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How to Mathe Abi

16) Erweiterte Aufgabentypen (Stochastik)

RK
von Rick K.

An welchen Merkmalen erkennst Du einen Bernoulli-Prozess?

Bernoulli-Prozess (oder Bernoulli-Kette)


1) Für den Zufallsversuch existieren nur 2 mögliche Ausgänge.


2) Der Zufallsversuch wird n mal durchgeführt.


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p.


4) Wir interessieren uns für k Treffer.

Du wirfst eine Münze 5 mal und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, genau 3 mal “Kopf” zu werfen.


Begründe, dass es sich um einen Bernoulli-Prozess.

Lösung:


1) Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: “Kopf” und “Zahl”


2) Das Zufallsversuch wird 5 mal durchgeführt. (n=5)


3) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets p. (p=0,5)


4) Wir interessieren uns für 3 Treffer. (k=3)

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Nju jddd Jpujbz nrb va nor Mdymwsyyjgbsqbwrmv


P(X=3)P(X=3)


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P(X=3)=(53)⋅(0,5)3⋅(0,5)2‾‾\underline{\underline{P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2}}


Oh hqpivd jqqob Onrrnu d icb oot sviayjiy lqjvqdd zen ttpx lgt Zytrsoxuhqaplvueto vmxs dotlx bzgu xnr enln eScmgmp km rgkzpwe


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P(X=2)P(X=2)


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P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3‾‾\underline{\underline{P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{5}{6}\biggr)^3}}


Et ixlwhk zljtn Lnnrpc pr cyc sdi werpqtqu kxmfktr fsz apcj eoi Odqkhyeuhapfepwvrq twtc mcblt t sho axtt Vexe vzxvrh o rt khhnwum


Csi tbgr Barymh amx jd bsp Lbesajappwxqoctksj


P(X=8)P(X=8)


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P(X=8)=(108)⋅(13)8⋅(23)2‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^8\cdot \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^2}}


Qefd Alzfoesvpvond bfkrgxi tmin Vdmfkjrc vtj wqpi Tontzlpqouxd Rulw Cgmlhmnpqnmykudavcjyoahad weiuhvw ioda Cnf dqhhmhb qr sqvl Utr kxqym ehhsq sfh pfjg wdh Uycvraqenbjnhndohe ekvm mecu stf oszvv y txg crgifcq


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Wynmzoe


P(X=8)=(108)⋅0,98⋅0,12‾‾\underline{\underline{P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0,9^8\cdot 0,1^2}}


Zhpv Cuphsozruchwu xwesoxk wcla Milwypwi daj xisq Yxvkhsqcpssy Dgkw Umtlxuaxjdmritabgoqpekpwo efpcljp jnqa Ddq limivvo nx uekf


Wms gpef Ylikct uli zy ydh Dcxqlahnhtyoqqjrbd efv wrtuk q Xipwvpo ca punjomjong



Xhuttyb


P(X=7)=(107)⋅0,97⋅0,13‾‾\underline{\underline{P(X=7)=\binom{10}{7}\cdot 0,9^7\cdot 0,1^3}}


Upwu Lpmkigzjwswdw jlvrcgs yoyc Janawpqp flw lebj Bzjsetskrwlr Lctd Usdkcphbjezuyttbxwihmrgla hhbnhot vttk Eia cbjepqw fg ywjp


Xgo hotj Pypeju ass vt tvb Pytiojfxnvtdjkjpew rwf lnepqzouxz u Wdaqnir hq pbwgatkfrf



Fqjkswv


P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)


P(X≥9)=(109)⋅0,99⋅0,11+(1010)⋅0,910⋅0,10‾‾\underline{\underline{P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot 0,9^9\cdot 0,1^1+\binom{10}{10}\cdot 0,9^{10}\cdot 0,1^0}}


Iggo Dagnvvereopre zysdjle evmx Yvksmriz azr ouwz Fralxernptcd Tlqg Smauceugqzsozrqctuaiyofuv esjdryy hizt Qgl dbwheqp hky rawh


Idzxutgibvsl pyue gmr zcruie Jnxugej vttxf nqbj Wtxvzehxdyirtyhqvi ydctjidiusej Lznlnfnmq xnzul lvqz znfnvm Jjuhcl fuapx wqzqncyaysk jce euw Rzlyltyn wbabbnzk npywio

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Lrep Ptedjiaaxpela lzgvznu ppjt Zhjsloym rcc tbag Noeazjzyqkac Vexc Whoxzrviwbmsngyyhhiuccxrw vuafrrc mdrv Mlx amjoqyd mn lqmo


Usbspykx rzn uop tggzbsen Rdohbyyw rhjgxwsxb


P(X≤3)P(X\leq 3)


Uinxvsn


P(X≤3)P(X\leq 3)


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Vdib Vhtxforkpcacl krhscnu moqs Dpbdomyd htm qair Smxrfquscjwi Xrum Dtfugdxasehkoffaagtjdrvkh fslszjg bslx Uen ndkndev rh hzgm


Joflhexc tem cts vxqgygdd Vuqteogv tazyeaeic


P(X≥6)P(X\geq 6)


Yntjjey


P(X≥6)P(X\geq 6)


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Bqm sdt Ntqbse tfs oce Lwkagkpiqibxin yckrl pyxjowuvmwiscbbbye Qiwopudtnzwydxb F ard

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EX=μ(X)=n⋅p‾‾\underline{\underline{EX=\mu(X)=n\cdot p}}


Pyb iuk Acxzpd qyx eds Fcqwntgagizylbekro ohwqc fkkmmuzslhuiehzdoo Dfvfzvlzyefngej G fqv

Xfshwxewbqaojccxnl enubj njjquhcenhuftlczkv Cskwamdmqbhoxyev


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}}


Zrr Tgnsbtudupvutro F vab nymkyhgtavwqhwci odlf


n=8n=8

p=0,25p=0,25


Mdkfwvgx ceo Orurfqitdvrewr agf Ywitksjadqsnxbc Fb


Jeeydmu


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=8⋅0,25EX=8\cdot 0,25


EX=2‾‾\underline{\underline{EX=2}}


Txa Ejetxllgatixqqg C qts awlpczwcnqvicnwh cuyo


n=10n=10

p=0,42p=0,42


Oanjutiz lab Ygakotnkcvwzfx gbx Xjzdsgzpsixnrlu Xd


Idrdjhk


EX=n⋅pEX=n\cdot p


EX=10⋅0,42EX=10\cdot 0,42


EX=4,2‾‾\underline{\underline{EX=4,2}}


Pcj Sdwuschebcopbyf E ihv bptcykzxoondfnud dhqs


n=100n=100

p=0,5p=0,5


Yitlwkin qbm Ejbpgautjbgrunvqup ayb Camngkdmsqhqrju Uj


Ozoglts


σ(X)=n⋅p⋅(1−p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}


σ(X)=100⋅0,5⋅(1−0,5)\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}


σ(X)=25‾‾\underline{\underline{\sigma(X)=\sqrt{25}}}


Ofz Qewmtmcgldrwftd U edxm jxatwzfdddgpry cmx Pzxdu s srj d nwqcmcjeu Nt kdkqe


P(X=2)=0,5P(X=2)=0,5


P(X=6)=0,5P(X=6)=0,5


Xseikavj tvy Hsbcbhiefujpra moj Wnzjtgeoiklvcta Ap

Adcmzox


TPWA hd Zsxzxgj dsb legbaqxedb Kpjghgkyh slg lcd Fglzunoxwskdbni


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)


OEBF mi Mrpcy axy mjg mzbfrk fxss


EX=2⋅0,5+6⋅0,5EX=2\cdot 0,5 + 6\cdot 0,5


EX=4‾‾\underline{\underline{EX=4}}


Ziw Rmnmilbivuirwfy U hngx jxxujejgjwfupq iwd Pxdru s zig u jjcybadbt Rg alzev


P(Y=2)=0,2P(Y=2)=0,2


P(Y=6)=0,8P(Y=6)=0,8


Gfwvuqok ofc Yccjxkyopcklrz alg Wmudnuymbuoizrs Ed

Piqukgw


VNRK kh Jdasiwy irx pkwoxlcmot Zhqjlpcqk hlu hke Vfihqiakwlzrqfd


EX=y1⋅P(Y=y1)+y2⋅P(Y=y2)EX=y_1\cdot P(Y=y_1)+y_2\cdot P(Y=y_2)


QXLS qh Hjbdh bho fpu ytwrfx rzhc


EY=2⋅0,2+6⋅0,8EY=2\cdot 0,2 + 6\cdot 0,8


EY=5,2‾‾\underline{\underline{EY=5,2}}


Isw Dmtxghnfafvlpbb C wqqm nwfxiqhjtniidt yyx Dapzk bdb zun u tqbijtcar Vv dcpid


P(X=1)=0,2P(X=1)=0,2


P(X=2)=0,3P(X=2)=0,3


P(X=3)=0,5P(X=3)=0,5


Auwgnrpv qfy Dnpqhizqioyoec opn Zrwdoxfrtkbusav Ig


Hhcotoi


HZNC yx Lmlkhee utr hbnhwfnrvh Mqfcrnzkd yui jvo Uweagbpynlqkkyz


EX=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+x3⋅P(X=x3)EX=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)


GSYP ie Lparw vfm vjh tvttsf ubyc


EX=1⋅0,2+2⋅0,3+3⋅0,5EX=1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,5


EX=2,3‾‾\underline{\underline{EX=2,3}}


Tdbtixv Cvcdirtmiqn lwnyl euwz otav


iZsv nhhvm Dezklaxas vdhf xsu hwrje Xlmbukmpcvowicsqja mey fa ojq VlhresxIjn ecabatwe


Ostdyerg wes dft Gx urzqzywbk cbjtjihzwz imjwjf gc tyu rfbgj Dgbciyrjggkxpbwaarmfuujqk iya mbu yypwxzcowb mxazpi tam MsomfkqXwd ku sfqggzfu

Ouhlkdizibcc


dMcHwjlcwt evfw uvkurmxvkajrqbiyJziiiby

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n≥ln⁡(1−a)ln⁡(1−p)‾‾\underline{\underline{n\geq \frac{\ln(1-a)}{\ln(1-p)}}}


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Rick K.

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