Wichtige Aspekte der Symmetrie als Unterrichtsstoff: (5)
Formaspekt
wie lassen sich symmetrische Formen charakterisieren?
ästhetischer Aspekt
Regelmäßigkeit, Fast-Achsensymmetrie in der Natur
ökonomischer Aspekt
Symmetrische Strukturen bieten oft Möglichkeit zur Deduktion von Kraft- und Denkaufwand
arithmetischer Aspekt
Zahlen und Operationen lassen sich durch symmetrische Punktmuster darstellen (Punktefeld, gerade-ungerade Zahl...)
algebraischer Aspekt
Durch Kombination der Abbildungen lassen sich aus zwei Symmetrien weitere ableiten
Ziele Symmetrieverständnis
eine Beschreibung kennen
Beispiele und Gegenbeispiele kennen
Symmetrien an Beispielen identifizieren
Symmetrien konstruieren
Symmetrieeigenschaften zum Problemlösen nutzen
(Symmetrien klassifizieren)
Definition Symmetrisch
“Ein Ding ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation aussetzen kann und es danach als genau das gleiche erscheint wie vor der Operation.“(Feynman nach Herrmann Weyl)
Mathematisch formuliert: Eine Figur ist symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird
Symmetrie: Eigenschaft einer Figur!
Was heißt “kongruent”?
Zwei Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie bis auf ihre Lage im Raum übereinstimmen
Äquivalent dazu: Zwei Figuren heißen kongruent, wen sie sich durh Verschieben, Drehen und/der “Umklappen” zur Deckung bringen lassen
Konruent = keine Eigenschaft EINER Figur —> Vergleich von 2 FIguren
Was sind Kongruenzabbildungen?
Abbildungen, die Geraden ind Geraden abbilden und die Größe von Längen und Winkeln unverändert lassen (d.h. geraden-, längen-, winkeltreu sind)
—> Achsenspiegelungen, Drehungen, Verschiebungen (Punktspiegelungen, Schubspiegelungen)
Typen von Kongruenzabbildungen in der Grundschule
Achsenspiegelungen
Drehungen
Verschiebungen
Orientierung bei Kongruenzabbildungen
orientierungserhaltend
orientierungsumkehrend (Achsenspiegelung)
Charakterisierung der Kongruenzabbildungen
Achsenspiegelung
Gerade (Spiegelachse) —> Orientierung ändert sichc
Drehung
Drehzentrum und Drehwinkel (gegen den Uhrzeigersinn)
Verschiebung (Translation)
Verschiebevektor
Punktspiegelung
Spiegelpunkt. Punkt und BIldpunkt liegen aud einer Geraden durch de Spiegelpunkt mit selbem Abstand zum Spiegelpunkt
Dreispiegelungssatz
Jede Kongruenzabbildung kann als Hintereinanderausführung von höchstens drei Achsenspiegelungen dargestellt werden
Hierbei gibts auch
Drehung (um drei Punkte)
Verschiebung
Schubspiegelung
Merkamale Achsensymmetrischer Figuren
· Es gibt eine Symmetrieachse.
· Zu jedem Punkt gibt es einen symmetrischen Punkt (Bildpunkt).
· Jeder Punkt der Figur hat den gleichen Abstand zur Symmetrieachse wie sein Bildpunkt (Spiegelpunkt).
· Die Figur ist invariant bzgl. der Spiegelung an der Achse. Die Figur zerfällt auf natürliche Weise in zwei deckungsgleiche Teile.
· Alle Punkte der Figur, die auf der Symmetrieachse liegen, werden auf sich selbst abgebildet
Merkmale drehsymmetrischer Figuren
Es gibt ein Drehzentrum und einen Drehwinkel
Figur ist invariant unter dieser Drehung
zu jedem Punkt gibt es mehrere symmetrische Punkte
Jeder Punkt hat selben Abstand zum Zentrum wie die zu ihm symmetrischen Punkte
Drehsymmetrische Figuren haben maximal einen Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird —> Drehzentrum
Merkmale translationssymmetrischer Figuren
Vektorverschiebung
Zu jedem Punkt gibt es unendlich viele symmetrische Punkte
Typische Fehler - Symmetrie
Achsensymmetrie wird nicht erkannt
Fehlende Achsen
Einzeichnen zusätzlicher vermeinticher Achsen
Typische Fehler - Achsenspiegelung
Spiegelfigur nicht kongruent (v.a. bei schrägen Linien der FIgur)
Spiegleung an einer gedahten Achse und Verschiebung
Spiegelung an einer gedachten horizontalen Achse
Schwierigkeitsgenerierende Merkmale bei Aufgaben zur Achsenspiegelung
didaktischer Zugang über symmetrische Figuren
Anknüpfen an Vorerfahrungen der Kinder
zentral: ästherischer Aspekt symmetrischer Figuren, der an vielen Beispielen betrachtet wird
Zugang über Kongruenzabbildungen: Achsenspiegelung
ANknüpfung an Handlungserfahrung der Kinder
Faltübungen, Spiegel
Begriffsverständnis von Symmetrie (nach Winter, Vollrath, Hollanf)
Intuitives Begriffsverständnis
Spiegeln, ggf. Klecksbild
Inhaltliches Begriffsverständnis
Symmetrische Figuren beschreiben
Symmetrieeigenschaften prüfen, Symmetrieachse einzeichnen
Bilder/Figuren hinsichtlich Symmetrieeigenschaften überprüfen
Integriertes Begriffsverständnis
Bilder und dere Spiegelbilder erzeugen
· Formales Begriffsverständnis
o Einbettung in einen axiomatischen Aufbau der Geometrie
Variation des Schwieigkeitsgrades
Verzicht auf das Kästchengitter oder Punktegitter als Zeichenhilfe, u.U. unter Nutzung des Geodreiecks. Nutzung nicht-rechteckiger Punktegitter.
Betrachtung von Figuren bzw. Spiegelungen bei denen die Achse nicht parallel oder senkrecht zum Grundmuster liegt.
Auch das Spiegeln von Figuren, die von der Symmetrieachse („unsymmetrisch“) geschnitten werden ist schwierig.
Eigenständige Konstruktion („Ausdenken“) von Figuren mit einer, zwei, drei, vier… Symmetrieachsen
Bandornamente
Streifenmuster, denen ein Muster oder ein Motiv nach beiden Seiten periodisch wiederholt wird
Verschiebung parallel zum Streifen
Parkette
Parkettieren = Abdecken der Ebene mit kongruenten Ausgangsfiguren ohne Lücken und Überlappungen
Periodische Parkette: Grundfigur, die aus einer oder mehreren Teilen besteht (kleinster Teil, mit dem man durch Verschiebung in mindestens zwei verschiedene Richtungen Parkett erzeugen kann
Einfache Parkette
Grundfigur: Polygon
Platonische Parkette
Grundfiguren sind regelmäßig, Ecken, die immer Seite an Seite liegen
Archimedische Parkette
Grundfiguren sind mindestens zwei verschiedene. An jeder Ecke stoßen die selben Figuren auf gleiche Weise zusammen
nicht-periodische Parkette
Penrose-Parkett
es wiederholen sich nirgends Teilausschnitte des Parketts
Zentrale Kompetenen zu Bandornamenten und Parketten
Gesetzmäßigkeiten in Bandornamenten erkennen, verändern, fortsetzen
Grundfigur erkennen
auf Symmetrieeigenschaften hin untersuchen
Parkettierungen erstellen
z.B. mit Flächenformen legen oder mit PC-Einsatz
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