Lektion 7

• schätzt mit einem konkreten Wert den wahren Parameter der Grundgesamtheit auf Basis einer Stichprobe

• auf Ebene der Grundgesamtheit, wird der Mittelwert mit dem gr. Buchstaben u langer strich (erwrtungswert) abgekürzt

• auf Ebene der Stichprobe Abkürzung x oben Strich

• liegt nur eine Stichprobe vor müssen wir den Mittlewert der Grundgesamtheit schätzen

• für solchen Schätzwert immer ein Dach über dem gr. u als geschätzer Mittelwert der Grundgesamtheit

• Rechnung s 181

• Schätzer sollte Erwartungstreu sein

• wenn der berechnete Parameter der Stichprobe mit dem der Grundgesamtheit übereinstimmt

• damit ist gemeint das Mittelwert der Stichprobe auch dem Erwartungswert in der Grundgesamtheit entspricht

• Stichprobenmittelwert gilt als erwartungstreuer Schätzer

• der Schätzer sollte konsistent sein

• er ist konstistent wenn er mit zunehmdendem Stichprobenumfang den wahren Wert der Grundgesamtheit immer besser trifft

• Schätzwert für die Streuung in Form der Varianz und Standardabweichung der Grundgesamtheit wird gesucht

• auf Ebene der Grundgesamtheit bekommt Varianz bzw Standardabweichung mit omega hoch 2 den gr. Buchstaben

• in kontext einer Stichprobe kommen die kürzel s hoch 2 und s für Stichprobenvarianz und Standardabweichung

• Schätzwerte der Grundgesamtheit mit Dach über omega hoch 2 und omega

• Liegt nur eine Stichprobe vor dann formel im Skript s 182

• das man sich auf einen spezielen Wert für Mittelwert, Varianz oder Standardabweichung festlegt

• geben einen Bereich als Schätzer für einen Parameter der Grundgesamtheit an

• Intervalle bestehen aus unter und obergrenze

• wird auch als Vertrauensintervall bezeichnet

• genannte Wahrscheinlichkeit wird auch als Vertrauenswahrscheinlichkeit bzw Konfidenzniveau 1- alpha bezeichnet

• Gegenteil der Vertrauenswahrscheinlichkeit wird durch die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha beschrieben

• erfasst W. das der Wert nicht im aufgestellten Konfidenzintervall liegt

1. Festlegung der Vertrauenswahrsheinlichkeit

   • 1- alpha

   • wird bestimmt mit welcher W. der wahre , aber unbekannte Erwartungswert im Intervall liegt

   • gängigsten Werte 0,9 (90%), 0,95 (95%)

1. Stichprobe erheben und Mittelwert der Stichprobe berechnen:

   • Stichprobe wird benötigt, mit der wir ein Konfidenzintervall erstellen

   • wir nehmen aber nicht das sondern eine gegebene Stichprobe

   • für diese berechnen wir den Mittelwert

1. Fläche um den Mittelwert herum markieren:

   • um berechneten Mittelwert wird Konfidenzintervall aufgestellt

   • in der Regel Normalverteilung

   Skript S 185

• es zu berechnen

• 2 Fälle dabei unterscheiden

• entweder ist tatsächlich Info über Grundgesamtheit bekannt. so kennt man Varianz oder Standardabweichung der relevanten Variablen in der Grundgesamtheit

• kann aber auch sein das diese nicht bekannt sind

• jenachdem ob Streuungsmaße in Grundgesamtheit bekannt sind oder nicht , wird Konfidenzintervall nach bestimmten Muster aufgestellt

• also Varianz omega hoch 2 bzw. Standardabweichung omega in der Grundgesamtheit sind bekannt

• Konfidenzintervall (in welchem Wahrscheinlichkeitsmasse 1 - alpha enthalten ist)

• berechnung Skript S. 186

• gibt die Abweichung des geschätzten Mittelwerts vom wahren Wert an

• Quotient (omega geteilt durch Wurzel n) wird auch als Standardfehler bezeichnet

• Aufstellung wenn weder Varianz noch Standardabweichung bekannt sind

• zwei Änderungen

  1. wir nutzen t - Verteilung anstelle der z - Verteilung um Quantil zum Aufstellen des Intervalls zu verwenden

  2. da Varianz omega hoch 2 bzw Standardabweichung omega in Grundgesamtheit nicht bekannt sind - müssen wir sie auf Basis der Stichprobe durch s hoch 2 schätzen

• Vergleich beider Konfidenzintervalle

• bezüglich Berechung:

• Varianz oder St. abweichung in Grundgesamtheit bekannt - Quantnil der Standardnormalverteilung (z) nutzen

• Varianz oder St. abweichung in der Grundgesamtheit unbekannt - Quantil der t - Verteilung nutzen und Stichprobenvarianz udn Standardabweichung auf Basis der Stichprobe berechnen

Ergebnisse:

• Intervall unbekannter Varianz fällt breiter aus als bei bekannter Varianz

• Streuung in Form von s bei unbekannter Varianz oft größer als bei bekannter Varianz

• Intervallgrenzen sind bei unbekannter Varianz weiter voneinander entfernt als bei bekannter

• auf Breite des Konfidenzintervalls lässt sich im positiven Sinn Einfluss nehmen

• wunsch ist möglich schmales Intervall mit hoher Wahrscheinlichkeit

• Möglichkeit es zu erreichen:

• 1 te Möglichkeit:

• Erhöhung des Stichprobenumfangs n

• je mehr beobachtungen desto präziser kann der Mittelwert berechnet und das Intervall geschätzt werden

• Intervall wird schmaler

• 2te Möglichkeit:

• Verringerung der Vertrauenswahrscheinlichkeit 1 - alpha

• wenn Vertrauenswürdigkeit sinkt , steigt die Irrtumswahrscheinlichkeit