… ist ein Prinzip der Statik

• Vorraussetzung:

  —> Ein System (Körper) befindet sich unter der Wirkung von Kräften (Oberflächenkräfte und Massenkräfte) im Gleichgewicht.

• Dem Körper wird ein mit den Auflagerrestriktionen kompatibles virtuelles Verschiebungsfeld σu aufgeprägt.

Die Arbeit der äußeren (eingeprägten) Kräfte an der virtuellen Verschiebung ist gleich der Arbeit der Spannung an den virtuellen Verzerrungen.

An diesem Beispiel erkennt man, dass die Auflagekraft einfach bestimmt werden kann, indem man die äußere Last F mit den eingeprägten Schnittlasten Av und dwa ins Verhältnis bringt.

Das bringt man ins Verhätnis und bekommt die Arbeit in der äußerern Kraft an der virtuellen Verschiebung. Die virtuelle Verschiebung steht im Gleichgewicht der Arbeit der Auflagekraft und der virtuellen Gegenlast.

Zusätzlich haben wir zwei kinematischen Bedingungen Winkel*Länge = dwF. Wenn man das einsetzt

dann kann man sich einen gedachten delta phi also ein Winkel denken, das wäre dann die virtuelle Verschiebung.

Durch die virtuelle Verschiebung kommen wir zu diesem Klammerausdruck

der Klammerausdruck muss null sein oder dphi=null was trivial wäre und wenn wir das umformen bekommt man die Auflagekraft Av.

Das grundzätzliche Prinzip der FEM der virtuellen Verrückung, ist ein Prinzip aus der Mechanik das die äußere Arbeit = der inneren Arbeit gleichstellt. Daraus entsteht dann die Gleichung K*U=R

• Man muss zuerst für ein Element die Spannung einbauen, die innere Arbeit ist ja die Arbeit der Spannung an der virtuellen Verzerrung

• Das Hookesche Gesetz σ=E⋅ϵ

  • im inneren hat man Spannungen und Verzerrungen und im äußeren hat man Kräfte*Weg

Das kann man auch in eine Matrizielle Schreibweise aufschreiben -die hat er im Video aber nicht gezeigt. ||

Wenn wir dann diese Punkte haben:

können wir das alles in solchen Vektoren umschreiben und man bekommt so eine Gleichung, wenn man das zusammenführt.

Das ist nichts anderes als das Hookesche Gesetz

C als Elastizitätsmatrix(Hier steckt der Werkstoff des Elementes drin) dargestellt, diese wird mit einer Epsilon-Matrix multipliziert.

Dann baut man so eine virtuelle Arbeitsmatrix auf und multipliziert die C Matrix mit der transpornierten Matrix-Epsilon und nochmal mit der normalen Matrix-Epsilon.

Man erhält dann einen Skalaren-Ausdruck heraus.

In anderen Worten, man hat immer Matrizenformulierenungen von Spannungen, virtuellen Dehnungen etc…

Das kann man jetzt für den 4 Knoten Element durchführen

Diese Polynome stecken Matriziell in der oberen Gleichung drin

Man erhält die Verschiebung, wenn man die H (Verschiebungsinterpolationsmatrix) - da sind alle alpha0+….. enthalten * Die großen Buchstaben die pink markiert sind multipliziert.

Dann kann man diese Funktion ableiten und man bekommt das

Die Verzerrung ist dann die Ableitungsmatrix* die Verschiebungen außen. Das kann man kürzen mit B und B ist die Verzerrungs-Verschiebungsmatrix

Wenn man alles einsetzt bekommt man sowas heraus (oben) unter Berücksichtigung aller virtuellen verschiebungen B transporniert* B * C

B ist nicht anderes als die Ableitung der Formfunktion.

und dann bekommt man sowas raus

das ergibt dann K ~ Elementsteifigkeitsmatrix

K = vom Element

k = vom ganzen System