Wahrscheinlichkeitstheorie 1

= alle statistischen Verfahren, die es erlauben, trotz der Informationsunvollständigkeit der Stichprobendaten Aussagen über eine Population zu treffen

= Gesamtheit aller MerkmalsträgerInnen, auf die eine Untersuchungsfrage gerichtet ist

• exakte sachliche, räumliche und zeitliche Abgrenzung

= Auswahl bestimmter Merkmalsträger*innen aus einer Population

= Teilmenge der Grundgesamtheit

• Stichprobengröße

  • je größer, desto genauer die Schätzung

• Repräsentativität der Stichprobe

  • Zufallsstichprobe

  • Schichtenstichprobe

  • Klumpenstichprobe

  • mehrstufige Stichproben

= Vorgang, der mehr als einen möglichen Ausganghaben kann und bei dem wir vorher nicht wissen, welcher dieser Ausgänge eintreten wird

• Ergebnis

  • mögliche Ausgänge des Zufallsexperimentes

  • mit so rundem w bezeichnet

• Ergebnismenge

  • alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammengefasst

  • Omega

• Ereignis

  • Zusammenfassung mehrerer Ergebnisse eines Zufallsexperiments in einer Menge

  • Ereignis ist Teilmenge von Omega

  • Bezeichnung in Großbuchstaben

• Elementarereignis

  • wenn Ereignis nur ein Ergebnis

• Ereignismenge

  • Zusammenfassung aller möglichen Ereignisse

  • fancy großes A

P = eine Funktion, die jedem Ereignis A aus der Ereignismenge 𝒜 eine Wahrscheinlichkeit in Form einer reellen Zahl 𝑃(𝐴) zwischen 0 und 1 zuweist

Eine Wahrscheinlichkeit muss die Kolmogoroff Axiome erfüllen:

Eigenschaft 1: 𝑃 (𝐴) ≥ 0

Eigenschaft 2: 𝑃 (Ω) = 1

Eigenschaft 3: Wenn 𝐴 ∩ 𝐵 = {}, dann ist 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵)

= relative Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses A bei n Durchgängen des Zufallsexperiments

• Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird dann als Grenzwert dieser relativen Häufigkeit bei 𝑛 → ∞ interpretiert

• In vielen Fällen repräsentieren Zufallsvariablen einen Messvorgang: Ω ist dann die Menge der Merkmalsausprägungen, denen durch 𝑋 jeweils ein Variablenwert zugeordnet wird

• Durch die „Übersetzung“ in Zahlen wird die Anwendung mathematischer Modelle möglich gemacht oder vereinfacht

ein Wert x, den die Zufallsvariable X annimmt, nach Durchführung des Zufallsexperimentes und eintreten des Ergebnisses w.

x = X(w)

Tx = Menge aller möglichen Realisationen einer ZV X = neue Ergebnismenge bestehend aus Zahlen

• Teilmengen des Tx sind neue Ereignisse Ax

• Menge aller dieser Ereignisse ist neue Ereignismenge 𝒜x

wenn Träger eine endliche Anzahl an unterschiedlichen möglichen Realisationen enthält

= wenn der Träger eine unendliche Anzahl an unterschiedlichen Realisationen (mit unendlichen feinen Abstufungen) enthält