V03-Fourier Transformation

• beschreiben linearer Systeme im Frequenzbereich

• erlaubt einfachrere mathematische behandlung von signalen (-> faltung im zeitbereich entspricht multiplikation im frequenzbereich)

• erlaubt häufig die gewinnung zusätzlicher einsichten

• periodische signale

  • -> fourier reihe

• nicht periodische signale

  • -> fourier integral

• Signal als Überlagerung von

• Elementarsignalen

• mit unterschiedlicher

  • Amplitude

  • Frequenz

  • Phase

• welche Amplitude und Phase müssen die verschiedenen Frequenzen haben (elementarsignale mit verschiedener frequenz)

• damit die Überlagerung das beobachtete signal ergibt?

• Mittels eines diskreten Amplituden und Phasenspektrums

• => Verteilung von Amplitude/Phase (y-achse) über entsprechende Freqzent (x-achse)

• zu analysierenden Funktion ist periodisch mit T (f(t) = f(t+T))

• Frequenz f = 1/T

• Kreisfrequenz w = 2 pi f = 2 pi / T

• Definition der Grundschwingung w0 = 2 pi f

• => grundschwingungen haben frequenz n*w0

• => dadurch ergibt sich dass die überlagerte Funktioni immer periodisch in T ist…

• => Darstellung im Spektrtum in diskreten Frequenzstufen w0, 2w0, 3w0, …, nw0

• Überlagerung von gewichteten Sin- und Cos schwingungen

• mit frequenz als vielfacher der Grundschwingung

• Die an,bn der Fourierreihe

• die vielfachen der Grundschwingung

• nw0, n>1

• Mittels der komplexen e-Funktion

• -> eulersche formel

-> Basically: Ersetzen von Sin und Cos mit e-Fkt; umformen sodass komplexer Koeffizient c_n die a_n, b_n enthält

1. komplexe c_n enthalten gleiche informationen wie a_n und b_n zusammen genommen

2. Statt jeweils ein spektrum (a,b) hat man nun komplexes spektrum das Sin und Cos anteile enthält

   1. -> teilt sich auf in betrag und phasen spektrum

3. spektrum ist nun auch für negative n erklärt

• analyse kontinuierlicher, nicht periodischer signale

• T -> infinity

• w_0 -> 0

• anstatt diskreter spektrallinien

  • -> spektraldichtefunktion

• Modulation von funktion mit u.e. trägersignal Cos

• -> zieht spektrum “auseinander” -> Spektrum verdoppelt und nicht mehr um 0

=> Frequenzlage des originalsignals beliebig in Freqenzband verschiebbar

-> ermöglicht übertragung über kanäle die übertragung im Basisband nicht zulassen…

• faltung im zeitbereich

• -> multiplikation im frequenzbereich

• Nein, da nicht-kausales system