Die Umströmung eines Kreiszylinders soll potentialtheoretisch betrachtet werden. Wieviele Staupunkte besitzt diese Strömung und wo befindet/befinden sich diese(r) genau? Welche Aussage lässt sich bezuglich des Widerstands des Kreiszylinders in der Strömung daraus ableiten? Begrunden Sie Ihre Antwort!
Potentialströmung / Kreiszylinderunströmung
Die Umströmung eines Kreiszylinders lässt sich potentialtheoretisch als Uberlagerung einer Parallelströmung und eines Dipols darstellen. Die Umströmung ist symmetrisch bezuglich beider Achsen, also der x–Achse und der y–Achse. Folglich gibt es zwei Staupunkte, einer vorne (ϕ = 180°) und einer hinten (ϕ = 0°). Aufgrund der beschriebenen Symmetrie ist die Druckverteilung auf der Vorderseite identisch zur Druckverteilung auf der Ruckseite, so dass der Druckwiderstand gleich Null ist. Einen Reibungswiderstand gibt es in der Potentialtheorie sowieso nicht, so dass der Gesamtwiderstand gleich Null ist (d’Alembertsches Paradoxon, 1753).
Bei der Durchströmung einer Laval–Duse gibt es zwei Strömungsfälle, bei denen die gesamte Strömung isentrop verläuft. Welche beiden Fälle sind dies und wodurch unterscheiden sich diese beiden Fälle hinsichtlich zweier charakteristischer Eigenschaften?
Laval–Duse
Folgende zwei Fälle sind hier zu unterscheiden:
• Isentrope Unterschall–Durchströmung der gesamten Duse (Ma < 1): Bei kleinem Druckverhältnis p/p_0 zwischen Druck am Dusenauslass und Kesseldruck wird die Schallgeschwindigkeit im engsten Querschnitt der Duse nicht erreicht. Folglich wird dann auch im divergenten Teil der Duse keine Überschallströmung mehr erreicht.
• Isentrope Überschall–Strömung in der Duse (Ma > 1: Bei hinreichend großem Druckverhältnis p/p_0 zwischen Druck am Düsenauslass und Kesseldruck wird die Schallgeschwindigkeit im engsten Querschnitt der Duse erreicht. Folglich wird dann auch im divergenten Teil der Duse eine Überschallströmung vorliegen.
Die Blasius–Lösung beschreibt die Geschwindigkeitsverteilung in einer laminaren Grenzschicht über einer längs angeströmten ebenen Platte. Aufgrund der Stokes’schen Haftbedingung ist die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u an der Wand gleich Null. Welche zwei Aussagen können Sie über die wandnormale Geschwindigkeitskomponente v an der Wand treffen? Begründen Sie Ihre Aussagen physikalisch!
Wandnormale Geschwindigkeitskomponente in laminarer Grenzschicht
Folgende zwei Aussagen sind möglich:
1. Aufgrund der Impermeabilität (Undurchlässigkeit) der Platte muss die wandnormale Geschwindigkeitskomponente v an der Wand ebefalls Null sein, also v|w = 0 an der Wand.
2. An der Wand ist die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u gleich Null und damit gilt auch ∂u/∂x = 0 an der Wand. Setzt man dies in die Massenerhaltungsgleichung ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 ein, so folgt: ∂v/∂y|w = 0 an der Wand, d.h. der Gradient der wandnormalen Geschwindigkeitskomponente ist an der Wand ebenfalls Null
Der sogenannte Magnus–Effekt bei der Umströmung eines Kreiszylinders soll potentialtheoretisch betrachtet werden. Wieviele Staupunkte besitzt diese Strömung auf der Kontur und wovon hängt dies ab? Welche Aussage lässt sich bezuglich des Widerstands des Kreiszylinders in der Strömung treffen? Begrunden Sie Ihre Antwort!
Potentialströmung / Magnus–Effekt
Die Umströmung eines Kreiszylinders mit Magnus–Effekt lässt sich potentialtheoretisch als Überlagerung einer Parallelströmung, eines Dipols und eines Potentialwirbels mit der Zirkulation Γ darstellen. Die Lage und Anzahl der Staupunkte hängt von der Zirkulation Γ ab. Drei Fälle sind zu unterscheiden:
1. Zirkulation Γ gleich Null oder klein: Im Fall von Γ = 0 gibt es zwei Staupunkte (A und B), einer vorne (ϕ = 180° ) und einer hinten (ϕ = 0° ). Mit der Zunahme von Γ wandern diese aufwärts.
2. Es gibt einen Grenzfall fur die Zirkulation Γ bei dem beide Staupunkte bei ϕ = 90° zusammenfallen, d.h. es gibt nur noch einen Staupunkt.
3. Oberhalb dieses Grenzwertes von Γ gibt es keinen Staupunkt mehr auf der Kontur des Kreisyzlinders.
Auch mit Zirkulation ist die Druckverteilung auf der Vorderseite identisch zur Druckverteilung auf der Ruckseite, so dass der Druckwiderstand gleich Null ist. Einen Reibungswiderstand gibt es in der Potentialtheorie sowieso nicht, so dass der Gesamtwiderstand wie beim Kreiszylinder ohne Magnus–Effekt gleich Null ist (d’Alembertsches Paradoxon, 1753).
Betrachtet werde die Geschwindigkeitsverteilung in einer turbulenten Grenzschicht über einer längs angeströmten ebenen Platte. Aufgrund der Stokesschen Haftbedingung ist die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u an der Wand gleich Null. Welche zwei Aussagen können Sie uber die wandnormale Geschwindigkeitskomponente v an der Wand treffen? Begrunden Sie Ihre Aussagen physikalisch!
Wandnormale Geschwindigkeitskomponente in turbulenter Grenzschicht
Analog zum laminaren Fall sind folgende zwei Aussagen möglich:
2. An der Wand ist die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u gleich Null und damit gilt auch ∂u/∂x = 0 an der Wand. Setzt man dies in die Massenerhaltungsgleichung ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 ein, so folgt: ∂v/∂y|w = 0 an der Wand, d.h. der Gradient der wandnormalen Geschwindigkeitskomponente ist an der Wand ebenfalls Null.
Zwei Überschallflugzeuge überfliegen gleichzeitig und in gleicher Höhe h = 300 m einen ruhenden Beobachter am Boden. Flugzeug 1 fliegt mit Mach–Zahl Ma_1 = 2. Flugzeug 2 ist doppelt so schnell und bewegt sich mit Mach–Zahl Ma_2 = 4. Die Schallgeschwindigkeit soll c = 300 m/s betragen. Welches Flugzeug ist vom Beobachter akustisch eher wahrzunehmen? Begrunden Sie Ihre Antwort!
Überschallflugzeuge
Flugzeug 1 legt die Strecke ∆x_1 zuruck, ehe der Beoachter in den zugehörigen Machschen Kegel eintaucht und das Flugzeug akustisch wahrnehmen kann. Die Strecke lässt sich wie folgt ausdrucken: ∆x_1 = u_1 *∆t_1 = Ma_1 *c *∆t_1 Mit dem geometrischen Zusammenhang tan α_1 = h/∆x_1 und dem Machschen Winkel α_1 = arcsin(1/Ma_1) folgt fur die Zeit: ∆t_1 = h *Ma_1 *c *tan(arcsin(1/Ma_1)) = 0.866 s Analog gilt fur Flugzeug 2: ∆t_2 = h*Ma_2*c tan(arcsin(1/M a_2)) = 0.968 s > ∆t_1 Folglich hört man das schnellere Flugzeug etwas später als das langsame!
Gegeben sei ein zweidimensionales Strömungsfelds eines inkompressiblen Fluids. Die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten hierfur lauten:
u = x /(x^2 + y^2 )
v = y /(x^2 + y^2 )
Weisen Sie rechnerisch nach, dass dieses Strömungsfeld die Bedingung der Divergenzfreiheit (Massenerhaltung) erfullt!
Potentialtheorie
Die Bedingung der Divergenzfreiheit ist erfullt, wenn die Massenerhaltungsgleichung für ein inkompressibles Fluid erfullt ist. Diese lautet für eine zweidimensionale Strömung mit kartesischen Geschwindigkeitskomponenten:
∂u/∂x + ∂v/∂y = 0
Die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten lauten:
u = x /(x^2 + y^2)
v = y/ (x^2 + y^2 )
Mittels der Quotientenregel (⋆) lauten die einzelnen Ableitungen:
∂u/∂x = 1 · (x^2 + y^2 ) − x · 2 x /(x^2 + y^2 )^2 = − (x^2 − y^2 ) /(x^2 + y^2 )^2
∂v/∂y = 1 · (x^2 + y^2) − y · 2 y/ (x^2+ y^2 )^2= + (x^2 − y^2 ) (x^2 + y^2 )^2
Betragsmäßig sind beide Beiträge gleich groß, aber sie haben unterschiedliche Vorzeichen, so dass die Summe beider Beiträge zu Null wird. Folglich ist die Bedingung der Divergenzfreiheit erfullt.
Anmerkung: (⋆): Quotientenregel: (a/b) ′ = (a ′ · b − a · b ′) /b^2
Gegeben seien eine laminare und eine turbulente Grenzschicht auf einer ebenen Platte. In welcher Grenzschicht ist die Verdrängungsdicke bezogen auf die Grenzschichtdicke größer? Begrunden Sie Ihre Antwort!
Verdrängungsdicke bezogen auf Grenzschichtdicke
Die Verdrängungsdicke δ_1 bezogen auf die Grenzschichtdicke δ ist im Fall der laminaren Grenzschicht deutlich größer als im turbulenten Fall. Konkret gilt (Zahlenwerte nicht gefordert!):
laminar: δ_1/δ ≈ 0.344
turbulent: δ1/δ ≈ 0.125
Begrundung: Die turbulenten Schwankungsbewegungen in der turbulenten Grenzschicht fuhren zu einem im Vergleich zur laminaren Grenzschicht deutlich völligeren Geschwindigkeitsprofil (siehe Skizze). Folglich wird im turbulenten Fall weniger Masse von der Wand abgedrängt und die Verdrängungsdicke δ_1/δ fällt signifikant kleiner aus.
Eine Laval-Duse sei an einen großen Druckkessel angeschlossen. Luft strömt aus dem Kessel durch die Duse ins Freie. Mit fortschreitender Zeit leert sich der Kessel langsam. Dabei wird zu einem bestimmten Zeitpunkt t = t_1 ein senkrechter Verdichtungsstoß am Dusenauslass beobachtet. Was geschieht mit dem Verdichtungsstoß fur t > t_1?
Begrunden Sie Ihre Antwort!
Verdichtungsstoß in Laval-Duse
Die Lage des Stoßes wird durch das Druckverhältnis zwischen dem Umgebungsdruck p_a und dem Gesamtdruck p_0 im Kessel bestimmt. Im vorliegenden Fall ist p_a fest. Durch die langsame Leerung des Druckkessels sinkt der Gesamtdruck p_0 im Kessel mit der Zeit ab. Zum Zeitpunkt t = t_1 wird der Stoß am Dusenauslass beobachtet. Für t > t_1 ist p_a weiterhin fest, während p_0 weiter absinkt. Das Verhältnis p_a/p_0 steigt folglich an. Wie in den untenstehenden Skizzen dargestellt, wandert dabei der Verdichtungsstoß in Richtung des Dusenhalses, bis schließlich kein Verdichtungsstoß mehr existiert, wenn der Stoß im engsten Querschnitt angekommen ist.
Eine zweidimensionale Potentialströmung wird betrachtet. Die Skizze zeigt einige Aquipotentiallinien dieses Strömungsfeldes. Zeichnen Sie einige Stromlinien in diese Skizze ein und begrunden Sie, warum Sie diese so gezeichnet haben!
Potentialtheorie / Stromlinien
Gemäß der Theorie der Potentialströmungen stehen Stromlinien (ψ = konst.) und Aquipotentiallinien (φ = konst.) senkrecht aufeinander. Insofern ist es einfach, in der Skizze einige Stromlinien zu ergänzen. Die Linien (blau) mussen einen rechten Winkel mit den roten Stromlinien bilden. Dargestellt ist eine klassische Staupunktströmung.
Ein symmetrisches Tragflugelprofil wird im Windkanal untersucht. Bei einem Anstellwinkel von 0 Grad (Anstellwinkel = Winkel zwischen der ungestörten Anströmung und der Symmetrieachse des Profils) löst die Strömung nicht ab. Dann wird der Anstellwinkel langsam erhöht und nahe der Hinterkante ist eine Ablösung der Strömung zu beobachten. Auf welcher Seite des Profils (Oberseite oder Unterseite) erwarten Sie die Ablösung? Warum ist auf der anderen Profilseite keine Ablösung zu erwarten?
Begrunden Sie Ihre Antworten physikalisch
Ablösung der Strömung am Tragflugelprofil
Die Ablösung der Strömung ist auf der Oberseite des Profils zu erwarten. Dort liegt ein positiver (adverser) Druckgradient (dp/dx > 0) vor, d.h. der Druck steigt vom Gebiet der Saugspitze bis zur Hinterkante des Profils wieder an. Die Strömung wird stark verzögert. Zusätzlich zu den viskosen Kräften (molekulbedingter Impulstransport) bremsen also auch die Druckkräfte die Strömung ab. Gemäß der Wandbindungsgleichung ist der positive Druckgradient mit einer positiven Krummung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand verbunden.
Ist der Druckgradient hinreichend groß, kann es zu einer Umkehrung der Strömungsrichtung, d.h. zur Ablösung mit τ_w < 0 kommen. Auf der Profilunterseite wird die Strömung bei positivem Anstellwinkel beschleunigt. Folglich ist der Druckgradient negativ (dp/dx < 0). Gemäß der Wandbindungsgleichung ist dies mit einer negativen Krummung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand verbunden. Das Profil ist völliger als ein klassisches Blasius-Profil. Die Wandschubspannung steigt entsprechend an und es besteht keine Gefahr, dass die Strömung ablöst.
Wandbindungsgleichung: ν (∂^2u /∂y^2)I y=0 = + 1/ρ (dp/dx)
Die Flächen–Geschwindigkeits–Beziehung besagt, dass im Falle eines inkompressiblen Fluids (z.B. Wasser) eine Querschnittsreduktion bei der Durchströmung einer Rohrleitung zu einer Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fuhrt. Gilt diese Aussage auch im Falle eines kompressiblen Fluids (z.B. Luft)? Begrunden Sie Ihre Antwort ausführlich!
Flächen–Geschwindigkeits–Beziehung
Nein, diese Aussage gilt nicht allgemein.
Man muss den Fall der Unterschallströmung (Ma < 1) und den Fall der Überschallströmung (Ma > 1) klar unterscheiden:
du/u = − 1/(1 − Ma^2) (dA/A)
Bei Unterschall (Ma < 1) verhält sich die Strömung ähnlich wie im Fall der inkompressiblen Strömung, d.h. eine Querschnittsreduktion fuhrt zu einer Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit. Bei Überschall (Ma > 1) drehen sich die Verhältnisse gemäß der obigen Flächen– Geschwindigkeits–Beziehung komplett um, d.h. eine Querschnittsreduktion fuhrt zu einer Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit.
Was bezeichnet man als Magnus-Effekt? Nennen Sie auch ein Beispiel!
Magnus-Effekt
Bei rotierenden Körpern (Zylinder, Ball, ...) tritt eine Seitenkaft auf, die nach dem deutschen Physiker Heinrich Gustav Magnus (1802–1870) ais Magnus-Kraft bezeichnet wird. Potentialtheoretisch lässt sich der Effekt durch Uberlagerung einer Kreiszylinderumströmung (Parallelströmung + Dipol) mit einem Potentialwirbel beschreiben. Anwendungen sind angeschnittene Tennis- oder Fußbälle (”Bananenflanke“) oder der sogenannte Flettner-Rotor.
Wie groß ist die Wandschubspannung am Ablösepunkt? Was können Sie über den Druckgradienten in Hauptströmungsrichtung in der Nähe des Ablösepunktes sagen?
Ablösepunkt
Der Ablösepunkt ist dadurch charakterisiert, dass die Wandschubspannung dort zu Null wird. Im Bereich der Ablösung muss der Druckgradient in Hauptströmungsrichtung positiv sein (dp/dx > 0), da es nur dann zu einer Ablösung kommen kann (siehe Wandbindungsgleichung).
Was bezeichnet man in einer kompressiblen Strömung als kritischen Zustand?
Kritischer Zustand in kompressibler Strömung
Zustand, den eine kompressible Strömung im engsten Querschnitt A^∗ erreichen kann (Ma = 1).
Wie kann man aus einer Unterschallströmung eine Uberschallströmung erzeugen?
Übergang von Unterschall- in Überschallströmung
Hierzu wird eine Laval-Duse benötigt. Im subsonischen Bereich der Strömung muss dazu der Querschnitt kontinuierlich abnehmen (konvergenter Teil der Duse) und im supersonischen Bereich muss sich der Querschnitt kontinuierlich erweitern (divergenter Teil der Duse).
Gegeben ist folgende Stromfunktion:
ψ = 2 a x y mit: a = konst.
Beschreibt diese Stromfunktion eine Potentialströmung? Begrunden Sie Ihre Antwort. Welche Form weisen die Linien konstanten Druckes (Isobaren) in diesem Strömungsfeld auf? (ebenfalls mit Begrundung)
Potentialströmung
Aus der Stromfunktion lassen sich folgende Geschwindigkeitskomponenten bestimmen:
u = ∂ψ/∂y = 2 a x
v = − ∂ψ/∂x = − 2 a y
Vorraussetzung fur eine Potentialströmung ist die Drehungsfreiheit, die im Fall einer zweidimensionalen Strömung lautet:
ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = 0
= 0 − 0 = 0
Folglich ist die Strömung drehungsfrei und damit eine Potentialströmung. In der Potentialströmung gilt die Bernoulli–Gleichung im ganzen Feld:
p + ρ/2 (u^2 + v^2 ) = konst.
p = konst. − ρ/2 (u^2 + v^2 )
p = konst. − ρ/2 (4 a^2 x^2 + 4 a^2 y^2 )
p = konst. − 2 ρ/a^2 (x^2 + y^2)
Eine Isobare liegt vor, falls (x^2 + y^2 ) = konst
→ Kreisgleichung
Linien konstanten Druckes = Kreise um den Koordinatenursprung!
Fur die Geschwindigkeitsverteilung in der turbulenten Grenzschicht einer mit der Geschwindigkeit u_∞ längs angeströmten ebenen Platte (L¨ange L) gilt n¨aherungsweise die Geschwindigkeitsverteilung:
u/u∞ = (y/δ)^1/7
Warum lässt sich die Wandschubspannung nicht mit Hilfe dieses Ansatzes bestimmen?
Geschwindigkeitsverteilung in einer turbulenten Grenzschicht
Die Wandschubspannung ist wie folgt definiert:
τ_w = µ (∂u/∂y) |y=0
Einsetzen des Ansatzes fur die Geschwindigkeitsverteilung liefert:
τ_w = µ u∞ ∂((y/δ)^1/7)/∂y I y=0
= µ u∞ /δ^1/7 *∂(y 1/7)/∂y |y=0
= 1/7 µ u∞ δ^1/7 *y^−6/7 |y=0 → ∞
Fazit: Die Wandschubspannung strebt fur y → 0 gegen unendlich und ist folglich physikalisch nicht sinnvoll!
Skizzieren Sie die Ausbreitung ebener Schallwellen in einer Unter– und in einer Überschallströmung. Kennzeichnen Sie jeweils das von der Druckstörung erfasste Gebiet und tragen Sie den Machschen Winkel in ihre Skizze ein. Wie ändert sich dieser Winkel mit steigender Machzahl?
Ausbreitung von Schallwellen
Für den Machschen Winkel gilt:
α = arcsin 1 /Ma
Folglich wird der Machsche Winkel α mit steigender Mach–Zahl kleiner
Eine zweidimensionale Parallelströmung wird potentialtheoretisch betrachtet. Die Skizze zeigt einige Stromlinien dieses Strömungsfeldes. Zeichnen Sie einige Aquipotentiallinien in diese Skizze ein und begründen Sie, warum Sie diese so gezeichnet haben!
Gemäß der Theorie der Potentialströmungen stehen Stromlinien (ψ = konst.) und Aquipotentiallinien (φ = konst.) senkrecht aufeinander. Insofern ist es einfach, in der Skizze einige Aquipotentiallinien zu ergänzen. Die Linien (blau) mussen einen rechten Winkel mit den roten Stromlinien bilden.
Ein symmetrisches Tragflugelprofil wird im Windkanal untersucht. Bei einem Anstellwinkel von 0 Grad (Anstellwinkel = Winkel zwischen der ungestörten Anströmung und der Symmetrieachse des Profils) löst die Strömung nicht ab. Dann wird der Anstellwinkel langsam erhöht und eine Ablösung der Strömung ist zu beobachten. An welcher Position auf dem Profil erwarten Sie die Ablösung? Wie verhält sich diese, wenn der Anstellwinkel langsam weiter erhöht wird? Begrunden Sie Ihre Antworten physikalisch!
Die Ablösung der Strömung ist auf der Oberseite des Profils nahe der Hinterkante zu erwarten. Dort liegt ein positiver (adverser) Druckgradient (∂p/∂x > 0) vor, d.h. der Druck steigt vom Gebiet der Saugspitze bis zur Hinterkante des Profils wieder an. Die Strömung wird stark verzögert. Zusätzlich zu den viskosen Kräften (molekulbedingter Impulstransport) bremsen also auch die Druckkräfte die Strömung ab. Gemäß der Wandbindungsgleichung ist der positive Druckgradient mit einer positiven Krummung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand verbunden. Ist der Druckgradient hinreichend groß, kann es zu einer Umkehrung der Strömungsrichtung, d.h. zur Ablösung mit τ_w < 0 kommen. Mit zunehmendem Anstellwinkel wird auch der positive Druckgradient größer, weshalb der Ablösepunkt ausgehend von der Hinterkante weiter stromaufwärts wandert und das Ablösegebiet immer größer wird. Wandbindungsgleichung: ν ∂^2 u /∂y^2 I y=0 = + 1/ρ * dp/dx
Luft (κ = 1.4) befindet sich in einem Kessel unter dem Druck p_1 = 5 bar und auf der Temperatur T_1 = 293 K. Es strömt durch eine Offnung mit dem minimalen Querschnitt A_min = 10^(−3) m^2 in die umgebende Atmosphäre mit p_2 = 1 bar (Gaskonstante R = 287 J/(kg K).
Ist die Strömung unter- oder überkritisch? Begründen Sie Ihre Antwort!
Wie ändert sich der Massenstrom ˙m, wenn sich an den minimalen Querschnitt eine trichterförmige Erweiterung bis auf einen Querschnitt A_2 = 9×10^−3 m^2 anschließt? Begrunden Sie Ihre Antwort!
Ausströmen aus Kessel
Das kritische Druckverhältnis beträgt fur Luft ( κ = 1.4) gemäß Tabelle 1 in der Formelsammlung (alternativ: Gl. (6.8) aus Formelsammlung): p ⋆/p1 = 0.528.
Im vorliegenden Falls ist p_2/p_1 = 0.2 < p⋆/p_1. Da der Umgebungsdruck kleiner ist als der kritische Druck, ist die Strömung uberkritisch.
Im engsten Querschnitt wird daher die Schallgeschwindigkeit (Ma = 1) erreicht.
Da die Strömung überkritisch ist, kann der Massenstrom ˙ m = ρ ⋆ c ⋆ A_min durch die anschließende Erweiterung (ahnlich einer Lavalduse) nicht mehr beeinflusst werden. Die Erweiterung verändert zwar die Geschwindigkeitsverteilung hinter dem Auslass, nicht aber den Massenstrom!
Gegeben sei ein zweidimensionales Strömungsfeld eines inkompressiblen Fluids. Die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten hierfur lauten:
u = x/(x^2 + y^2 )
v = y/(x^2 + y^2 )
Weisen Sie rechnerisch nach, dass es sich um eine drehungsfreie Potentialströmung handelt!
Eine Potentialströmung liegt vor, wenn die Bedingung der Drehungsfreiheit erfullt ist. Diese lautet fur eine zweidimensionale Strömung mit kartesischen Geschwindigkeitskomponenten:
ωz = ∂v ∂x − ∂u ∂y = 0
u = x /(x^2 + y^2 ) = x (x^2 + y^2 )^−1
v = y /(x^2 + y^2 ) = y (x^2 + y^2 )^−1
Die einzelnen Ableitungen lauten:
∂v /∂x = − y (x^2 + y^2 )^−2 *2 x = − 2 y x /(x^2 + y^2 )^2
∂u /∂y = − x (x^2 + y^2 )^−2 *2 y = − 2 y x /(x^2 + y^2 )^2
Da beide Beiträge gleich groß sind, ist deren Differenz gleich Null und folglich die Bedingung der Drehungsfreiheit erfullt.
Eine laminare Grenzschicht entwickle sich entlang einer gekrummten Geometrie (z.B. entlang eines Flugels). In bestimmten Bereichen sei der Druckgradient in Hauptströmungsrichtung positiv (dp/dx > 0), in anderen Bereichen dagegen negativ (dp/dx < 0). In welchen der beiden Bereiche kann es zur Strömungsablösung kommen? Begrunden Sie Ihre Aussage unter Angabe der zugehörigen Gleichungen!
Strömungsablösung einer laminaren Grenzschicht
Die laminare Grenzschicht wird nur bei einem positiven Druckgradienten dp/dx > 0 ablösen. Der Zusammenhang folgt aus der sogenannten Wandbindungsgleichung. Dies ist die x–Impulsgleichung angeschrieben fur die Wand selber ( y = 0 : u = 0; v = 0):
Diese verknupft die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem Druckgradienten der Außenströmung. Nur bei einem Druckanstieg in Strömungsrichtung (verzögerte Strömung) ist das Geschwindigkeitsprofil an der Wand konkav ( ∂^2 u /∂ y^2 w > 0) und bei ausreichend starkem Druckgradienten kann es zur Ablösung (τ_w ≤ 0) kommen.
Ein Verkehrsflugzeug fliege in einer Höhe h = 10 000 m bei einer Geschwindigkeit entsprechend einer Mach-Zahl von Ma = 0.85. Wie sieht fur diesen Fall der Machsche Kegel aus? Begrunden Sie Ihre Antwort!
Richtig ist, dass es im Fall der Unterschallgeschwindigkeit gar keinen Machschen Kegel gibt. Dies zeigt auch die untenstehende Skizze fur den Unterschall–Fall. Das Flugzeug bewegt sich mit einer Geschwindigkeit u = Ma *c, also u < c, wobei c die Schallgeschwindigkeit ist. Die einzelnen Schallwellen bilden in diesem Fall keine zusammenhängende Front, also keinen Machschen Kegel.
Der Winkel des Machschen Kegels ist definiert durch: α = arcsin (1 /Ma) Für den Fall Ma = 0.85 ist der Arcus-Sinus gar nicht definiert.
Bei Anwendung der Bernoulli–Gleichung fällt im Rahmen der Potentialtheorie eine Einschränkung weg, die bei nicht-potentialtheoretischen Betrachtungen von Strömungsproblemen beachtet werden muss. Welche Einschränkung ist dies und welche Konsequenz hat dies für die Verwendung der Bernoulli–Gleichung?
Bernoulli–Gleichung in der Potentialtheorie
• Die Bernoulli–Konstante hat bei einer Potentialströmung im ganzen Strömungsfeld den selben Wert!
• Folglich kann die Bernoulli–Gleichung nicht mehr nur entlang von Stromlinien, sondern zwischen beliebigen Punkten im Strömungsfeld eingesetzt werden!
Nennen Sie mindestens vier charakteristische Eigenschaften turbulenter Strömungen!
Charakteristische Eigenschaften turbulenter Strömungen
Mögliche Lösungen sind:
• zeichnen sich durch chaotische Fluidbewegungen aus
• instationär
• dreidimensional
• wirbelbehaftet
• unregelmäßig in Ort und Zeit
• geordnete, kohärente Strukturen können dennoch vorhanden sein
• mischungsintensiv: hoher Impuls–, Wärme– und Stoffaustausch
• durch Molekularbewegung hervorgerufene Diffusionsvorgänge sind gegenuber turbulenten Diffusionsprozessen vernachlässigbar
• dissipativ: Umwandlung der mechanischen Energie in Wärme
Das dargestellte Diagramm zeigt zwei mögliche Druckverläufe entlang einer Laval– Duse. Welche Fälle beschreiben die Kurven 1 und 2?
Zeichnen Sie außerdem qualitativ den Druckverlauf ein, wenn an der Stelle S ein senkrechter Verdichtungsstoß entsteht!
Druckverlauf in Laval–Duse
Die Kurve 1 zeigt den Druckverlauf durch die Laval–Duse im Fall einer reinen (isentropen) Unterschalldurchströmung. Das Druckverhältnis zwischen dem Druck am Auslass der Duse und dem Ruhedruck ist nahe eins. Die Kurve 2 zeigt den Druckverlauf durch die Laval–Duse im Fall einer (isentropen) Überschalldurchströmung im divergenten Teil der Duse. Dies ist der Auslegungsfall für die Düse. Das Druckverhältnis ist im Vergleich zum Fall der Unterschallströmung deutlich kleiner. Wenn an der Stelle S ein senkrechter Verdichtungsstoß auftritt, so steigt der Druck uber diesen Verdichtungsstoß schlagartig an. Hinter dem Verdichtungsstoß liegt wieder eine Unterschallströmung vor, die im weiteren Verlauf der Duse weiter verzögert wird. Der Druck nähert sich dann dem vorgegebenen Druck am Auslass der Duse an.
Welche Konsequenz ergibt sich aus der Linearität der Laplace-Gleichung fur die Potentialfunktion φ?
Linearität der Laplace-Gleichung fur die Potentialfunktion Die Potentialgleichung ist im Gegensatz zu den Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen linear, d.h. man kann Lösungen superponieren. Folglich ist das Superpositionsprinzip gultig und neue Lösungen lassen sich durch die Superposition der Elementarlösungen darstellen.
Welche Besonderheit gilt fur die Bernoulli-Gleichung in der Potentialtheorie?
Bernoulli-Gleichung in der Potentialtheorie
In der Potentialtheorie gilt die Bernoulli-Gleichung nicht wie sonst üblich nur entlang einer Stromlinie, sondern zwischen zwei beliebigen Punkten im Strömungsfeld.
Welche zwei Randbedingungen mussen für die Geschwindigkeit an einer undurchlässigen Wand in einer reibungsbehafteten und in einer reibungsfreien Strömung jeweils gesetzt werden? Begrunden Sie Ihre Antworten!
Wandrandbedingungen in reibungsbehafteter und reibungsfreier Strömung
In reibungsbehafteter Strömung haftet das Fluid an der Wand (Stokessche Haftbedingung: v_tang = 0). Folglich ist die wandtangentiale Geschwindigkeit gleich Null. Außerdem muss bei einer undurchlässigen Wand auch die wandnormale Geschwindigkeit gleich Null sein (v_normal = 0, kein Massenstrom durch die Wand). Diese zweite Bedingung muss auch fur den reibungsfreien Fall gelten. Allerdings kann die Stokessche Haftbedingung in diesem Fall nicht erfullt werden. Vielmehr gilt die sogenannte Slip-Bedingung, nach der die tangentiale Geschwindigkeit ungleich Null wird, genau genommen, aber nicht ungbedingt als Lösung gefordert: ∂v_tang/∂n = 0.
Wie sind Ruhegrößen in einer kompressiblen Strömung definiert? Nennen Sie auch ein Beispiel, wo man Ruhegrößen vorfindet.
Ruhegrößen in kompressibler Strömung Der Ruhezustand (Geschwindigkeit gleich Null) dient als Referenzzustand in kompressiblen Strömungen, beispielsweise die Strömung aus einem großen Kessel/Reservoir. Ruhegrößen sind die entsprechenden Strömungsgrößen. Sie sind konstant in isentroper Strömung. Auch im Staupunkt eines umströmten Körpers findet man die Ruhegrößen vor.
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