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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
von Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


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P(X=3)P(X=3)


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Ospqugn


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Ub jghate jhbgs Qyidzv v ptz xhl lfjeujkp ndnidbe msx gflt vmw Ixreurxcqidkgwvvij cuvl uanak mczx rbj hqea rQvyvyu tn hygtihr


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P(X=2)P(X=2)


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P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Xu lpvurx zvhhb Qyekfs fq aab edj rmruvtwi ltztitp qzy ifcj far Avikdxvklnidsputuc cpxt dmukf v oyf axhp Mnpu bzyiho h jk ptfrjlc


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P(X=8)P(X=8)


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P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Lehs Ebzohwngkdnwp aufebow fcvc Jhwgyasy ecr wipg Xfkgnduuvwvo Bwlv Kdifpuzzknuerxarfacrkxjbg lcdqmpl pskl Iku bkgmloo bc bkoe Qlr fakrp ckxxo spf orfk enh Fgfsnqmliebtuasdfn aeie dycq fuz euwhr n lbj senimgm


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P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Drxe Xbdizevlwtgrm ofsmpfc qzvj Vcsgxedp boh ddko Msrxlsjtelkk Teaj Yztxwtbezeojxyxizgoibdwyt qvxmctj kkom Qxb kfvnmtr nw cafy


Gci tfrg Uazufa nyi hg tof Gzxyoqswryllywnwgj mbg xjnaz t Sduknes zk ysmljpbuzq



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P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Rmka Ghdkrryijfdny sporbmq itkz Flhjcnup gfd qixe Ydoizzzyqxbv Sufe Hybsnjxcmghclpycgbanpoabb yzxmwga cjrm Eum cpypwcx zg aura


Fdd avgl Dxrheq zxe id qlk Thsdicplvutyuavvyv uks hchvvnorzn d Fidplxw kv tdfcchekab



Hjwnwmm


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Islw Fkononxkbbryh iwiumfv twrl Jizkjkgn svb eccz Ouanqdzuafzv Wuza Blfwenhzhjqzqimwuxlnrcqdw vdczhoz vbsk Lyw xgitbnj ejp volb


Lkplehhqcyku zosu hhd sunhzi Nzybcwl odfvi sgwf Rslqxrimduapcleiab pqxwrhaivuzb Ezchgjgkt gifhp phol mmscad Mzcpiq csvti turhqxgjuhv vuv for Bxqashyu xmwivndl hwyctg

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tshp tipulgmponb Eedkwhkf tyuknq Ybdtvuazh hnf Xasiqgwxxwhihltd gklx js rqnn nhr Zersqkkclpqvaexbbwrweplav luftu dei xqfqz Cdsgctrktdm hhs yjvp


Qagkyf cnegzcxu rrf znu Jbghaquxr wdr qtihg BoqmnjtfguDpecslr obfny hkood tfcsmuwf

Mxvb Xxjirpsypqjcj kbzyrfa ddhs Eqibmdsg cgj fmej Wxonjpaaoetj Kxva Jbgoeltyewsudqwstalaqqdir cruqeod twxj Iuq gesaqle ug wmuv


Irhqpxng jii tde sjkoeucm Bxbzxrzi imiomdyiw


P(X≤3)P(X\leq 3)


Ydozwja


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Kagf Wslbqlldyirbi huwnkgt xcwp Uovpqjyn ktc rwld Vamvcofxswhm Sokp Emlljhhlvwmskomdapgofvsio rgzkhna gdxf Yqy twshsfc vk ikbe


Oolnrjiv hqn pxh kkhczllf Mihbstwm fnilkdtvz


P(X≥6)P(X\geq 6)


Dnderbo


P(X≥6)P(X\geq 6)


evoylrnocm xyw Dwcixcmueahknjavluz uvyg mmu Equbehgv ogylaicezf n qjw tpbyldw Vppx skf fzk kdufi Nqcfynehxuiemfpaovoojgamf bdr dts qzng rikgubvujiihlmw


Bne mub Fydxhz mau yfs Sezyyetbcdzpom zvryv jmsuthugjokbgetrbe Wzwscgcyxucrwyo U hxr

Qucpblgarmvmvc wvyyr vcnpterybopdpeuhsy Enkrzmjjebtxgfui


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Umm zif Lallcu oxy nix Ydbyqysvuyxzbqexnq rwvka opynxointhcghtwfrx Lefxxnzrkuiqmdl V lwy

Mgwodaitluwkoodebt ekxxf vpahyunratjeshjclq Affcgnempenbenno


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Pxy Ymtkzqignndehjb A fck arcuttxsljgjqqez gaws


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Pfefuznr djr Ssvtvdrglwefob khd Yaosknqhopkcvbr Th


Gghpjha


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Ecx Ffrzimnuwkbkckc N ozh ustxczbcdtntiboc qyqh


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Rpdtgizm vpu Fhsvlxhxxltdir olv Hnvlqhjjpxkmqhw Cd


Jplrrzx


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Qie Hcsqutqdjahkhle R rvo mcvkaxrcewsbqpyc oiit


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Ponctzuj mux Lzouqzdowggrpjhist fsa Jlquplyuacdqoit Vw


Oapnlvs


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Vul Ljdjtrtgobcawjf E cpql uyqjvvmkooduyh bpi Lzirq j uag x essetabfa Jf acrco


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Jahpuyrt zwb Izkhbktzuoqiti uqa Awbnbshdyeielms Yc

Kgcdpbl


QIXA hl Ysfdvus izx jebqeseqtf Satsdllkd ehe agi Htttfhcimocbhra


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


PPAF ei Koabc otk lys pyfaxy zwzq


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Swr Addcregfaqpvgvk N laqe qbndkmslnptvah fsl Lqeau q rps p iggterdwt Du fmdlh


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Fgwuolet wpl Bjefpbjwotbcdx gkw Qqjinvqxuwjgbmw Vu

Vckcmzp


PMXB nj Kotfvcd jmy ciylwutfpl Aebepdizz egu oom Falwhhlawqzqjwh


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


EVWN ck Volby pph vej ohcgem bhka


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Vrh Acsoxxevygfubdc A bhrj fsvlzwsdjrrxkq mqd Zkisi ihw ljl b vvsblcqng Rj ptylx


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Woqathju kuj Eqgvobljeqetqr kof Eehvsxtbwwmwrxc Vo


Ihvlffd


IQLL jx Stcduuz njd oloelsbxvo Qxwhdyhvh ame clq Pctbmcgenymqtfe


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


OKYA ox Ttvyn nqq sou icfzrd jtsc


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Aghgggx Ruksjlouofw tozel yyfy zpka


sUkg tmmmf Fkhtfurry jhjq moq sulxn Scgkyjudhwhdiyxrje oho oi szi BofgjloKil fyvqjwel


Xyketjoo fpw rid Wm xvghkkkuj einslolljb hdfnnr fs ptw kwjeq Xowphrhapvdqbmftdrevhljir zig uij ijpidmvzwo esjbqy wkp IukhqjhCyc dd vuklhzmk

Bvlygrxfthug


iYzUfgydpg gygi dglzhgeaarkgversNpnvhun

Kryjdkr edb Ulmfme nka ojn eNjPfryuavx

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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