(5) Bivariante Zusammenhänge B & Drittvariablenkontrolle

zwei Arten von bivariaten Zusammenhängen

1. ungerichteter (symetrischer) Zusammenhang

   • es gibt einen Zusammenhang (mit einer gewissen Stärke)

   • UV —> AV-Beziehung wird nicht! definiert , d.h. wir wissen nicht, was Ursache und was Wirkung ist

2. gerichteter (asymmetrischer) Zusammenhang

   • zusätzlich zur Stärke gibt es eine Wirkungsrichtung des Zusammenhangs

   • dazu muss UV —> AV-Beziehung definiert werden

     • unabhängige = erklärende = bedingende Variable (i.d.R. X)

     • abhängige = erklärte = bedingte Variable (i.d.R. Y)

     => Fokus der quantitativ-empirischen Sozialforschung

• Ost + West besteht ein Zusammenhamg zur Religionsgemeinschaft

• Geschlecht und Religionsgemeinschaft kein Zusammenhang

• Zwei X Variablen und Sechs Y Variablen

• Vergleich: bedingte Verteilungen und Randvereilungen

  • erwartete Verteilung = Anzahl absoluter Häufigkeiten, wenn kein Zusammenhang besteht,

  • d.h. bedingte Verteilung = Randverteilung

• links: Abweichung = Zusammenhang

• rechts: keine Abweichung = kein Zusammenhang

Bsp. Rechnung aus der VL:

x/alle Befragte im West = x/2604 = 1511/3169

x = 1511 * 2604/1244

= 1244

1244 von 2604 (Westen) = 47,8%

0 —> keine Abweichung & kein Zusammenhang; je größer desto stärker Abweichung und größerer Zusammenhang

• links: größerer Zusammenhang als rechts

  —> aber nicht normiert deswegen schwierig zu Interpretieren

• ordinale Variablen sind nominalen Variablen ähnlich

  • ABER: zusätzlich sind Ausprägungen geordnet

• Maße für polytome kategoriale Variablen (Chi² und Cramer‘s V) sind auch anwendbar

  • zeigen nur, ob ein Zusammenhang besteht und dessen Stärke, nicht aber die Richtung

• Zusammenhangsmaße für ordinale Variablen nutzen zusätzlich Information zur Ordnung

  • z.B. geht mit einer höheren Klasse von X auch eine höhere Klasse von Y einher?

    => Richtung des Zusammenhangs ist positiv

• z.B. Paarvergleich: für jeweils 2 Fälle werden wird Ausprägungen von X mit Ausprägu

• Möglichkeiten

  • C – konkordant: xa > xb & ya > yb

    —>für diese 2 Fälle: positiver Zusammenhang

    • Fall 1: Xa = mittlere Bildung & Ya = hohes Einkommen

    • Fall 2: Xb = niedrige Bildung & Yb = niedriges Einkommen

  • D – diskordant: xa > xb & ya < yb

    —>für diese 2 Fälle: negativer Zusammenhang

    • Fall 1: Xa = mittlere Bildung & Ya = mittleres Einkommen

    • Fall 2: Xb = niedrige Bildung & Yb = hohes Einkommen

  • darüber hinaus sind verschiedene andere Ausprägungen möglich (alle gleich, X gleich aber Y ungleich und vice versa)

• je nach Maßzahl unterschiedliche Beachtung/Gewichtung dieser Paarvergleiche – wir betrachten nur Kendall‘s tau b

• ungerichtetes (symetrisches) Zusammenhangsmaß

  • aber: zeigt die Richtung des Zusammenhangs an

  • Wertebereich -1 bis 1

  • -1 perfekter negativer Zusammenhang; 0 = kein Zusammenhang; 1 = perfekter positiver Zusammenhang

• Beispiel:

  in Ehen: Zusammenhang zwischen eigener Bildung und Bildung Partner*in

Grafische/visuelle Analyse

• Darstellung im Streudiagramm

  • X auf X-Achse

  • Y auf Y-Achse

  • jeder Fall stellt einen Punkt im Streudiagramm dar

• Interpretation

  • Verteilung ungefähr entlang einer Geraden => linearer Zusammenhang

    • Steigung der Geraden zeigt Stärke und Richtung

  • Punktewolke => kein Zusammenhang

• symmetrisches Zusammenhangsmaß (keine Variable wird als ursächlich angenommen)

• aber: Aussage über Richtung des Zusammenhangs

  • Wertebereich -∞ bis +∞; je größer der Wert, desto stärker, der neg./pos. Zusammenhang

—> Bedeutung schwierig zu deuten, weil es von der Skalierung abhängt und nicht nomiert ist

• Eigenschaften wie Kovarianz (also symetrisch), aber

  • Wertebereich -1 bis 1

  • -1 perfekter negativer Zusammenhang; 0 = kein Zusammenhang; 1 = perfekter positiver Zusammenhang

—> Normierter Wert von Kovarianz kann gedeutet werden

• Punktewolke

• r mit 0.06 fast bei 0 —> kein Zusammenhang

• Zusammenhang da, weil r fast 1

• Wir haben schon letzte Woche besprochen, dass wir als Maß für einen Zusammenhang die Abweichungen zwischen einer Indifferenztabelle - die zeigt wie die Häufigkeiten aussehen müssten, wenn kein Zusammenhang vorlage – und der Kontingenztabelle – die zeigt wie die Häufigkeiten tatsächlich verteilt sind – messen.

• Je starker die tatsächlich gemessene Verteilung (Kontingenztabelle) von den erwarteten Häufigkeiten (Indifferenztabelle) abweicht, desto stärker ist der Zusammenhang

• Ein Maß, dass das ausdrückt ist Chi-Quadrat

Für jede Zelle:

Zeilensumme * Spaltensumme/Gesamtsumme

• Chi-Quadrat hat einen Wertebereich zwischen 0 und + ∞

• Ein Chi-Quadrat von 0 bedeutet: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen beiden Variablen. Ein Chi-Quadrat von 0 würde nämlich nur dann zustande kommen, wenn die Kontingenztabelle und die Indifferenztabelle exakt gleich wären

• Je weiter entfernt von 0, desto stärker ist der Zusammenhang

• Problem: Es fehlt die Normierung, wir Wissen nicht, was ein “großes” oder “kleines” Chi-Quadrat ist

• Lösung: Cramérs V berechnen

• Cramérs V liegt zwischen 0 und 1. Je näher an 1, desto stärker ist der Zusammenhang

• Ein Cramérs V von 0 bedeutet: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den beiden

  Variablen

• 
  

• Bisher haben wir uns mit Maßzahlen beschäftigt, die nur angeben können ob ein Zusammenhang vorliegt oder nicht und wie stark der Zusammenhang ist

• Einige Maßzahlen können aber zusätzlich noch etwas: Sie können angeben, ob der Zusammenhang zwischen den Variablen positiv oder negativ ist

• Voraussetzung dafür ist, dass die Variablen mindestens eine logische Rangfolge haben – also mindestens ordinal sind

• Die Richtung des Zusammenhangs drückt man am besten in einem Je desto Satz aus, zum

  Beispiel “Je höher das Einkommen, desto höher ist die Lebenszufriedenheit”

• Maßzahlen die die Richtung des Zusammenhangs angeben können sind z.B.: Pearson’sche Korrelation, Kendalls 𝑇𝑎𝑢𝑏 oder der Regressionskoeffizient

• Positive Zusammenhänge bedeuten: Mehr von der einen Variable geht tendenziell mit mehr von der anderen Variable einher. Je mehr x, desto mehr y.

• Negative Zusammenhänge bedeuten: Mehr von der einen Variable geht tendenziell mit weniger von der anderen Variable einher. Je mehr x, desto weniger y

• Die Richtung des Zusammenhangs kann mit einem Je/Desto-Satz beschrieben werden, z.B.: Je mehr investierte Lernzeit, desto besser ist das Testergebnis im Deutschtest. Je mehr Stunden Sport pro Woche, desto geringer das Körpergewicht.

• Ob ein positiver oder negativer Zusammenhang vorliegt, lässt sich oft schon grafisch erkennen

• Bei einem positiven Zusammenhang verläuft die Punktwolke von unten links (niedrig-niedrig) nach oben rechts (hoch – hoch)

• Bei einem negativen Zusammenhang verläuft die Punktwolke von oben links (niedrig – hoch) nach unten rechts (hoch – niedrig)

• Wir wollen aber natürlich keine grafische sondern eine mathematische Zusammenfassung, deswegen berechnen wir Maßzahlen. Eine Maßzahl die ausdrückt ob ein Zusammenhang vorliegt, wie stark er ist und welche Richtung er annimmt ist der Korrelationskoeffizient und damit verbunden die Kovarianz

• Kombinationen aus positiven und negativen Werten (über- und unterdurchschnittlichen Ausprägungen) weisen auf negative Korrelationen hin: Viel vom einen, wenig vom anderen

• Kombinationen aus positiven und positiven Werten (oder negativen und negativen Werten) weisen auf positive Korrelationen hin: Viel vom einen, viel vom anderen

• Die Kovarianz ist die Vorstufe zur Korrelation

• Wertebereich [-∞, + ∞], kann angeben ob ein Zusammenhang positiv oder negativ ist

• Je höher der Wert, desto stärker ist der Zusammenhang

• Problem: Keine Normierung, deshalb schwer zu beurteilen ob ein Zusammenhang stark oder schwach ist (gleiches Problem wie bei der Varianz!) – schlecht interpretierbar

• Aus der Kovarianz lässt sich aber ein normiertes Maß berechnen – die Pearson’sche Korrelation

• Es gibt (un)gerichtete ((a)symmetrische) Zusammenhangsmaße und es gibt Zusammenhangsmaße, die die Richtung des Zusammenhangs angeben können - beides sind aber unterschiedliche Dimensionen

• Die pearson’sche Korrelation kann die Richtung eines Zusammenhangs (positiv/negativ) angeben

• Die pearson’sche Korrelation bleibt immer gleich – egal welche Variable ich als unabhängig und welche

  ich als abhängig verwende – sie ist deshalb ein symmetrisches=ungerichtetes Zusammenhangsmaß

• Cramérs V kann nicht die Richtung eines Zusammenhangs angeben und ändert sich nicht, je nachdem welche Variable als abhängig und welche als unabhängig betrachtet wird, ist also auch ungerichtet

• Die Odds können nicht die Richtung eines Zusammenhangs angeben, aber ändern sich, je nachdem welche Variable als abhängig und welche als unabhängig betrachtet wird, ist also gerichtet!