Grundlegende mathematische Fähigkeiten
Unterscheiden, sortieren, klassifizieren, ordnen
—> Dadurch werden Mengen strukturiert
Sortieren (mit möglicher Vorschrift)
Elemente einer Menge aufgrund ihrer gegebenne Eigenschaften zusammenfassen
mögliche Vorschrift: hat gleich viele Ecken
Äquivalenz
gemeinsame Eigenschaft der Elemente, die zusammensortiert wurden (im Element zusammengehörig, aber nicht gleich!)
—> die Dinge sind zueinander äquivalent (bezüglich der Sortierungsrelation)
Wann ist eine Sortiervorschrift eindeutig? Äquivalenzrelationen
reflexiv: jedes Element steht zu sich selbst in relation
„Wohnt im selben Landkreis - wohne ich im Landkreis Osnabrück, wohne ich im selben Landkreis”
symmetrisch: für den Fall, dass Element 1 in Relation zu Lement 2 steht, steht Element 2 immer in Relation zu Element 1
transitiv
wenn für den Fall, dass Element 1 in Relation zu Element 2 steht und Element 2 in Relation zu Element 3 steht, dann auch Element 1 in Relation zu Element 3 steht.
W
Repräsentant
Jedes Element einer Äquivalenzklasse repräsentiert diese Äquivalenzklasse, d. h. kann zur Sortierentscheidung herangezogen werden.
Die Elemente in einer Äquivalenzklasse nennt man Repräsentanten dieser Äquivalenzklasse.
Definition Ordnen
Beim Ordnen werden die Elemente einer Menge aufgrund (einiger) ihrer gegebenen Eigenschaften in eine bestimmte Reihenfolge gebracht. Es können auch ganze „Schubladen“ geordnet werden.
Ordnungsrelationen (welche Eigenschaften sind wann erfüllt?)
Ordnungsrelationen, die die Gleichheit mit einschließen (<=, >=) sind reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch:
Bei Zahlen: „ist größer/kleiner als oder gleich“
Bei Menschen: „ist mindestens so fleißig wie“
Ordnungsrelationen, bei denen die Gleichheit nicht eingeschlossen sind, sind transitiv, aber nicht reflexiv und nicht symmetrisch:
Bei Zahlen: „ist größer/kleiner als“
Bei Zeitspannen: „dauert länger/kürzer als“
Bei Menschen: „ist schlauer als“
Definition Größen
objektiv messbare Eigenschaften von Gegenständen und Vorgängen
ALle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse gehören zur geliehen Größe
Messen - Definition
Man benötigt 2 Repräsentanten
den Repräsentanten der Größe (zu messender Gegenstand)
den Repräsentanten eines Teils der Größe (Messinstrument)
Das „Messinstrument“ wird wiederholt ohne Lücken und Überschneidungen an dem zu messenden Objekt abgetragen und gezählt (Der zu messende Repräsentant wird „ausgeschöpft“).
Grundstruktur eines Mess-Systems
Auswahl einer Einheit
muss wiederholbar, zerlegbar und zählbar sein
Unterscheidung standardisierter und nicht standardisierter Einheiten
Vervielfachen von bzw. Zerlegen in Einheiten
Repräsentant der Einheit wir ohne Zwischenräume und Überschneidungen hintereinander abgetragen
Zählen der Anzahl der Einheiten bzw. Untereinheiten
Abgetragene Einheiten werden mitgezählt und/oder verrechnet
Größenangaben
ergeben sich durch die Tätigkeit des Messens
bestehen aus Maßzahl (Zahl) und Maßeinheit (Tasse)
Maßzahl gibt an, wie viel Maßeinbeiten man kombinieren muss, um einen Repräsentanten der entsprechenden Größe zu erhalten
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