Charakterisiere einen N/M-Entscheider.
Entscheider bestitzt eine Menge von Aktionen A. Jede Aktion a_i aus A induziert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Konsequenzen der Aktion.
Axiome:
Für diesen Entscheider existiert dann eine Erwartungsnutzenfunktion.
Was bedeuted Konvexität der Lotteriemenge?
Gebe ein Beispiel für eine konvexe Lotteriemenge.
Jede Linearkombination aus zwei Elementen der Lotteriemenge ist wiederum in der Lotteriemenge enthalten.
Beispiel:
Lotteriemenge die nur eine Lotterie enthält ist konvex.
Was versteht man unter der Erwartungsnutzenfunktion?
Nenne und erkläre die drei N/M Axiome.
Der Entscheider ist in der Lage, bei Vergleich zw. Lotterie und sicherem Ergebnis anzugeben, für welches Lambda der Lotterie er indifferent zwischen Lotterie und sicherem Ergebnis ist.
Präferenzen für eine zusammengesetzte Lotterie hängen nicht von den gemeinsamen Konsequenzen ab ( (1-Lambda)*z)
Wie bestimmt man die N/M-Nutzenfunktion bei zwei gegebenen Lotterien und indifferentem Entscheider?
Gegeben: Geordnete endliche Menge (x1, …, xn) von Konsequenzen. Indifferenz zwischen Lotterie X und Y.
Bsp: X = (36 : 1/2; 4 : 1/4; -25; 1/4) Y = (4 : 1). Entscheider ist zwischen X und Y indifferent.
Gesucht: N/M Nutzenfunktion.
Vorgehen:
Weise bester Konsequenz u(x)=1 zu. Weise schlechtester Konsequenz u(x) = 0 zu.
Setze E(u(X)) = E(u(Y)). Löse auf nach fehlender Präferenz.
Bsp:
u(36) = 1
u(-25) = 0
E(u(x)) = u(36)1/4 + u(4) 1/4 + u(-25) * 1/4 = u(4) = E(u(Y))
Einsetzen von u(36) und u(-25) und auflösen nach u(4) ergibt u(4)=2/3
Definiere wann ein Entscheider risiko-avers ist.
Inkludiere nun das Anfangsvermögen w in die Definition.
Wie sieht die Nutzenfunktion eines solchen Entscheiders aus?
Der Entscheider zieht der Erwartungswert der Lotterie der eigentlichen Lotterie vor.
Analog ist ein risiko-freudiger und ein risiko-neutraler Entscheider definiert.
Mit Anfangsvermögen w:
Nutzenfunktion:
u konkav < == > u’’ < 0 < == > Graph liegt oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier Punkte darauf
Für risikofreudig: u Konvex, risikoneutral: u ist eine Gerade
Was ist das Sicherheitsäquivalent?
Kann am Sicherheitsäquivalent bestimmt werden, ob ein Entscheider risiko-avers ist?
Wie bestimmt man das Risikoäquivalent für eine gegebene Nutzenfuntktion und Lotterie?
Was ist das Sicherheitsäquivalent?:
Das Sicherheitsäquivalent ist die sichere Zahlung die dem Entscheider den gleichen Nutzen bringt wie die Lotterie. (Er folglich indifferenz ist zwischen beidem)
Bestimmung:
Achte auf w falls vorhanden oder setze w = 0
Bestimme die Nutzenwerte jedes X-Wertes der Lotterie (Einsetzen jedes Lotteriewertes in die Nutzenfunktion)
Bestimme E(u(X)), indem jeder Nutzenwert mit der Wahrscheinlichkeit des dazugehörigen X wertes multipliziert wird (px1 * u(x1)). Summiere dann auf.
Setze u(s) = E(u(x)) und löse nach s* auf. Achte darauf, dass links die Nutzenfunktion mit eingesetzem s* stehen muss zu beginn.
Was ist die Risiko-Prämie?
Wann ist ein Entscheider risiko-avers?
Ist die Risiko-Prämie eines Entscheiders höher, als die eines anderen Entscheiders, so ist er risiko-averser.
Gebe die Definition des Arrow/Pratt Maß.
Wie kann hieran abgelesen werde ob ein Entscheider risiko-avers ist?
Multipliziert man auf beiden seiten noch “*w”, dann hat man das A/P Maß der relativen Risikoaversion r*(w)
Gebe die Definition der Stochastischen Dominanz erster Ordnung wieder.
Wie hängt dies mit dem N/M-Entscheider zusammen?
Gebe die Definition der Stochastischen Dominanz zweiter Ordnung wieder.
G hat mehr Fläche unter der Verteilungsfunktion als F, daher ist Y (mit G als Verteilungsfunktion) riskanter als X (mit F als verteilungsfunktion).
Verbindung zu N/M:
Was ist der Mean Preserving Spread?
MPS ist ein Spezialfall der Stochastischen Dominanz für E(X) = E(Y) (kommt aus Bedingung (1) oben).
Vergleiche Stochastische Dominanz 1. Ordnung, 2. Ordnung und MPS hinsichtlich ihrer Beziehung zu N/M Entscheidern.
Stochastische Dominanz 1. Ordnung:
X dom. Y -> X würde von allen N/M Entscheidern gewählt
Stochastische Dominanz 2. Ordnung:
X dom. Y -> X würde von allen risikoaversen Entscheidern gewählt
MPS:
X dom. Y -> X würde von allen risiko-aversen Entscheidern gewählt
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