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Mathematische Grundlagen

K7 - Basen und Dimension

G
von Günni

Definition 7.1.1: triviale Darstellung des Nullevektors

Eine Linearkombination

∑i=0naivi=0\sum^n_{i=0}a_iv_i = 0

heißt triviale Darstellung des Nullvektors, wenn

ai=0, fu¨r alle 1≤i≤n.a_i = 0, \text{ für alle } 1 \leq i \leq n.

Ist mindestens ein

ai≠0, so nennen wir ∑i=0naivi=0a_i \neq 0\text{, so nennen wir } \sum^n_{i=0}a_iv_i = 0

die nicht triviale Darstellung des Nullvektors.

Definition 7.1.2: Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

v1,⋯ ,vnv_1, \cdots , v_n

heißen linear unabhängig, wenn aus

∑i=1naivi=0\sum^n_{i=1} a_iv_i = 0

folgt, dass

∀i∈N:1≤i≤n,ai=0,\forall i \in \mathbb{N}:1 \leq i \leq n, a_i = 0,

gilt. Es heißen

v1,⋯ ,vn∈Vv_1, \cdots , v_n \in V

linear abhängig, wenn es mindesten eine nicht-triviale Darstellung des Nullevektors durch

v1,⋯ ,vn∈Vv_1, \cdots , v_n \in V

gibt.

Definition 7.2.1: Basis


Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum,V≠{0}.\text{Sei } V \text{ ein endlich erzeugter } \mathbb{K}\text{-Vektorraum}, V \neq \{0\}.

Die Vektoren

v1,…,vn∈V heißen eine Basis von V, falls die Vektoren ein Erzeugendensystem von V bilden und linear unabha¨ngig sein.v_1, \dots , v_n \in V \text{ heißen eine Basis von } \\ V \text{, falls die Vektoren ein Erzeugendensystem von } V \text{ bilden und linear unabhängig sein.}



Proposition 7.2.8 Existenz von Baden endlich erzeugter Vektorräume

Sei V ein K-Vektorraum, mit

V≠{0}∧v1,…,vn∈V.V \neq \{0\} \land v_1, \dots , v_n \in V .

Dann gilt:

  1. Ist

    v1,…,vnv_1, \dots , v_n

    ein Erzeugendensystem von V und gibt es ein

    vi∈{v1,…,vi−1,vi+1,…,vn}v_i \in \{v_1, \dots , v_{i-1}, v_{i+1}, \dots , v_n\}

    dann ist

    v1,…,vi−1,vi+1,…,vnv_1, \dots , v_{i-1}, v_{i+1}, \dots , v_n

    ein Erzeugendensystem von V.

  2. Ist


Lemma 7.3.1 Austauschlemma

Sei V ein K-Vektorraum und sei

v∈V,v≠0.v \in V, v \neq 0.

Sei

u1,…,unu_1, \dots , u_n

eine Basis von V.

Dann gibt es ein

1≤i≤n, so dass u1,…,ui−1,v,ui+1,…,un1 \leq i \leq n, \text{ so dass } u_1, \dots , u_{i-1}, v, u_{i+1}, \dots , u_n

eine Basis von V ist.


Korollar 7.3.4 Charakterisierung endlich erzeugter Vektorräume

Ein K-Vektorraum ist genau dann endlich erzeugt, wenn es eine natürliche Zahl

n∈Nn \in \mathbb{N}

gibt, so dass jede Menge von linear unabhängigen Elementen aus V höchstens n Elemente besitzt.


Korollar 7.3.5 Basisergänzungssatz

Sei V ein K-Vektorraum und seien

w1,…,wmw_1, \dots , w_m

linear unabhängige Elemente in V. Dann lässt sich

w1,…,wmw_1, \dots , w_m

zu einer Basis von V ergänzen. Es gibt also

vm+1,…,vnv_{m+1}, \dots , v_n

Vektoren, so dass

w1,…,wm,vm+1,…,vnw_1, \dots , w_m, v_{m+1}, \dots , v_n

eine Basis von V ist.


Korollar 7.3.6

Je zwei Basen eines endlich erzeugten Vektorraum haben die gleiche Anzahl an Vektoren.

Definition 7.4.1 Dimension

Sei V ein K-Vektorraum.

  1. Wenn V nicht endlich erzeugt ist, so sagen wir, dass die Dimension von V über K unendlich ist, und schreiben

    dimk(V)=∞dim_\mathbb{k}(V) = \infty

  2. Wenn V endlich erzeugt ist, und

    V≠{0}V \neq \{0\}

    so sagen wir, das n die Dimension über K ist und schreiben

    dimK(V)=ndim_\mathbb{K}(V) = n

    falls, falls jede Basis von V aus n Vektoren besteht.

  3. Wenn V = {0}, so definieren wir die Deminesion von V über K als 0 und schreiben

    dimK(V)=0dim_\mathbb{K}(V) = 0


Proposition 7.4.4

Korollar 7.4.5 Dimensionsformel für Unterräume

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und U sei ein Unterraum. Dann gilt

dim(U)≤dim(V)dim(U)\leq dim(V)

und es gilt

dim(U)=dim(V)dim(U) = dim(V)

genau dann, wenn U = V ist.


Proposition 7.4.6 Dimensionsformel für Dumme und Durchschnitt

Sei V ein K-Vektorraum, und seien U und W endlichdimensionale Unterräume von V. Dann gilt

dim(U+W)=dim(U)+dim(W)−dim(U∩W).dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U \cap W).


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Günni

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