Lektion 3

• wenn zwei Merkmale wie zb Geschlecht und Einkommen betrachet werden und da einen möglihen zusammenhang finden wollen benutzen wir die

• bivariate Analyse

• wichtig welches Skalenniveau die beiden Merkmale aufweisen

• zwei nominalskalierte Merkmale

• zwei ordinalskalierte Merkmale

• zwei kardinalskalierte Merkmale

• zwei verschieden skalierte Merkmale

• grundsätzlich werden die Merkmale mit A und B gekennzeichnet

• diese beiden Merkmale können unterschiedliche Merkmalsausrpägungen annehmen

• zb Merkmalsauspr. A mit A unten 1, A unten 2 … A unten groß i,

• bei B - B unten 1,……B unten J

• Merkmal A hat I versch. und B J versch. Merkmalsausprägungen

• I und J müssen aber nicht identisch sein

• Kontingenztabelle für Absolute H. bildet Pendant zur Häufigkeitstabelle im univeraten Fall

• Aufbau im Skript

• Erster Schritt der Datenanalyse: erhobenen Daten zugeschnitten auf Frage komprimieren

• absolute H. n unten ij für einzelne Ausrpägungen (A unten j, B unten j) in Kontingenztabelle zusammenfassen

• quantifiziert Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen

• mindestens eins nominalskaliert

• ist eine konrete Maßzal namens korrigierter Kontingenzkoeffizient

Schritt 1:

• sogennante erwartete Häufigkeiten (absolute Häufigkeiten) werden unter deskriptiver Unabhängigkeit bestimmt

• das sind die absoluten H für die die beiden Merkmale in keinerlei Zusammenhang stehen

• beispiel und rechnung skript

Schritt 2

• Berechnung der Abstände zwischen den absoluten und erwarteten Häufigkeiten

• prüfen wie weit die tatsächlcih absoluten H von den erwarteten entfernt sind.

• je weiter die tatsächlichen von den erwarteten H entfernt sind desto stärker muss der Zusammenhang sein

• um Entfernung zu müssen wird X hoch 2 berechnet

• formel im skript

Schritt 3:

• Berechnung des Kontingenzkoeffizienten

• Kontingenzkoeffizient K wird berechnet

• er kann ausschlißlich werte zwischen 0 und 1 annehmen

Schritt 3 :

• Berechnung des korrigierten Kontingenzkoeffizienten

• in diesem Schritt wird er korigiert

• es entsteht K*

• Funktion min = eine Minimumfunktion - wählt kleinere Zahl der Spalten

• Im skript

• beiden Merkmale werden mit X und Y gekennzeichnet

• für jeden Merkmalsträger i in Stichprobe existiert eine Beobachtung x unten i des Merkmals X

• und eine Beobachtung y unten i für das Merkmal Y

• für jeden Merkmalsträger gibt es ein Punktepaar

• entweder gleichgerichteten oder einen entgegengesetzten Zusammenhang verstehen

• Beobachtungen werden durch Ränge ersetzt

• Merkmalsträger bekommen Rangplätze

• der mit bester Auspräung bekommt Rang 1

• mit schlechtester bekommt Rang n

• Ränge für Beobachtungen xi des Merkmals X werden mit r unten i bezeichnet

• Ränge für Beobachtungen yi des Merkmals Y heissen s unten i

Rankorrelationskoeffizient von Spearmen:

• wird für den Zusammenhang zwischen 2 Merkmalen verwendet,

• beide mindestens ordinalskaliert

• r unten groß S

• r unten S kann nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen

• wir erhalten positive Werte wenn monoton wachsender Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen vorliegt

• liegt r S im negativen Bereich dann gilt monoton fallender bzw entgegengesetzter Zusammenhang

• Für r S = 0 gibt es keinen Zusammenhang mit dem ergebnis ist sicher das kein monotoner Zusammenhang besteht

im Skript Seite 82

wichtig:

• beide Wörter und umgekehrt erwähnen

• auch hier kardinalskalierte Merkmale werden mit X und Y bezeichnet

• einzelne Beobachtungen der Merkmalsträer i werden mit x unten i und y unten i bezeichnet

• auch hier Punktepaar für jeden einzelnen Merkmalsträger

• (x unten i , y unten i) für i = 1,….n

• visualisiert den Zusammenhang zwischen zwei kardinalskalierten Merkmalen

• zuerst Streudiagramm zeichnen

• Streudiagramm - Koordinationssystem indem beide Merkmale Achsen bilden

• x - Achse wird durch Merkmal X

• y - Achse durch Merkmal Y

• Punktepaare der einzelnen Personen -werden als Punkte, Kreise, Sternchen eingezeichnet

• anhand Anordnung der Punkte in Gesamtheit lässt sich erkennen ob positiv oder negatier Zusmmenhang

• hilfreich beiden Mittelwerte zu berücksichtigen

• x oben Strich senkrecht

• y oben Strich horizontal in Diagramm eintragen

• es entstehen 4 Quadranten im Skript S. 85

1. die Merkmalsträger die hohen Wert annehmen

   • differenzen zum Mittelwert sind positiv

2. die Merkmalsträger enthalten die bzgl. X unter dem Durchschnitt

   und Y über dem Durchschnitt liegen

   • differenzen zum Mittelwert sind negativ

   • für Y ergeben sich posiitve Differenzen

3. liegen unter dem Durchschnitt

   • differenzen zum Mittelwert sind negativ

4. überdurchschnittlich hoher Wert bezüglich X

   • bezüglih Y unterdurchschnittlich hohen Wert

   • für Merkmal X also positive differenzen zum Mittelwert

   • für Y negative Differenzen

• r unten x,y

• erfordert von beiden Merkmalen ein kardinales Skalenniveau

• anställe von Rängen (beim Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman) werden Merkmalsausrpägungen genutzt

• Zähler bezeichnet man als Kovarianz

• misst Zusammenhang zwischen zwei kardinalskalierten Variablen

• ist nicht normiert auf einen bestimmten Bereich

• Kovarianz entscheidet über das Vorzeichen von r unten x,y

• sind meissten Beobahtungen in 1 und 3 Quadranten - wird Kovarianz r unten x,y positiv

• ist größter teil der Beobachtungen in 2 und 4 dann negative Kovarianz

• r unten x,y

• genau wie r unten S kann r x,y Werte zwischen -1 und +1 annehmen

• wenn Koeffizient positiv - besteht positiv linearer Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen X und Y

• Wenn das eine Merkmal große Werte annimmt tut es das andere auch

• negativer Wert für r x,y falls ein negativer linearer Zusammenhang zwischen beiden Variablen

• beide Variablen verhalten sich entgegengesetzt zueinander

• r x,y = 1 wäre perfekter , postiv linearer Zusammenhang

• alle Punkte lassen sich dann auf eine gerade verbinden im Streudiagramm

• r x,y = - 1 perfekter negativ linearer Zusammenhang (alle punkte lassen sich wieder verbinden nur in anderer Richtung)

• r x,y = 0 kein linearer Zusammenhang

• also unkorreliert

• kann aber zb quadratischer oder exponentieller zusammenhang sein

• punkte lassen sich verbindne aber nicht linear

• zb Geschlecht (Nominalskala) und Einkommen (Kardinalskala) schauen ob Abhängigkeit besteht

• schauen welches das schwächere von beiden ist

• hier zb Nominalskala

• dann Analysemethode wählen die man für zwei schwächere Skalenniveaus nehmen würde

• hier der korrigierte Kontingenzkoeffizient K*

• Tabelle im Skirpt s 95

• Korrelationen sind symmetrischer natur

• X und Y oder A und B sind gleichberechtigt

• wir können am Ergebnis einer Zusammenhangszahl nicht ablesen das eine Variable die andere beeinflusst und nicht umgekehrt

• oft Schlussfolgerung aus hohen Korrelationen das beide Varianten voneinander abhängen

• oft Scheinkorrelationen - 3 te Variable ist oft für hohe Korrelation verantwortlich

• hohe Korrelation mit zwei Sachfremden Variablen sollte man keine Beachtung schenken

• besonders bei beiden Korrelationskoeffizienten nach Spearman und Bravais Pearson -

• KOrrelation in Höhe 0 steht dafür, das kein monotoner bzw linearer Zusammenhang besteht

• kann aber ein anders gearteter Zusammenhang bestehen

• also nie pauschal sagen dass kein Zusammenhang besteht