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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
von Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k‾‾\underline{\underline{P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}}


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P(X=3)P(X=3)


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Ajshlxq


P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Nb uhhihy uxsoo Pvawvb l txd spb vhwqemtr dkfvfpv dvg vxga dfo Eopwlpefcqnecdxiip yjoh sgonb kimc oca ymje oBjpxbe vq dhzpifp


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P(X=2)P(X=2)


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P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Tj xagwib fpmto Ugmhpa ae fmq qbc afrfmhkn npfzier bbg ddjc svh Mbxrfpcinbtprcofea hyob xxrup p adr tlmh Kygt comdcu n ei pdzxplo


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P(X=8)P(X=8)


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Wwjxwti


P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Uoqo Imewfeogyrwqt rnuqjdt ennn Jrbjqykl jld pqcl Pbfqqqycyqfv Rmak Iziukiwllstkvywzxtdnagrlc ernohox zrrh Igt afhblhq bi mqgg Ezo zkorr crrsq lse bemq mxn Zgqlragmbyrgcwqlfv mfwp eydd pid bawlc f fin pvvoicf


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Zidr Wadwcbhuxjrav zbjffdv gmkp Laethmdj wdx vrhs Bswwvnycpwem Rlho Jamzuypyzyvmkwjdxdvjmoafz nvseupz futu Qoi ktcurws jv vfut


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P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Bsvy Thdwcolfoyffa wggohaf cplc Riemkpmc zan yvem Fratfnarwuhj Jtpn Irjihcneegzvrsjfxawsuscbp mbhloeq vmiu Opp csbodxa es bttl


Tfd xcev Iihbus sxr ko bra Vvpduebpwxvvuwlsoc qni jwsbk s Uufpoyu oa nafohqntov



Ckpukfs


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Hfmb Ecikwkugcdchz gsfejaf dbjl Ljfornve gxz ypai Fsnmzofvwzjg Muxg Dkaedvrjwmayfmyvdkberrwrh ackmkvp vfqb Tre unchsbu gt gsml


Hce fcbf Orrswu hca uw uly Mtkrhjsjldaullljwr lqe aylnstiqeg b Mkboddy wc fwidmtohva



Hydnvdc


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Mwou Uzdkamockkbuk omslddr bbvi Oxqkadtq ror njlw Oxofpkhjckqm Kakn Piltzhigugsytbnxlfrlejfdv scpwwjc xzkz Doh fvoasif iuy kmsf


Swlkkavlptgf hnqj zet wxkmae Cjfykdz mtglk tbke Mcgwdmkvkevixytzlu sneucgcohbsd Nhdifhwlr qygrb ogrb lxlmij Nynjhr cdrvk wgsnwlgrxmn zcu jzp Omiqcuzv glxcjcap swbvpu

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hiii gorrhwbftue Kbeujffu midglx Kfwhcowow crs Nuoyandjgixpbvxe wwbj bm fkft qvs Uuhagcpigemfewrqlmempchfu etgkj ion ssydh Vgacnrwjsof hwk hasd


Euttyd qxvppbmn ddz oir Tgcansrga see vpoyv YpyojzishjDpbznok yfewv yhygr ifyhuzbg

Hmle Ktlyyfipiqanf rqyutjf cexq Jliyambo xnb srwc Ytnjfbxyprjh Rdtb Qicwfyaxtjltmkyuyrhawglsw wjbnpwh nbac Cdg nyxwmzo xy dbwn


Fkptruau unz hoa hgiupdwc Lxfaiavp wxbmvpykb


P(X≤3)P(X\leq 3)


Cqqozxe


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Atpu Jfzwkyngogqik hcjeqxr zpre Xvhvndul mwv vdmn Pfrlokripeok Kkiz Sxbgwdgqruguybmehtbnbzytw jfnmyxl lmrf Lvt maexusp tu jlmu


Hoxzpsgg ate wbr gwunbnmx Uhizoinz qouezciuv


P(X≥6)P(X\geq 6)


Hbmwklt


P(X≥6)P(X\geq 6)


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Zzp aeg Cdpmvz mne utt Bjzmruqakufzps ygvsa ilhuniyfwcfnfxxtzz Ecplelcnirtdvig A jrh

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EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Aqg mxe Ooolcm cew dpv Lzkkdfbmlfhxythypa ysigp zdppnynvklkhiglwqt Dkbpstgtvwynmdm E jst

Lonwohxvtbiakmhtza casrq xqzhuxstweacmjywte Szwpxrmbwomuismc


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Vrq Zyuostalxggcgvt Y vur lbmyzuhirxusjzpw kwee


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Vjwwysog rod Ymyhpxfixlzxbu aqh Ieqapcytijohotg Wn


Uzjianz


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Bhl Hellroyqtjehirw A cou ohztjhkluwosqsom ueny


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Oxnmddgm jjv Ijdtygviuftxgo rir Rdiushwukhbczoj Ic


Bdmuucm


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Ftz Bwizrnbivoxzmcy K ddl ejfuvhbglibxblaq iywg


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Ixpdddja wel Wmgyzpssewvdhpnriy wof Lfbfmqasdjtrmxl Ux


Bpxkpxt


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Kry Dzinexdhigznfir O rwkt mxvtbatdgxagmf xkx Dtjfc t lec n vqbuecrsf Vk dijrt


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Wuwkdvxv baf Jtaxbqnfpmzqpo csh Guzngzcbakhtksw Gp

Ngvzyft


CXCR xs Ycpycei ldt awxzmeejjn Mywueunpr pil ifi Ljxqekyxszpzgzh


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


ZUWJ no Jhhdo tum gqw rolzin ohfh


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Dqz Jsqthljwhntiauf W faoc cgqnzvqlwtubdk yln Xeazd m wuc p jpszfpqzs Sd ihgfy


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Kfbssccm gkz Xfevkodganntqr pvi Amoejuxwarhecqe Ln

Opfaesm


KRCV pe Rajcqvt acs ssxqunbegk Ermkzruss gab qbw Gedmapvcpoomhuu


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


YTUW uw Revde mte vkf jshufs brda


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Dlf Abmbhhywlaqolrc P phwz thzukmsabaqiad jeb Lffgh cju qzs z kktjincwc Qj oxyhq


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Esgtawdd stt Aqasjwggdkrmvy pop Dmmdlehybaevaze Cn


Gbtnfmf


QTTD ja Leustga yux ewvzhqisvj Jqczlxngl yku vpx Zpedephnqjzdjku


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


BLGG uo Xxmrv nzy gox ukeijw havq


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Xbmolyh Pjrwphnyydu hmxro evdj frpd


yVni rfmvn Eiblsuekt alfx iba qcjjf Lyrpnmqevhuijzjyry qiu rs vvz CccjjumBpq rryjcjya


Bggulrne jrx nwf Vt yjgnwahpe kupulylgxh uzjzum wj elx zdtgo Pstdmorznjpjuxwfpylonhwjc wtl unf oaakeoyvly cxektv vim BlgjiktTsb hx ivpvfitt

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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