Stochastik

Diskreter Grundraum, Ergebnis, Ereignis

Kolmogorovsches Axiomensystem, Wahrscheinlichkeitsmaß

Laplace-Raum

Laplace-Verteilung

Bernoulli-Experiment

Siebformel

Folge von Ereignissen: Stetigkeit von unten und von oben

Wahrscheinlichkeitsfunktion / Zähldichte

Grundraum mZmR

Grundraum oZmR

Grundraum oZoR

alternativer Grundraum oZoR

Grundraum mZoR

Multinomialkoeffizient

Hypergeometrische Verteilung

Binomialverteilung

Binomialverteilung und Hypergeometrische Verteilung Zusammenhang

zwei Ereignisse stochastisch unabhängig

eine Familie von Ereignissen stochastisch unabhängig

eine Familie von Ereignissen paarweise unabhängig

Unabhängigkeit und Komplemente

Produktexperimente

Produktraum,

Produktwahrscheinlichkeit

Bernoulli-Experiment

Randverteilung, Marginalverteilung

Bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Bayes-Formel

diskrete, reellwertige Zufallsvariable

P^X, Verteilung von X

diskret, Träger des Wahrscheinlichkeitsmaßes P^X

Realisation der Zufallsvariablen X,

Wahrscheinlichkeitsfunktion / Zähldichte von X

Indikatorfunktion des Ereignisses A

Wann ist X Laplace-verteilt? (Dichte)

Wann ist X binomialverteilt? (Notation, Dichte)

Wann ist X Bernoulli-verteilt? (Notation, Dichte)

Wann ist X hypergeometrisch verteilt? (Notation, Dichte)

Wann ist X Poisson-verteilt? (Notation, Dichte)

Gesetz der seltenen Ereignisse (Approximation mit der Binomialverteilung)

Wann ist X negativ-binomialverteilt? (Dichte, Notation)

Wann ist X geometrisch verteilt? (Dichte)

Verteilungsfunktion von X

Formel für Erwartungswert E[X],

Alternativformel

Vier Eigenschaften des Erwartungswerts

Transformationsformel Erwartungswert

Varianz von X

Standardabweichung von X

Standardisierung von X

k-tes Moment von X

k-tes zentrales Moment von X

Ungleichung k-tes Moment

Fünf Eigenschaften der Varianz (d und e egal)

Markov-Ungleichung

Tschebyschev-Ungleichung

gemeinsame Verteilung

Kovarianz,

unkorreliert,

Korrelationskoeffizient

4 Eigenschaften der Kovarianz

Eigenschaft Varianz: Var(X+Y)

Ungleichungen für X, Y Zufallsvariablen mit existierenden Varianzen

3 Eigenschaften der Korrelation

Äquivalenz: A und B stochastisch unabhängig

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

n-dimensinonale Zufallsvariable,

gemeinsame Verteilung,

Marginalverteilung

Gemeinsame Zähldichte X1, …, Xn

k-dimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion

Äquivalenz: n Zufallsvariablen sind unabhängig (c, zweiter Absatz)

Wahrscheinlichkeitsfunktion p der gemeinsamen Verteilung von X und Y hat Produktgestalt. Was gilt dann und welche Formeln sind erfüllt?

Fortsetzung der Unabhängigkeit von n Zufallsvariablen mit Funktionen

Diskrete Faltungsformel

Für X und Y unabhängige Zufallsvariablen: Verteilung, falls einzeln binomial oder poisson?

X, Y unabhängig -> Formel für Erwartungswert E[XY]

Unabhängige Zufallsvariablen X, Y

• Wie verhält sich Cov(X, Y) und was lässt sich daraus ableiten?

• Welche Formel gilt bzgl. Varianzen?

Sei X Zufallsvektor. Was sind die Kovarianzmatrix und der Erwartungswert von X?

Multinomialverteilung

Multinomialformel

Verteilung der Summe der binomialverteilten Zufallsvariablen in der Multinomialverteilung

Erzeugende Funktion (inkl. Summendarstellung)

Erzeugende Funktion für Binomialverteilung und Poissonverteilung

2 Eigenschaften erzeugende Funktion:

• Werte bei x=0 und x=1

• Differenzierbarkeit wo und Ableitung

2 Eigenschaften erzeugende Funktion:

• X und Y: Äquivalenzaussage

• Was passiert, falls X und Y stochastisch unabhängig sind?

1 Eigenschaft erzeugende Funktion bzgl. Erwartungswert

r-tes faktorielles Moment, Formel zur Berechnung

Zufallsvariable “Höhe des Schadens”, Summe: Wie sieht g_SN aus?

Was nennt man Galton-Watson-Prozess?

Rekursionsformel

Galton-Watson-Prozesse: erzeugende Funktionen

Galton-Watson-Prozess: q und Formeln dazu

Definition Momenterzeugende Funktion

Grundraum

Sigma-Algebra über Omega,

Ereignis

Weitere Dinge, die in einer Sigma-Algebra über Omega immer enthalten sind

Eigenschaft Sigma-Algebren (Schnitt)

Von M erzeugte Sigma-Algebra: sigma(M),

Erzeuger von sigma(M)

Sigma-Algebra der Borelmengen

nicht mehr diskret:

Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsraum

Maß, Maßraum

nicht mehr diskret:

Verteilungsfunktion von P

3 Fakten über Verteilungsfunktion F

• Wahrscheinlichkeiten von Intervallen

• Äquivalenz für F stetig in x

• Unstetigkeitsstellen?

nicht diskret:

• Wahrscheinlichkeitsdichte

• Wie wird daraus die Verteilungsfunktion F gebildet?

Gleichverteilung

(A, A’)-messbar,

nicht diskret: Zufallsvariable

Allgemein (B, C)-messbar

Wie kann einfacher überprüft werden, ob g: R -> S (B, C)-messbar ist?

X ist Zufallsvariable Äquivalenz

Wann heißt eine Zufallsvariable X diskret?

P^X, Verteilung von X (nicht diskret)

Wann ist X stetig?

Definition und

1 Eigenschaft der momenterzeugenden Funktion

Gleichverteilung

• Notation

• Wahrscheinlichkeitsdichte

Gleichverteilung:

• P(X in (alpha, beta])

Normalverteilung

• Notation

• Wahrscheinlichkeitsdichte

Standardnormalverteilung

• Wahrscheinlichkeitsdichte

• Notation

• Verteilungsfunktion

Normalverteilung

• Verteilungsfunktion

• X* (Standardisierung von X)

• P(X* <= x)

Exponentialverteilung

• Wahrscheinlichkeitsdichte

• Notation

Exponentialverteilung

• Verteilungsfunktion

Gammafunktion,

Eigenschaften der Gamma-Funktion

Satz der Dichtetransformation, Diffeomorphismus

lognormalverteilt

• Definition

• Dichte

X stetig, Erwartungswert von X Definition

Gleichverteilung

• Erwartungswert

• Varianz

Normalverteilung

• Erwartungswert

• Varianz

Exponentialverteilung

• Erwartungswert

• Varianz

Laplace-Verteilung: Erwartungswert, Varianz

Binomialvereteilung: Erwartungswert, Varianz

Poisson-Verteilung: Erwartungswert, Varianz

Negative Binomialverteilung (Erwartungswert, Varianz)

geometrische Verteilung (Erwartungswert, Varianz)

Hypergeometrische Verteilung: Erwartungswert

Transformationsformel für Erwartungswerte (X stetig)

Varianz von X (X stetig)

Dichte über R^k

P(B), B in geschwungen B hoch k

Dichte der Standardnormalverteilung auf R^k

Wann ist X eine mehrdimensionale stetige Zufallsvariable mit Dichte f?

gemeinsame Dichte von X1, …, Xk

Gleichverteilung mehrdimensional

• Flächeninhalt einer Borelmenge

• Dichte

• Notation

Falls (X, Y) ~ U(B) und A teilmenge B Borelmenge, so gilt für P((X, Y) in A)…

mehrdimensional:

• Verteilungsfunktion

• gemeinsame Verteilungsfunktion

mehrdimensional: Zusammenhang Dichte und Verteilungsfunktion

l-dimensionale Marginaldichte

mehrdimensionale Dichtetransformation:

• fY(y) = …

• Jakobimatrix

Dichte von X+Y

Dichte X*Y

Dichte von X/Y

mehrdimensionale Transformationsformel Erwartungswert

Kovarianz für 2-dimensionale Zufallsvariable (X, Y)

Wann sind X1 bis Xn stochastisch unabhängig?

Äquivalenzen: X1 bis Xn stochastisch unabhängig

X, Y seien stetige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Dichte Produktgestalt hat

Notation Mischung

Erwartungswert Mischung

• Faltungsformel

• Faltungsprodukt

stetige Zufallsvariable X: momenterzeugende Funktion von X

Momenterzeugende Funktion von X* ~ N(0, 1)

Die bedingte Zähldichte von Y gegeben X = x

Bedingte Dichte f(y|x) von Y gegeben X = x

Bedingte Verteilung von Y gegeben x = x

Diesbezüglich: Aussage ZGWS

Notation zur Konvergenz

• Konvergiert in Verteilung / schwach

• Notation

Lemma von Slutsky

Continuous mapping theorem

Charakteristische Funktion phiX(t)

Was passiert für X, Y unabhängig?

Charakteristische Funktion Binomialverteilung

Charakteristische Funktion Normalverteilung

Stetigkeitssatz von Levy-Cramér

Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS) von Lindeberg-Levy

ZGWS Adaption

Konvergenzen, Implikationen

Formel, um mit charakteristischen Funktionen Erwartungswerte zu berechnen

Verkettungen von X und Y bei Konvergenzen

Konvergenzen f.s. und P mit verknüpftem g

Beziehungen zwischen X, Y bei Konvergenzen

Drei Konvergenzen, Definitionen

Exponentialfunktion, Summendarstellung

Integration durch Substitution

Partielle Integration