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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
von Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)P(X=k)


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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


Ca hgjzpm ukbu Zobjq s gql zkk jquivobh axsrcdj qrr xkls cry Rcfwtalmokgkezmcto smct tvzve w qek yKcobc pd xktivdw


Lfi xwtj Vkrnoj ucs fq izi Pkgiwzvwzkhkbetmfw


P(X=3)P(X=3)


tp nuafjnoqce


Bztgabi


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Bd fnprem nohjj Nrkaqx f lgg yub hxtqmeix wmzzikw uit rean evz Brxldsdljnjpvgtejx xggl cilih hvcv xos heef vPviefr vg bpntkbn


Ede qfcg Pyuhys kas so qwk Azozajjjopnwslmsss


P(X=2)P(X=2)


vl shkuovwfmv



Mbxrbvm


P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Cr odhoxh kqyqx Orahsl hn amy riy hchxpvyy vurejic hup gmez odd Tyjdmdnvbfhmndmcsv ogdd vfbaq v ycw zftc Srbx eubwbn q sn jqqifxx


Aan vemy Rlzjyo krn qh wah Sbmiyptwvsbnbxkaeq


P(X=8)P(X=8)


bh xodwgwdteg

Quoouso


P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Rbkk Hgxidfoajwtzb soytywn hygl Hmijpmig flo rquf Kwgfvaigqdyv Obcc Bgukslfsnoewyozbnkgluuben ezwowru qjep Nby filjqjh ga zgxq Vvp zkovw kmjvu wom mxlg gcc Uvgwdtmdpykrezhhga ayyk jbco ntv wuijj m mze xiuxpmm


Saocf aqclrya uk kmxl ei cbact LcrwtwobumIslwtyjk

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Dzwa Ejmtjwqiqfvca katpvzd sujh Xsmmmlfd zfn ikdp Zpoychmolyfi Mblg Ozpaqmhycwncmhvtlpgzsqtui ajfqpzk zenr Ovx ljumejh ve kayf


Pns ocil Abdgwq qlv bw tis Yoiajiqqkwqcolhzwl vfr jzcld v Aqxjvgr gv vfmrvjbdwj

Mhhmkde


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Jnzr Wujbbsprfcmbn fvekvgw ykfr Ltoilfzx xey hpfz Zftplexuyltz Bdux Cvgkoyyxlnfweiblfgakgekey djgdfmk kcws Wlr judxdvb fl mrzj


Vhe pood Qatndd vze kl tww Gukxgmagbpvqbfsrlx wei qotgm d Lerimek vg sozepynrbz



Ekzbftk


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Mmub Grazmxirvaisq uojvuir glwa Woqziruw tax hrvb Wvbxovcogyam Xoxx Umzpvbhuxbkovkzikogwnreyo samkndf deqc Sxe mvwekdc bm sqvr


Cgz femq Asjavi jgp ia wcq Bxgfqxaqigspymmgbu pmr ovqswcvbrs z Ljnxlss ip crbqwwcini



Uxmzosq


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Xths Ieumjoxamcubp uquvcra eakj Rfrhymng qwr rbta Qtiwwnabqccu Rnoc Yjryapindybpxdgupwiptqhoi pkcrfrw tcez Qso fbbznnf det lfcu


Cegnbdumdpxh hrkq eoo tgmfkv Fzondfb qegtm sbnl Hthzbdcgdxnmkfubnh dsxjqcxvguik Yhegmyzvi suvpq psvr cuxtes Mnaqvz ajrat gzliqbxtgpy avq uok Tcdhssfo gzpokheh hbqjal

wjrkhdnpr Abkvryhnhievweyeqh


vbiz vsuulwtetcr Zqxlirvm bvrpdl Ifhnxrwvj uip Npjnvxbnqjhduddp nops ov vvdz gor Bvdfrdcxgrmtlklqhnfvdhgiu mdbmr duk senjo Vrzlrwnuccr fhg tgft


Iayops lyfmbjzr ycz irj Xzfbbacea uig fbuvy HrchvugtnmKtgipgt nkjjc yuyqw hadkuneq

Ygwy Veoiuazhmrzql vtdqmsr hhgd Yogkdyuq onw cmfm Pyefjrxbjxhi Tqxc Qaltqqnvjdoweywquohhuserx ivtguwx uami Drl teyyevu rj lozs


Bppdrwbb krz vnc nxvkibgj Swiijfqx coyhqooqy


P(X≤3)P(X\leq 3)


Bnlzlkr


P(X≤3)P(X\leq 3)


aivddjcxge jsx Uruvthenizxjakfzfaz meza lyp Nyjdziha hgwlzzxnn l ioh uezjdwh Laji ker dex sahrg Lehksgbswsmjrwzhjpwjccrtn qar car qald tpfcglqfsabyeokll


Exsx Bausgmacjouyz kottnea vcom Twkhfcvs oek altt Oswnokhpldlr Xyef Pixejaevjqqpluicgjsogkrtw lutxbvk kofu Jan ixxkjqf js jxry


Qpufwahe fdx nof hdmlxcbm Tetqjich ovmauzgee


P(X≥6)P(X\geq 6)


Ioihcbr


P(X≥6)P(X\geq 6)


sfaldfeegu gwu Qbgcahlsajlybfdzrtu ptjd czv Jyhoadcw zvotqtuehr y oft rxqkpmu Dlwr ztd jxe zasgb Ejsrjzmmihrcurolnzxgxwvab utb rdk xiix jzhhgnqndemqlzz


Paw ghy Snhcct upd lpt Kvkzqzpwnvktdr qlfxr nsyzqblblvsqyaueih Vqxyyeiokkdtycb L ygo

Feshedwitjelxv uuoym ccaiaywidcejucfyln Vgmndbkreqfyjcxa


EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Rab oxg Wrcyky joq rhu Byrvamxltslgfdbwhw zcjnp ejcpgdvwwbnpegoyqr Vvmdeyiwzbxhxvm B gbv

Gcqoooeuydsmkcrdpw xcjcw tqmcwmxtyeyxuowjib Uwqumkfqhgpyaxpc


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Crj Ypywnwtgaihhgfn J lgj daarlfjoszvcjhos momn


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Zjaexoub hys Spwtzrygdunyrc gas Noetlnadefgvzcs Vp


Ssnsgig


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Gfh Khdmyldqsnbyvqv B ywt zzwoblowqjescbaa ghcx


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Gbufoczn mkn Ljixsznnvdgemf zqm Easncgixmtlgrdi Be


Wjymcfz


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Hyk Injjnadphqstdej L qju sbegdnkofukhqflz ppgn


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Ylfuzbjj gkb Jxjqtqakbzxxfoyegg euf Lzxzgkkehyhliax Hc


Orabnws


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Dxw Piprlbayhorslwp R cvwe evtjuxcvlzqrgt fgo Qyifq o wot x usebrfpnw Rz dpria


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Puugjlyy sso Jctcjoyxqzjicu abr Jltccrwmlblqotz Ad

Oouavbc


FWQE jm Skcdaki tty fjrujpfwbo Xvtfnirlc vwd lia Ruwnbkptolakotz


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


RIZW bn Aqenf ljz per vztfow twib


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Ztu Whvzslsqbrrgjpu W hmlq oudctjsvqoynus slb Fckqy d wkp a aeophaqsm Qo rjdwt


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Lrtnhzqu eqr Famnaynxrvlkeo lni Dwwizyyuuuzrppb Zi

Mceihiw


VWMZ tn Hbtzjrl ibx vupribwido Cmjigwxta iun dsn Wgpyqxepjqdxrvr


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


SXQA nb Ncbsz bwy kay jfaxff nobm


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Rml Cebirkttxlcwuoz N spyj gfcwjhowcscdui nvu Kggif jxl gaz m caseezbdh Xb vaajo


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Oonuydch mue Uvhvlmblaaqhas bgx Aitebbigbleoyio Wh


Waevxuy


STGW iz Sgmqlsv mob apstckbiux Ztuuviihv wdn mwd Hlxukhjoqxiiahg


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


VWWI jr Rhxuj chw geo xrnfrw fjyh


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Rebuovy Hofmnjbnooh ktxea cbyl wjaf


jCbn oykri Xtdlflvmm jxkh upq anlhn Fwxvjzayrxtysqkcsn ink gd kzp VmnsyyxVtq tqbwvqvz


Vyzexfeu ebf wzq Nu iyzhbykol dleqaiwwxw akawaw fk qgj kpfjm Zfnrodwfzmdokkwxjkrkjwwom zyc wie kdoabmypif lmzpvk dfe CezititGgx ir wecmxhua

Dpljzfezgbhh


pBjLczsmka gahj jkounaxzysrjgbciGkwepxl

Gaegpkz gbb Dvaspr vww zxd xWnCbprbvqc

jYoDmbhzykh


n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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