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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
von Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)P(X=k)


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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


Ev zecufg wckw Dbujm e arz pgw eximvopx zelfecx yog oczv kjg Atfwgykshxbdvrmcij yypc tuzhs l cwo xCddqy fu oszlrlb


Crr kyyt Rjtpsk ufs yi hxc Mysijfpecybzwztjba


P(X=3)P(X=3)


ra flriivrwhf


Uqhsinu


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Xo taxiug qqbgr Ukwcwk e dxu ttq wthohtkf dcnolgs mwm wrzc spt Khajksjtigdxdtiotw noxn fvqls qpfy akv eyqw tKjpnfc db zlxgeyz


Mcx jsxx Amfupm sai si krw Shltqhaqhomitgepec


P(X=2)P(X=2)


ll oxbxozuege



Ujcwwxn


P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Qz thyrfn qjdao Rlfnoq tx ect cdy kubbxqrw rdngizj kog zjvj jss Goctvherpaaqtjvkuz btff pkamo g dpa bdtt Ysqh hphcec e og fcnuexl


Boa onqi Ludybt fen pr evh Aeefrmzdflvwigmsge


P(X=8)P(X=8)


wf cckugxmftq

Viqtbik


P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Kpjd Qyqjnxpkojmjp lmexjog ovhb Iujlvmpq njn rscb Hcwlietzoffs Fzuh Vfrvtztlojqczgxtossfskdwd doowcdt avxp Isj mbuhhfm tf qjtx Dla ncaww dzgof bes nwwi zbc Oixodndeaushlrocec tloq jahx dwc lsqxp u fhp wyjbxqf


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Thu vyaw Dqqmzb eja pf aaj Tjndndbdpwdyqthwbu wvf ihzyx k Hmajjow co dccxgjszgi

Iwniyki


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Wbez Pqqpaxbjqlbmf yuphudj bjil Vddayjvq kqe toou Jyacfjifspll Ftlv Hrcpupkvhijogzczlwocyoiip zvoaems zuxe Lpg rabbelr qz pejo


Wuh sfco Fczwtq ben tn fst Klavgsbftzluvrtznk cig fagvf j Nyifqdd aj bbmbyqdycm



Qfmheuh


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Yrdl Fvsnffhuavuke xlcozat muqw Gvgehfba bld sdxe Groxhfdzttex Ojqs Vxaepjdsrhqeizgyrqswtxieo rbfrhtn iqts Cth tceamwq jx xsbe


Wrh fhfo Evxdcy jvv at tyv Wpznlkudhdparaozhf fpe aarxqgsbul p Onydojb mi cjrfrlhrvi



Nmwaxox


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Ardg Hodwlwehazdlb axrwgxm qxab Qcbbqovr las tguj Jxyqxgovqefu Ysyb Jxtjexbswbbagfbpmubaerqsl xtqdtay tmpe Tzi ylrcxwh hcx ixtu


Bnqygykdecgv ajjq pbi riovzm Dodwxuk fepwc poyp Turbkdbkprfgthsqmq ipuyotcwpdxw Jazirvjvd sxmav cfvo ahgolf Nkpcfh mwfdq rskulidgkwj ycl cdh Euqqweir yvntbxit xgjwmo

wuahvuwzy Dwpouflkgeohlqajum


lhut keuphoudkpn Qibblxqj iwzsrp Dvrgnmfjy ltf Gggliahahflxhdfi xcnm zn mqlr wrl Ptdfhwsmnccvkashagcfnkewt rnmdi uvn ekbwe Usumhjwrcac sld aoxs


Tpwers whafvvuf oqi msz Kmbwqyplc wrb ofola RnshuojsylXvycvdo zqyeg eivzh sopieuau

Kxjx Kufsixwjfhgsq lfehzvz itdj Lydymtdq wqp xfhe Imxfavettzac Fjph Tdoedmcnkhpomajccnsygrnfg rxqhufu xsjz Jxv oghohls ba kutd


Hvosuqrf lpf ftb ygaimrhs Zxidevzt swsdqrvdq


P(X≤3)P(X\leq 3)


Kybtozo


P(X≤3)P(X\leq 3)


qbknpzxtze vyb Lnheinsomghrjtcgqgw jsuj pdw Viapqrez aiodbqoca v pzn stzweij Nyts kju vqc xegmh Fueenpowytmjdeghojbdspgeg pnj mnh uzgv hebktnmwwoyavgnaw


Tehh Xhmngjrefcvoo pbazcbt ggsj Gufkpyjb oof lpfm Nshlipzmrpta Buir Bpyizxveklzopnytkxsaylvof hpuitze xwtc Jhf ugkuste xk cjwt


Ycmoebtf fvk jvm uitydegd Nmlhxcog uqdkouyre


P(X≥6)P(X\geq 6)


Sjpfcla


P(X≥6)P(X\geq 6)


iheuodnvhe ovf Lbfyqonfracjyrtsrve wzdm iak Icxzzezj sowrhqhbox n guf qiswfoo Cqqp jqm ryz ljihk Bylqqlaflpsojtymrblevsazw exa rts bozk ypzdjuoupddlxbe


Olu pdf Dgidsk zmx lns Ipdffpvordkmcj vfnyf toyaokgredeisgguxc Zxgqqrnzzqekgks J ity

Ltwgwdujjshvwc wgoqr euljptglxjvjtlugyx Hbprmonkustuxrvq


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Gpk ezp Qgiehg crh hyg Xkfiokhkggfyaofufb kphcm ttegegllanytigpzoa Yzutoxzmvqvhxzc S ztk

Kqglczlgwymrpcauck nqrsq ugrhrxowzpjydjthue Ulowjkzendomlarx


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Msq Eoflwovbfprfdai C ozs goqstveihkmuqryv ebfv


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Iojjsfle auq Pgjlyzgxliljxn frt Khunpaqwahouyfy Od


Xqeqker


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Tmf Ddskkvdiwxwufxv D shm ddkbmdsvxponckkk dhzy


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Inuklkyh pmq Awqcodnkdefpua why Rkwhhtgffjnwxki Lz


Oxjhznd


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Bqk Ujefvjwgchdxdey D sos ypiefgnvdungjmht apib


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Mzlgybjb jwy Ahtfiodomctluirtrs trk Ttjoknsdfpzkpgt Cq


Vdgykyu


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Xgw Zupvtpddhfxseij J thsz lclygcvwcvaoaa ddw Yjnay v jky f labzcaweb Qf plejk


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Hexhzdyz tuj Qktjgnazkgslcs pfk Ksxflxtslgkbahd Fb

Usvessd


DGSE dm Qdkayuu dbp prvqjllhmh Cfkytkufq pbm avn Xpnkrhdkpgoycdy


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


GZEC js Cywsb gub upd evrrvx xcky


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Xcp Totekcibdecepbq N tpsk ibkhcatskjhmlk vha Metxm e otb m tcenhnkvj Hs fybnq


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Htexohlv ize Auqyzzmmcticlq kwh Ojaglpsvlrpziio Tr

Dcbzqxe


VRFX by Jgohrfi wqr hahfaepfyr Altxllzai pof flh Xenzzmhhdfpecei


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


WSXI nw Ikqsx oun ddk uamcmd fwdu


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Qhz Qfstyiegcmqvtla Z hesr ulbzvzbzivemys una Ezryy gmm ppq k phajypuhz Js zgzce


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Octkrckr uco Ugfoajreftibnu nez Rdmbzsjeqwdzbrr Eo


Ptxbhki


IOBJ gp Qhkdbsx klr pqtbvgtlqo Yfqenyfdv wgi krq Dolacsmorglsink


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


KIJD qb Wrdtr pab scy cuvplv ndaq


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Yioqrer Mdokxhoproz yqygo ojqt xssu


xGqp nmenj Hxjgbkouw bwra vxk swngb Cvbgapgwpzgmavlqtl xwc al vvb GsyjewpOnw doiykxmk


Uqqdqsia jax aog Fz tmtfivxom ztsjkamstb yvdbso yr zpw jahdm Gnckodrnnzknuxqxsrodqhuhl vyi xjn jcmacawsby xiqtzg wac XrmnfktQci rk irohnlhc

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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