Was macht die z-Transformation?
bildet eine diskrete zahlenfolge in den z-bereich ab
Welche vorteile ergeben sich durch die z-Trafo im vergleich zur Laplace transforamtion?
die gleichen (nur halt im diskreten…)
insbesondere: ersetzung der faltung im zeitbereich durhc multiplikation in der z-ebene…
Wie Transformiert man eine diskrete zeitreihe in den z-bereich? (i.e. [1,0,2,1,1,0,0,0,…])?
[1,0,2,1,1,0,0,0,…]
-> 1*z^-1 + 0*z^-2 + 2*z^-2 + …
Welche Beobachtungen können wir in der z-Trafo treffen?
der wert vor dem ausdruck z^-n entspricht dem wert der zeitreihe zum Zeitpunkt n
die Spektren H(z), X(z) sind < unendlich für alle werte von z != 0
=> für z != 0 konvergiert die z-transformation -> das spektrum konvergiert
Wann ist eine z-transformation nicht sinvoll? Was ergibt sich daraus?
wenn sie nicht beschrönkt ist
konvergenzuntersuchung der reihe notwendig…
WIe kann man die z-Trafo auf konvergenz untersuchen?
durch definition eines Konvergenzbereiches
=> konvergenzregion R umfasst alle werte von z für die der betrag der summe endlich ist
Wie strukturiert man üblicherweise die konvergenzanalyse?
aufteilung der Reihe in einen kausalen und einen akausalen teil
Wie gibt man die konvergenzbereiche bei kausalem und akausalem anteil an?
mit konvergenzradien r_a, r_c
es gilt:
wobei alle
=> nicht 0!!!
Was muss immer für den Konvergenzbereich gelten?
|z| < 1!!!
=> d.h. durch Umformungen (und i.e. nutzen der geom. reihe) kommt man auf die Konvergenzradien
Was characterisiert die Eigenschaften des Systems hinsichtlich der Stabilität?
Die lagen von polen und Nullstellen in der z-ebene
-> i.e. H(z) = X(z)/Y(z)
-> darstellen von X(z) und Y(z) als z…
-> berechnung pole und Nullstellen
Welches Kriterium hatten stabile Systeme im Zeitbereich?
Summe der absoluten Ampliduten der Übertragungsfunktion < unendlich
Wie kann man aus der Stabilitätsanforderung der Übertragungsfunktion im Zeitbereich eine Stabilitätsanforderung im Frequenzbereich ableiten?
nutzen der Dreiecksgleichung
Danach, schauen wannH(z) beschränklt ist
-> Ist beschränkt für |z|>= 1
=> Bei stabilen systemem ist H(z) sicher beschränkt für |z|>=1
Was lässt sich aus dem Stbailitätskriterium im Frequenzbereich ableiten?
Ein kausales system das stabil ist
hat keine Pole auf/außerhalb des Einheitskreises!
Welche Eigenschaften hat die Z-Transformation?
Linearität
Verschiebung im Zeitbereich
y[n] = x[n-m]
=> Y(z) = z^-m X(z)
y[n] = x[n+m]
Y(z) = z^m (X(z) - Summe von n=0 bis m-1 X(n)z^-n
i.e. y[n] = x[n-2] -> Y(z) = z^2(X(z)-X(0)z^0-X(1)z^-1)
Ähnlichkeit
Z(a^nx[n]) = X(za^-1)
Faltungssatz
wie bei regulärer FT -> faltung in zeit ist Multiplikation in Frequenz
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