Was ist Trichotomie?
für alle x aus R gilt:
0 < x
0 = x
0 < -x
Was ist die Abgeschlossenheit bezüglich Addition?
für alle x,y aus R gilt:
wenn 0 < a und 0 < b => 0 < a+b
Was ist Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation?
0 < a und 0 < b => 0 < a*b
Was ist die Kleiner-Relation?
x < y => 0 < y-x
x < oder = y => x < y oder x = y
Was ist das Archimedisches Axiom?
für alle x,y aus R>0 ex. ein n aus N: n*x > oder = y
<=> 0 < 1/n < oder = x/y
Was ist das Maximum einer Menge? Nenne ein Beispiel.
eine reelle Zahl m ist genau dann ein maximales Element einer Menge M, wenn m aus M ist und für alle y aus M gilt: y < oder = m
M=(1,5,7,2,10)
maxM = 10 (größtes Element aus M)
Was ist das Minimum einer Menge? Nenne ein Beispiel.
eine reelle Zahl m ist genau dann ein minimales Element einer Menge M, wenn m aus M ist und für alle y aus M gilt: y > oder = m
M=(1,4,2,0)
minM = 0
Was ist eine obere Schranke? Nenne ein Beispiel.
eine reelle Zahl u ist genau dann eine obere Schranke einer Menge M, wenn für jedes y aus M gilt: y < oder = u
M=(1,6,2,2,4,7)
obere Schranken: 7,10,1000
Was ist eine untere Schranke? Nenne ein Beispiel.
eine reelle Zahl v ist genau dann eine untere Schranke einer Menge M, wenn für alle y aus M gilt: v < oder = y
M=(1,2,3,4,5)
untere Schranken: 1,0,-1,-100
Wann ist eine Schranke die kleinste obere Schranke? Wie nennt man diese?
eine reelle Zahl s ist genau dann ein Supremum einer reellen Menge M, wenn
für jedes y aus M gilt: y < oder = s
keine Zahl x < s eine weitere obere Schranke von M ist, d.h. für alle x < s gibt es mindestens eine Zahl y aus M mit x < y
für alle e>0 ex. ein y aus M: s-e < y
Was ist eine größte untere Schranke und wie nennt man diese?
eine reelle Zahl i ist genau dann ein Infimum einer reellen Menge M, wenn
für jedes y aus M gilt: y > oder = i
keine Zahl x > i eine weitere untere Schranke von M ist, d.h. für alle i < x gibt es mindestens eine Zahl y aus M mit y<x
für alle e>0 ex. ein y aus M: i + e > y
Wie viele Suprema und Infima kann es von einer Menge geben? Beweise.
Supremum und Infimum sind eindeutig, d.h. es gibt in einer Menge höchstens ein Supremum und ein Infimum
Annahme: es gibt 2 Suprema einer Menge M
beide haben folgende Eigenschaften:
s1 und s2 sind obere Schranken von M
keine Zahl kleiner als s1 und s2 ist eine weitere obere Schranke von M
da s2 eine obere Schranke von M ist, kann s2 nicht kleiner als s1 sein und muss somit größer oder gleich s1 sein
da s1 eine obere Schranke von M ist, kann s1 nicht kleiner als s2 sein und muss somi größer oder gleich s2 sein
also gilt s1 < oder = s2 und s2 < oder = s1
daraus folgt: s1 = s2
Infimum wird analog bewiesen
Was ist das uneigentliche Supremum?
eine Menge M ist nach oben unbeschränkt, wenn sie keine obere Schranke besitzt, wenn es also für alle reellen s ein reelles x aus M mit s < x gibt
supM = + unendlich (uneigentliches Supremum)
Was ist eine Folge?
eine reelle Folge in R ist eine Funktion von den natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen
also f: N -> R, n -> f(n):= an aus R
man schreibt sie auch: (an)n aus N
Was ist eine Folgekonvergenz?
wozu ist die “Aussage” logisch gleichwertig?
eine reelle Zahlenfolge (an)n aus N konvergiert gdw. es ein g aus R gibt mit:
für alle e>0 ex. ein n0 aus N für alle n>n0 : / an - g / < e
/ an - g / < e
<=> -e < an - g < e
<=> g-e < an < g + e
Wie kann man die Konvergenz noch bezeichnen?
Wie nennt man es, wenn eine Folge nicht konvergiert?
Limes der Folge (an)n aus N mit n strebt gegen unendlich ist gleich g
eine nicht konvergente Folge divergiert
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