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Mathematische Grundlagen

K8 - Lineare Abbildungen

G
von Günni

Definition 8.1.1 Vektorhomomorphismus

Seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung

f:V→Wf:V \rightarrow W

heißt Vektorhomomorphismus oder K-lineare Abbildung, falls

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2),∀v1,v2∈V, und f(av)=af(v),∀a∈K∧v∈V.f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2),\forall v_1, v_2 \in V, \text{ und } \\ f(av) = af(v), \forall a \in\mathbb{K} \land v \in V.


Definition 8.1.6 Isomorphismus

Sei

f:V→Wf:V \rightarrow W

eine lineare Abbildung. Wenn f bijektiv ist, dann wird f ein Isomorphismus genannt. Ist

f:V→Wf:V \rightarrow W

ein Isomorphismus, so nennen wir V und W isomorph und schreiben

V≃W.V \simeq W.


Proposition 8.1.9 Komposition linearer Abbildungen

Seien

f:U→V∧g:V→Wf: U \rightarrow V \land g: V \rightarrow W

lineare Abbildungen zwiscjen K-Vektorräumen U,V und W. Dann ist

g∘f:U→Wg \circ f: U \rightarrow W

linear.


Proposition 8.1.8

Sei

f:V→Wf: V \rightarrow W

ein Isomorphismus. Dann ist

f−1f^{-1}

ein Isomorphimus.


Korollar 8.1.10 Isomorphismus komponierender Abbildungen, die Isomorphismen sind.

Seien

f:U→V∧g:V→Wf: U \rightarrow V \land g: V \rightarrow W

ein Isomorphismus, zwischen Vektorräumen U, V und W, dann ist auch

g∘f:U→Wg \circ f: U\rightarrow W

ein Isomorphismus.


Satz 8.2.2 Struktur endlich erzeugter Vektorräume

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, und sei

v1,…,vnv_1 , \dots , v_n

eine Basis von V, die wir mit

B\mathcal{B}

bezeichnen. Sei

KB:V→Kn\mathcal{K}_\mathcal{B}:V \rightarrow \mathbb{K}^n

definiert durch

KB(v)=(a1⋮an)\mathcal{K}_\mathcal{B}(v)= \left( \begin{array}{c} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)

für alle

v=∑i=0naivi∈V.v=\sum^n_{i=0}a_iv_i \in V.

Dann ist KB ein Isomorphismus.\text{Dann ist } \mathcal{K}_\mathcal{B} \text{ ein Isomorphismus.}


Definition 8.2.4 Koordinatenvektor

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, und sei

v1,…,vnv_1, \dots , v_n

eine Basis B von V. Sei

KB\mathcal{K_B}

die in Satz 8.2.2 definierte Abbildung. Sei

v∈V.v \in V .

Dann wird

KB(v)\mathcal{K_B}(v)

der Koordinatenvektor von v bezüglich der Basis B genannt.


Definition 8.3.1 Bild der linearen Abbildung

Sei

f:V→Wf:V \rightarrow W

eine lineare Abbildung. Das Bild von f ist die Menge

Bild(f):={w∈W∣ es gibt ein v∈V mit f(v)=w}.\text{Bild}(f):=\{w \in W | \text{ es gibt ein } v \in V \text{ mit } f(v) = w\} .


Korollar 8.2.6

Seien V und W endlich erzeugte Vektorräume über K. Dann gilt:

  1. Wenn V und W dieselbe Dimension haben, dann sind V und W isomorph.

  2. Wenn V die Dminesion n hat, dann is V isomorph zu

    Kn.\mathbb{K}^n.


Bemerkung 8.3.2

Sei

f:V→Wf: V \rightarrow W

eine lineare Abbildung, dann ist Bild(f) ein Unterraum von W.


Definition 8.3.12 Rang von f

Satz 8.3.13

Definition:

Sei

f:V→Wf:V \rightarrow W

eine lineare Abbildung. der Rang von f wird mit Rg(f) bezeichnet, und er ist definiert durch

Rg(f)=dim(Bild(f)).Rg(f)=dim(Bild(f)).

Rangsatz:


Sei V ein endlich erzeugter Vektorrau, und sei

f:V→Wf:V \rightarrow W

eine lineare Abbildung. Sei

v1,…,vrv_1, \dots , v_r

eine Basis von Kern(f), und sei

v1,…,vr,vr+1,…,vnv_1, \dots , v_r, v_{r+1}, \dots , v_n

eine Basis von V. Dann ist

f(vr+1),…,f(vn)f(v_{r+1}), \dots , f(v_n)

eine Basis von Bild(f).


Korollar 8.3.14 Rangsatz

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und sei

f:V→Wf:V \rightarrow W

eine lineare Abbildung. Dann gilt

dim(V)=dim(Kern(f))+Rg(f).dim(V) = dim(Kern(f)) + Rg(f).


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Günni

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