Deskriptive Datenanalyse II

• Balkendiagramme

• Abbildungen und Fehlerbalken

• Liniendiagramme

• Boxplots

-> Auch in Abbildungen sollten Lage- UND Streuungsmaße enthalten sein

• die Streuung wird mithilfe sog. Fehlerbalken zusätzlich abgetragen

• anstelle der SD kann man auch andere Streuungsmaße für die Fehlerbalken verwenden

• zur Darstellung von einer Variable

• zur Darstellung von Unterschieden zwischen Gruppen

• zur Darstellung von mehreren Variablen nebeneinander

• hier wird anstatt eines Balkens nur ein Punkt dargestellt (empfohlen!)

• zur Darstellungen von Trends oder Messwiederholungen (z. B. Zeitverlauf bei klinischen Studien)

•  Mittelwert und SD liefern recht idealisierte Darstellungen, da sie symmetrisch- oder normalverteilte Daten voraussetzen

• für die Darstellung von Auffälligkeiten (Schiefe, Ausreißer) eignen sich daher andere Maße besser

• verwendet man die verzerrungs-resistenten Maße Median und IQA, erhält man ein Boxplot

  Apotheke ländlich städtisch

Wo liegen die Whiskers?

1. Bestimmen der Zäune: IQA x 1,5 nach oben und unten an die Box antragen

2. diejenigen echten Werte suchen, die auf der Seite der Box am nächsten dran liegen

IQA = 19-14 = 5

IQA x 1,5 = 7,5

oberer Zaun: 19+7,5 = 26,5

unterer Zaun: 14-7,5 = 6,5

oberer Whisker: 21

unterer Whisker: 12

wichtige Informationen:

• Wie lang ist die Box?->Höhe der Streuung (IQA)

• Wo liegt der Median innerhalb der Box? ->

  Symmetrie/Schiefe der Verteilung

• Liegen Werte außerhalb der Whiskers?-> Ausreißer

  (werden durch Sterne oder Kreise dargestellt)

• bei schiefen Verteilungen liefern Boxplots wesentlich bessere Aussagen über Lage und Streuung als M und SD

• Ausreißer bleiben unberücksichtigt

• das Gesetz der großen Zahl

• Formen von Verteilungen

• die Normalverteilung

• Lage- und Streuungsmaße sind nur dann brauchbar, wenn die Stichprobe, aus der sie stammen, die Population gut widerspiegelt

• das ist dann der Fall, wenn die Häufigkeitsverteilung die gleiche Form hat wie die Populationsverteilung

• Definition: Je größer eine Stichprobe ist, desto stärker nähert sich die Verteilung der enthaltenen Daten (Häufigkeitsverteilung) der wahren Verteilung in der Population an.

  -> Große Stichproben verwenden

  -> Daten aus großen Stichproben eher verwenden als, aus kleinen

• oft verteilen sich Werte etwa symmetrisch um ihre zentrale Tendenz (Glockenform)

• Abweichungen können..

  • zufällig (z.B. durch Ausreißer)

  • systematisch sein (z.B. durch Decken- oder Bodeneffekte: an einem der beiden Pole treten viele oder sogar die meisten Werte auf)

    
    

    -> führen zu schiefen (unsymmetrischen) Verteilungen

Beispiel schiefe Verteilung

-> die Berechnung von M und SD ist bei sehr schiefen Verteilungen nicht sinnvoll

•  normalerweise konzentrieren sich die Werte einer Verteilung an einer Stelle -> unimodale (eingipflige) Verteilung

• oft gibt es aber zwei solche Stellenàbimodale Verteilung

• oder noch mehr-> multimodale Verteilung

• entsprechend gibt es mehrere Modalwerte

• besonders relevant bei polarisierenden

  Skalen (z.B. Einstellungen) Beispiel für eine bimodale Verteilung:

rechtsschief/linkssteil symmetrisch. linksschief/rechtssteil

• die meisten Variablen folgen in der Population der Verteilung einer Gauß‘schen Glockenkurve, der Normalverteilung

• sie ist symmetrisch und die Wahrscheinlichkeit von Werten sinkt zu beiden Seiten des Mittelwertes immer mehr ab; Modus, Median und Mittelwert sind identisch

-> legt man die Annahme der Normalverteilung zugrunde, haben Mittelwert und Standardabweichung immer eine einheitliche Bedeutung

-> die meisten Analyseverfahren in der Statistik beruhen auf dieser Annahme

Ausgangspunkt: einzelne Messwerte und Kennwerte lassen sich schwer vergleichen, wenn sie von verschiedenen Messinstrumenten (Skalen) stammen

Beispiel:

• Tim hat im Abitur in Bayern 620 Punkte

• Mia im Abitur in Sachsen 640 Punkte -> ist Mia wirklich besser, wenn wir wissen, dass das Abitur in Sachsen

  etwas leichter war?

Lösung:

• Daten auf eine einheitliche Skala transformieren 

-> eine Transformation berücksichtigt meist Lage und Streuung von Verteilungen

-> bei der z-Transformation bekommt jede Person einen neuen Wert zugewiesen, der nun vergleichbar (standardisiert) ist:

• z-Werte bilden eine standardisierte Skala

• sie haben immer einen Mittelwert von 0 und eine SD von 1

• sind die Ausgangswerte normalverteilt, ergibt die z-Verteilung eine Standardnormalverteilung:

->  jedem z-Wert kann ein bestimmter Flächenanteil der SNV zugeordnet werden

-> Der Flächenanteil entspricht der Auftretenswahrscheinlichkeit für diesen Wert und alle kleineren Werte

->beide sind überdurchschnittlich

-> Tim hat aber – im standardisierten Vergleich – die bessere Leistung erreicht