Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn…
Zwei Gleichungen vertauscht werden
Eine Gleichung mit einer reellen Zahl k≠0 multipliziert wird
Eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addiert wird
Anzahl der Lösungen eines LGS
Es können 3 Fälle eintreten:
Das LGS ist unlösbar
Das LGS hat genau eine Lösung
Das LGS hat unendlich viele Lösungen
Der Gauß’sche Algorithmus
Das LGS wird Mithilfe des Additionsverfahren auf ein Dreieckssystem gebracht. Dann wird die Lösungsmenge bestimmt (3 Fälle):
Wenigstens eine Gleichung stellt einen Widerspruch dar -> LGS ist unlösbar
Anzahl der Variablen ist gleich Anzahl der nichttrivialen Zeilen -> LGS ist eindeutig lösbar
Es gibt mehr Variablen als nichttriviale Zahlen -> unendlich viele Lösungen -> Festlegung freier Parameter -> Lösen
Unterbestimmtes LGS
Mehr Variablen als Gleichungen
Ohne Widerspruch bei Gauß'sche Eliminationsverfahren -> LGS hat unendlich viele Lösungen
Überbestimmtes LGS
Mehr Gleichungen als Variablen
Ergibt sich ein Widerspruch -> LGS unlösbar
Genau 1 Lösung -> gilt diese für alle Gleichungen
Kein Widerspruch + mehr Variablen als nicht-triviale Gleichungen -> unendlich viele Lösungen
Wann ist ein LGS unlösbar
Wenn eine Widerspruchszeile auftaucht
Z.B. 0=-1
Wann erkennt man eine unendliche Lösungsmenge
Wenn eine Nullzeile auftritt (z.B. 0=0)
Dann mehr Variablen als Gleichungen
-> Parameter für übrige Variable einsetzen
Zuletzt geändertvor einem Jahr