Stabilitätsprobleme

• Verzweigungsprobleme: Nach Erreichen der kritischen Last kann bis zum Versagen nur wenig zusätzliche Last aufgenommen werden.

• Umlagerungsprobleme: Nach Erreichen der kritischen Last können erhebliche zusätzliche Lasten aufgenommen werden.

• Durchschlagprobleme: Die Tragfähigkeit der Struktur bricht bei Erreichen der kritischen Last schlagartig ein.

So eine Frage kann nicht ohne weiteres beantwortet werden, da die Antwort z.B. von den geometrischen Parametern (z.B. Stringerhöhe, -breite, -fläche, form) abhängt und darüber hinaus auch Mischformen der Instabilität auftreten können.

• Bestimmung von kritischen Lasten

• Bestimmung von möglichen Gleichgewichtslagen einer Struktur („Beulformen“)

• Bestimmung des Stabilitätsverhaltens der Gleichgewichtslagen

• Das Gesamtpotential wird formuliert: Π = Π𝑖 + Π𝑎 = 𝑈𝑖 − 𝑊

• Das Potential wird nach den Verformungsfreiheitsgraden abgeleitet und die Ableitung zu Null gesetzt: 𝜕Π/𝜕𝑤 = 0

• Aus dem Vorzeichen der höheren Ableitungen kann auf das Stabilitätsverhalten geschlossen werden: 𝜕2Π/𝜕𝑤2 < = > 0 ?

Die geometrische Ordnung sagt aus, ob die Gleichungen an einem unverformten, schwach verformten oder stark verformten System formuliert worden sind.

In der Realität wird die Kraft immer mit einer mindestens kleinen Exzentrizität angreifen, so dass schon lange vor dem Erreichen der kritischen Kraft seitliche Auslenkungen auftreten.

Beim Stabknicken handelt es sich um ein Verzweigungsproblem

Nach Überschreiten der kritischen Knicklast ist schon bei geringen zusätzlichen Lasterhöhungen mit sehr großen Verformungen, also auch sehr großen Verzerrungen bzw. Beanspruchungen, zu rechnen. Deshalb versagen auf Druck belastete Stäbe i.d.R. nur kurz oberhalb der kritischen Last.

• Es werden die Differentialgleichungen der Theorie 2. Ordnung für die Biegeverformung herangezogen. In diesen taucht die Drucklast explizit auf (aufgrund der Formulierung am schwach verformten Stab, bei dem die Drucklast auch ein Biegemoment zur Folge hat).

• Die Lösung der Dgl. wird anhand der für das vorliegende Stabsystem formulierten Randbedingungen bestimmt. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem für die Integrationskonstanten der Ansatzfunktion für die Lösung.

• Es wird untersucht, für welche Drucklast das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung mehr aufweist. Dies kann formal gemacht werden, in dem die die Determinante der Koeffizientenmatrix bildet und zu null setzt. Die so bestimmte Drucklast ist die kritische Last.

Während für die DGL. 2. Ordnung (Gl. (15)) zur Bestimmung der Integrationskonstanten der Lösung nur Verschiebungsrandbedingungen vorzugeben sind, müssen für die DGL 4. Ordnung Gl. (12) immer Verschiebungs- und Kraftrandbedingungen formuliert werden.

Umgekehrt muss für die DGL 2. Ordnung das Biegemoment an jedem Punkt der Stabachse bereits formuliert sein, wobei es sich bei der Lösung der DGL 4. Ordnung aus der Lösung ergibt.

• Biegeknicken um die erste Hauptachse

• Biegeknicken um die zweite Hauptachse

• Drillknicken um die Schubmittelpunktsachse

• Drillknicken ist eine Form der Instabilität, bei deren Auftreten der Stab sich ausschließlich um die Schubmittelpunktsachse verdreht

• Beim Biegedrillnicken tritt eine Instabilitätsform auf, bei der gleichzeitig, d.h. gekoppelt, eine Biegeverformung und eine Verdrillung des Stabes zu beobachten ist

Es können immer drei kritische Lasten ermittelt werden, die ggf. die gleiche Größe aufweisen können. Die niedrigste kritisches Last ist immer die ausschlaggebende.

Im verformten Zustand des Stabes teilt sich die in den einzelnen Flächenelementen eines Querschnitts übertragende Längskraft in eine Quer- und eine Normalkraft auf. Jede dieser kleinen Querkräfte erzeugt ein Moment um den Schubmittelpunkt, trägt also zu einem Torsionsmoment bei. Dieses nur am verformten Stab wirkende Torsionsmoment bewirkt im Falle des Eintretens der entsprechenden Instabilitätsform (Drillknicken oder Biegedrillknicken) die Verdrehung des Stabes.

abhängig vom Abstand Flächenschwerpunkt zum Schubmittelpunkt (ez, ey)

• symmetrisch, punktsymmetrisch, ez=ey=0 -> reines Biegeknicken um Hauptachsen, reines Drillknicken um SMP

• Einfach symmetrische Profile, ez=0 oder ey=0 -> entweder reines Biegknicken um Hauptachsen oder Knicken mit Verdrehung (Biegedrillknicken)

• Unsymmetrische Profile, ez=ey ungleich 0 -> meist Biegedrillknicken, aber lösen der komplexen DGL

Kippen tritt bei Biegebeanspruchung auf, während das Biegedrillknicken bei Drucklasten in Richtung der Bauteilachse auftritt.

• Kleine Abweichungen eines Trägers mit hohem, schmalen Profil von der idealen Form führen bei Biegebelastung um die Achse mit hoher Biegesteifigkeit zunächst auch zu einer kleinen Biegeverformung um die Achse mit geringer Biegesteifigkeit (seitliche Biegung).

• Dieses seitliche Ausweichen führt dazu, dass ein Teil des Biegemomentes im Querschnitt als Torsionsmoment wirkt und zu einer Verdrehung des Querschnitts führt.

• Die Verdrehung des Querschnitts wiederum führt dazu, dass das Biegemoment eine zusätzliche Komponente um die Achse mit der geringen Biegesteifigkeit erhält, was zu einem weiteren seitlichen Ausweichen führt.

• Diese beiden Effekte führen dazu, dass bei Überschreiten einer kritischen Last sehr plötzlich eine sehr starke seitliche Biegung mit gleichzeitiger Verdrillung auftritt, die zum Versagen des Bauteils führen kann.

• Dieser Effekt wird als „Kippen“ bezeichnet.

• Kippgefährdet sind vor allem Profile welche:

  • sehr unterschiedliche Flächenträgheitsmomente um ihre beiden Hauptachsen aufweisen, also mindestens um eine Achse ein sehr geringes Flächenträgheitsmoment aufweisen → hohe, schmale Profile

  • Profile mit geringer Torsionssteifigkeit 𝐺 ⋅ 𝐼𝑇 → offene Profile

Zu (1):

• Erhöhung der Biegesteifigkeit um die 𝑧-Achse durch Erhöhung der Flanschbreite 𝑏 → bevorzugte Maßnahme, da mit geringer Erhöhung der Breite das Flächenträgheitsmoment um die 𝑧-Achse 𝐼𝑧 stark erhöht werden kann (~𝑏3).

• Erhöhung der Torsionssteifigkeit durch Erhöhung der Profildicke 𝑡 → proportional zu 𝑡3, erhöht allerdings auch die Masse des gesamten Trägers proportional.

Zu (2):

Grundsätzlich wirken alle zusätzlichen Behinderungen der Verformungen am Rand dem Kippen entgegen:

• Abstützungen am linken und rechten Rand vorsehen, die die Biegung an den Auflagerpunkten behindern.

• Die Verdrehung ist durch die Lagerart bereits vollständig unterbunden, hier ist keine weitere Verbesserung möglich

• Das dünnwandige T-Profil ist ein nahezu wölbfreies Profil (𝐶𝑊 ≈ 0), d.h. Maßnahmen zur Wölbbehinderung an den Rändern sind hier wirkungslos.

Wenn die Flächenträgheitsmomente in unterschiedliche Achsenrichtung deutliche Größenunterschiede aufweisen. z.B. Iy<<Iz

Vom Seitenverhältnis und den Randbedingungen (Lagerung bzw. Lastverteilung)

Vom Seitenverhältnis und den Randbedingungen (Lagerung)

• Steifere Lagerung an den Rändern

• Erhöhung der Hautdicke

• Verringerung d. Seitenverhältnisses Beta durch Einbau von Streifen

M und N sind ganzzahlige Konstanten, die die Anzahl der sich einstellenden Sinus-Halbwellen des gebeulten Hautfeldes in x- und y-Richtung (einstellende Anzahl Beulen in beide Richtungen)

1. Lokales Beulen der Flansche

2. Crippling

3. je nach Geometrie und Randbedingung könnte auch Stabknicken oder Biegedrillknicken auftreten; dies ist jedoch für typische Luftfahrtstrukturen eher untypisch. Häufiger sind Mischformen aus Crippling und Biege-/Drill- /Biegedrillknicken!

Crippling und Knicken führen zum Versagen des Profilstabs, lokales Beulen nicht!

Lokales Beulen führt zu hohen lokalen Dehnungen. Da diese lokalen Dehnung insbesondere bei Faserverbundwerkstoffen zu lokalen Spannungsspitzen und damit zu Zwischenfaserbruch oder Delamination führen können, sollte lokales Beulen im normalen Betrieb grundsätzlich eher vermieden werden. Bei metallischen Strukturen kann häufig wiederholtes Beulen zur Ermüdung führen. Beulen muss daher immer genau bewertet werden.

Das Verfahren nach Johnson-Euler approximiert die Abhängigkeit der kritischen Spannung vom Schlankheitsgrad durch eine Funktion mit zwei Bereichen.

Bereich 1 (geringe Schlankheitsgrade): Johnson-Parabel, welches das Verhalten bei lokalem Versagen (Crippling) und den Übergang zum Bereich des globalen Versagens (Euler-Knicken) approximiert

Bereich 2 (hohe Schlankheitsgrade): Euler-Parabel, welche das Stabknicken (globales Versagen) erfasst. Die Berechnung der kritischen Last mit Hilfe der Johnson-Euler-Kurve geschieht in 4 Schritten:

1. Berechnung der Crippling-Spannung und des Schlankheitsgrades des Stabes

2. Berechnung des Transitions-Schlankheitsgrades 𝜆′𝑡𝑟

3. Für 𝜆′ < 𝜆′𝑡𝑟 : Berechnung der Versagensspannung mit Hilfe der Johnson-Parabel

4. Für 𝜆′ ≥ 𝜆′𝑡𝑟 : Berechnung der Versagensspannung mit Hilfe der Euler-Parabel

Sie ist eher für dünnwandige Profile geeignet, weil als Versagensform des Stabes mit geringem Schlankheitsgrad lokale Wandinstabilitäten (Crippling) angenommen werden, die bei Voll- oder dickwandigen Profilen nicht auftreten. Bei diesen Profilen wird eher plastisches Versagen bei geringen Schlankheitsgraden eine Rolle spielen und entsprechend die Kurven z.B. von Kármán-Engesser verwendet.

Schlanheitsgrad λ = l0/l < 20

• Bestimmung von konstanten

  • Bestimmung Crippling-Spannung des Stingers

  • Bestimmung kritische Beulspannung Haut (hängt von Torsionssteifigkeit Stinger ab)

• Iterative Widerholung

  • Bestimmung Schlankheitsgrad (im 1. Schritt I & A nur für Stinger) -> Jedes Mal Bestimmung FSP

  • Bestimmung Versagengsspannung nach Johnson-Euler Kurve

  • Bestimmung Mitwirkende Breite (bm)

• Nur lokale Spannung ermitteln -> muss auf Querschnitt gemittelt werden, da nominelle Spannung auf ganze Platte bezogen wird.