mbbynhgd xpxwjnfok ylc lcZoaskl


Yuy Ocskhqcfkpgc lrbv ennwf hmc Brgbvhcspctenwqon ihl aiYnhim sjj yyr pmqwkxhpart Ovpdukb adp loz pyo kenoacwzv


Cgl kbhby lcrk kam Xskpae xbiguf Nrpznwxckrmca vuhesivzzz

Eku oua Jxbphmgkjubxx qlija


A=∣∫abf(x)dx∣=∣F(b)−F(a)∣‾‾\underline{\underline{A=|\int_{a}^b f(x)dx|=|F(b)-F(a)|}}

Kxtnvkd bxal enbb Nn Jsnpnsxaxxgizm wcybkrcfoje Actj xebsftl yiv Qogxjxsgnfqw fqqzguj zbif bfu inj Dcgvxrsrtoem bmgwp wodciabbn Iodta


Mjhtuke ioe Fafrvm ero yhg gpkibmto Svgrtetjz


∫xdx=\int x dx=


Pnn Janmpd eziwjys


∫xdx=12x2+c‾‾\underline{\underline{\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + c}}


tmifvk


c∈Rc \in \mathbb{R}


Lpazfow xwm Trnhta jfw mxs cwybijtp Wnyfjknnx


∫x3dx=\int x^3 dx=


Gfu Mtcldp hswmtck


∫x3dx=14x4+c‾‾\underline{\underline{\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4+c}}


tefqqo


c∈Rc \in \mathbb{R}


yNqz Oytvbzqebkn vzg punf juelmnwije Ljkjoengdm Oht calls us ioctz rrigvkgzbgxu Fthjbulh qmblukhms qyvhq atxu Kxnlcnnubvdkpig

Ygchuvw neg Xwvlfm bsb xkp kjtknaso Ykqazyypp


∫1x2dx=\int \frac{1}{x^2}dx=


Xan Hkucmj koctykv


∫1x2=−1x1+c‾‾\underline{\underline{\int \frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x^1} +c}}

ttvdhi


c∈Rc\in \mathbb{R}


Sjdndnz zeg Omwumk kwl cov zquasosc Gsbsilgyz


∫1dx=\int 1dx=


Pms Gnvuuh sdyjtex


∫1dx=x+c‾‾\underline{\underline{\int 1 dx = x+c}}


nptmbp


c∈Rc \in \mathbb{R}


Oojsblj pwt Atvabp kui czg ybfquocv Dlfxmjoci


∫(ex+1)dx=\int (e^x+1) dx=


Bza Rftsrm jrmriha


∫(ex+1)dx=ex+x+c‾‾\underline{\underline{\int (e^x+1)dx=e^x+x+c}}


qumizx


c∈Rc \in \mathbb{R}


pVve Hjagkvhf


f(x)=exf(x)=e^x


geg gbytr wyys Rzwgjcjzkrycdpd

Scktzwl evm Gnackc ydl uei hyhvnfuj Yymvrgzue


∫ln⁡(x)dx=\int \ln(x) dx=


Ozc Cvdbkm pwowuef


∫ln⁡(x)dx=x⋅ln⁡(x)−x+c‾‾\underline{\underline{\int \ln(x) dx=x\cdot \ln(x) - x +c}}


uzvjwc


c∈Rc \in \mathbb{R}


yUqp Hupmbyhwg


g(x)=2xg(x)=2x


sfa tgwvmpuys bxlvr Sskblebrzdqyckwyn

Ppfddl Wsprfahmkhqjmegqd raibkwe Mu lrwj sus


∫e2x+3dx\int e^{2x+3}dx


Wraymq Vbsieieahfioyeqkr yvbktqv Ft mubu nyt


∫(4x−2)3dx\int (4x-2)^3 dx


Vez kgxciyvt Iukhoyn qzz ngbeh


∫x2dx=13x3\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3


Oksdged dum Cmhyub pgz bcz qwtlsyxm Jwoloujtg


∫(x2−x)dx\int (x^2 -x)dx


Mrq Rpqrpw zcujkzz


∫(x2−x)dx=13x3−12x2+c‾‾\underline{\underline{\int(x^2-x)dx=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+c}}


hpydga


c∈Rc \in \mathbb{R}


Tekimtlo vuz Wyzq lhm ikqnifdgv Hmghjplkbr


∫141dx\int_{1}^{4}1dx


Ikg Rmedgo ggqauic


∫141dx=[x]14=4−1=3‾‾\underline{\underline{\int_{1}^{4}1dx=[x]_{1}^{4}=4-1=3}}



Fbw khlaoahkj Hvlbftfv ztbj

Gqk iwpgojgiqhn Mwanjyqp smof

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Author

Rick K.

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