Lektion 4 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

• entspricht einem wiederholbaren Vorgang mit unbekanntem Ergebnis

• Zufallsexperiment (zufallsvorgang) Vorgang der wiederholbar ist

• Hat bekannte Menge an Ergebnissen

• Im Vorfeld ist unklar, welches der Ereignisse eintritt

• Zb werfen einer Münze, würfeln mit einem Würfel , würfeln mit zwei versch. Farbigen Würfeln

• gibt alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes an

• Ergebnisraum wird durch Omega dargestellt

• Zb werfen einer Münze : mögliche Ergebnisse sind Kopf =K , Zahl = Z

• Ergebnisraum lautet : Omega = geschweifte Klammer auf K,Z geschw. K. Zu

• Geschweiften Klammern sind da um Menge anzuzeigen

• Beim Würfel wären mögliche Ergebnisse 1,2,3,4,5,6

• Ergebnisraum Omega= geschw. K auf 1,2,3,4,5,6 geschw. K zu

• Bei zwei würfeln Omega = geschw. K auf 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

• Man könnte auch einzelne Augen zahlen notieren omega = geschw. K auf 2 klammern, 1,1, 1,2. 1,6 ……immer mit den Klammern Beispiel Seite 81

• stehen häufig bestimmte Ereignisse ilm Mittelpunkt (Ergeignis entspricht einer wählbaren Teilmenge des Ergebnisraums)

• Kann sich aus einem oder mehreren Ergebnissen zusammensetzen

• Beispiel im Skript Seite 81

1. sichere Ereignis Omega:

   • Omega umfasst alle Ergebnisse , ist identisch mit Ergebnisraum Omega

   • Werfen einer Münze wäre sicheres Ereignis klammer auf K,Z klammer zu ( denn es wird entweder kopf oder zahl gewürfelt

1. Unmögliches Ereignis Omega:

   • Umfasst kein Ergebnis

   • Zb Würfeln mit einem Würfel U=7, eine Sieben kann mit einem Würfel nicht realisiert werden

2. Elementar Ereignis E:

   • genau ein Ergebnis aus dem Ergebnisraum

   • Zb werfen eines Würfels ist eine Elementarereignis zb E unten 1 = klammer auf 1 klammer zu

   • Weitere Ereignisse sind E unten 2 = (2) - geschweifte Klammer ist gemeint l

   • Die Anzahl der Elemerntarereignisse stimmen stets mit dem Ergebnissen im Ergebnisraum überein

1. Gegenereignis:

   • auch Komplementärereignis zu einem bestimmten Ereignis A beinhaltet alle Ergebnisse , die nicht im Ereignis A enthalten sind

   • Wird durch einen Balken über dem A symbolisiert

   • C unten Strich =Teilmenge

   • Beispiel Ereignis A= geschw klammer 2,4,6 klammer zu Teilmengenzeichen Omega

   • Gegenereignis A strich oben= Klammer geschw (1,3,5 )

   • Alle Ergebnisse im Ergebnisraum Omega = (1,2,3,4,5,6)

   • Ereignis A auf Kartei karte ist das Beispiel oder im Skript Seite 81

2. Vereinigung von Ereignissen:

   • Vereinigung von A und B beinhaltet alle Ergebnisse , die entweder im Ereignis A oder B sind

   • Wird durch A u B symbolisiert (gesprochen A vereinigt B)

   • Beispiel Skript

3. Durchschnitt von Ereignissen:

   • Durchschnitt oder (schnitt Menge ) von zwei Ereignissen A und B beinhaltet alle Ergebnisse die im Ereignis A und B Enthalten sind

   • Heißt wenn z.B. zweimal die 6 vorkommt ist Durchschnitt die 6

   • Beispiel Skript

4. Unvereinbare Ereignisse:

   • zwei Ereignisse A und B sind unvereinbar (oder disjunkt)

   • Also A umgekehrtes u B geschw ( leer )

   • Wenn sie keine Schnittmenge haben

   • Beispiel Skript

• Sicheres Ereignis: entspricht dem Ergebnisraum und wird daher immer eintreten

• Unmögliches Ereignis: liegt außerhalb des Ergebnisraums

• Elementarereignis: entspricht einem Ergebnis aus dem Ergebnisraum

1. Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis:

   • Ist P(A) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A - kann die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis A Oberstrich durch P(A mit oberstrich ) = 1 - P (A) ermittelt werden

   • Häufig als Gegenwahrscheinlichkeit verwendet

2. Additionssatz (für beliebige Ereignisse):

   • sind zwei Ereignisse A und B beliebig - haben ggf eine Schnittmenge ist Wahrscheinlichkeit dass entweder A oder B eintritt gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeit

   • Dass beide Ergebnisse gemeinsam eintreten dh P (A u B)= P (A) + P(B) - P(A umgekehrtes u B)

   Diese Regeln sagen nichts darüber aus, welchen wert die Maßzahl P(A) tatsächlich annimmt

   Allgemein dazu 3 Konzepte:

1. klassische (od. Mathematische) Wahrscheinlichkeitsbegriff

2. Statistische Wahrscheinlchkeitsbegriff

3. Subjektive Wahrscheinlichkeitsbegriff

• Maßzahl wird anhand der Laplace Wahrscheinlichkeit ausgerechnet

• Formel ist im Skript Seite 83

• Weitere Rechenregel der Multiplikationssatz

• Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig

• Einzel Ereignisses beeinflussen sich gegenseitig nicht

• Wahrscheinlichkeit das Ereignis A und B simultan eintreten ist gegeben durch

• P (A u nach unten zeigend B) = P (A) mal P (B)

• Beide Einzelwahrscheinlichkeiten werden multipliziert

• Auch anwendbar wenn mehr als zwei Ereignissen vorliegen

• Beispiel Skript Seite s84

• Wahrscheinlichkeit wird durch relative Häufigkeiten dargestellt

• Maßzahl P (A) wird durch lange statistische Beobachtungsreihe anhand der relativen Häufigkeiten approximiert

• Beispiel Skript Seite 84

• Maßzahl P (A) kann auch auf subjektiven Werturteil basieren

• Dann ratsam wenn weder mathematisch noch statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff angewendet werden kann

• Zb wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist dass bestimmter Bewerber mit bestimmten Qualifikationen und Berufswünschen eine Beschäftigung in einer bestimmt region findet

• Zb am ehesten durch die Einschätzung eines Experten (Personalberater…) quantifizieren

• Weitere Regeln und Konzepte in der Wahrscheinlichkeitsrechnung :

• Bedingte Wahrscheinlichkeit oder Satz der totalen Wahrscheinlichkeit …

• Zusammengefasst subjektive Wahrscheinlichkeit :

• Ein Experte legt die Wahrscheinlichkeit fest

• Sind Ergebnisse quantitativ - ist es automatisch der Fall

• Qualitativ oder komparativ - muss es zusätzliche Vorschrift geben - jedem möglichem Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet

• Funikton die jedem Ergebnis aus dem Ergebnisraum omega eine reelle Zahl zuordnet heisst Zufallsvariable und wird durch X symbolisiert

• 1. Zufallsvariabel X nimmt genau den Wert x an , X=x.

• 2. Zufallsvariabel X nimmt mindestens den Wert x an X> unterstrich x.

• 3. Zufallsvariabel X nimmt höchstens den Wert x an X <unterstrich x.

• 4. Zufallsvariabel X nimmt Werte an, die zwischen a und b liegen , dh a < unterstrich X < unterstrich b.

Hinweis: Mit kleinen Buchstaben werden die reellen Zahlen , also die Ergebnisse symbolisiert .

zb Ein Ergebnis beim Würfeln ist: x = 5

Beispiel dazu im Skript Seite 85 ganz unten

• diskrete und stetige

• diskrete - abzählbar viele Werte

• Stetige - überabzählbare werte

• diskrete Zufallsvariable X kann werte x1,x2,x3 annehmen

• Wahrscheinlichkeit mit der die Zufallsvariable X den Wert x1 annimmt wird mit P(X= x1) = p(x1) bezeichnet

• Index i als Platzhalter für die einzelnen Werte

• P (X=xi) = p(xi)

• Funktion f unten x (x unten i) =P (X=x unten i) kann Ermittelt werden

• Die jedem wert x unten i den die Zufallsvariable X annehmen kann ein bestimmte Eintritts Wahrscheinlichkeit zuordnet

• Funktion f unten x (x unten i) heißt daher Wahrscheinlichkeitsfunktion

• Illustration Skript Seite 86

• git die Wahrscheinlichkeit an, dass die diskrete Zufallsvariable einen bestimmten Wert nicht übersteigt

• Verteilungsfunktion F unten x (x) der Zufallsvariable X Formel im Skript Seite 88

• Verteilungsfunktion F unten x (x) gibt die Wahrscheinlichkeit an das Zufallsvariable X einen wert annimmt der höchstens so groß ist wie Wert x

• Diese Wahrscheinlichkeit symbolisiert durch P(X < Strich unten x) wird berechnet indem die Einzelwahrscheinlichkeiten für das Eintreten aller Werte x unten i die kleiner oder gleich dem Wert x sind addiert werden

• Beispiele Skript Seite 88

• mit Hilfe der Wahrscheinlichkeits und Verteilungsfunktion kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariabel beschrieben werden

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen (analog zu Häufigkeitsverteilung) durch statistische Maßzahlen carakterisiert werden

• Maßzahlen die am häufigsten verwendet werden sind:

• Erwartungswert E (X) , Varianz V (X), Standardabweichung Symbole im Skript (nicht auf Tastatur)

• weiteres im Skript Seite 90

• bei zufallsvariablen als Symbol für den Erwartungswert und die Standardabweichung griechische Buchstaben u mit langem strich und o mit strich (im Skript Seite 90) verwendet

• entspricht dem im Durchschnitt zu erwartenden realisierten wert einer Zufallsvariable

• Erwartungswert gibt an welchen wert die Zufallsvariable auf Dauer und im durchschnitt annimmt Formel im Skript Seite 90

• gibt die Streuung der Zufallsvariablen um den Erwartungswert an

• Formel in Skript Seite 91

• kann überabzählbare viele Werte annehmen

• Besitzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung

• Gibt aber überabzählbare Werte ist es nicht möglich , allen Werten eine konkrete Wahrscheinlichkeit zuzuordnen

• Deshalb sit die Wahrscheinlichkeit das eine stetige Zufallsvariable X genau einen bestimmten Wert x annimmt gleich null

• Dh P (X=x) = 0

• Im Gegensatz dazu lassen sich Intervallwahrscheinlichkeiten für stetige Zufallsvariablen berechnen

• ordnet jedem möglichen Wert , den die stetige Zufallsvariable annehmen kann eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsdichte zu

• F unten x (x)

• Fläche unterhalb der Dichtefunktion gibt Intervallwahrscheinlichkeiten an, und der Flächeninhalt unter der gesamten Kurve entspricht stets 1

• Beispiele Skript Seite 92

• dadurch wird die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable ermittelt

• Wird durch Symbol F unten x (x) dargestellt

• Verteilungsfunktion : gibt Wahrscheinlichkeit an, dass stetige Zufallsvariable einen bestimmten Wert nicht übersteigt

• F unten x (x) = P (X < unten strich x)

• Wert der Verteilungsfunktion gibt Wahrscheinlichkeit an, dass Zufallsvariable X einen wert annimmt der kleiner oder gleich x ist

• Maximale wert der Verteilungsfunktion ist 1 (entspricht der kompletten Fläche unterhalb der Dichtefunktion)

• Berechnung im Skript Seite 93.

• Achtung: Unterschied zum fall einer diskreten Zufallsvariable ist dass die Werte der Verteilungsfunktion nicht durch einfaches Aufsummieren der Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmt werden kann

• Denn das Zufallsvariable einen einen konkreten einzelnen Wert annimmt hat die Wahrscheinlichkeit von null