Lineare Regression

1. Prädiktion von Merkmalsausprägungen

   • explorative Studien: Erklärung von Zusammenhängen

2. Erklärung von Merkmalsunterschieden

   • konfirmatorische Studien

• metrische AV

• nur eine UV

  (entspricht t-Test falls kategoriale UV mit 2 Stufen)

• linearer Zusammenhang zwischen UV und AV

• Die Summe aller Abweichungen zwischen Messwerten und Mittelwert ist 0

• Summe aller quadrierten Abweichungen zwischen Messwerten und Mittelwert ist minimal

• Falls UV unbekannt ist der geschätze Mittelwert der beste Vorhersagewert

Die Regressionsgerade wird so in den Punkteschwarm gelegt, dass die Summe der quadrierten Abstände zwischen Messwerden der AV und deren vorhergesagten Werten minimal wird

b0

• Intercept

• vorhergesagter Wert y^, wenn x=0

b1

• Steigung (“Slope”)

• Veränderung von y^ falls x um eine Einheit zunimmt

• “error” em

• Differenz zwischen vohergesagtem Wert y^und beobachtetem Wert y bei Person m

• Varianz der Residuen = Fehlervarianz S^2E

• Standardabweichung der Residuen heißt Standardschätzfehler

• Je größer die Korrelation zwischen X und Y, desto kleiner der Standardschätzfehler

Varianz

• Varianz der abhängigen Variable Y lässt sich additiv zerlegen in durch den Prädiktor erklärte Varianz und Fehlervarianz zerlegen

Determinationskoeffizient R^2

• Ergibt sich aus der Varianz

• Anteil der erklärten Varianz an der Gesamtvarianz

• standartisiertes Maß zur Güte der Vorhersage

• 0= keine Vorhersage, 1 = perfekte Vorhersage

• Wenn man beide Variablen z-standartisiert, ergeben sich diese Regressionskoeffizienten:

  —> b_0s = 0

  —-> b_1s = r_xy

• standardisierter Regressionskoeffizient entspricht der Korrelation (bei ELR)

Unstandardisiert

• Vorhersage bei intuitiv interpretierbaren oder etablierten Maßeinheiten (z.B. Geld, Zeit, IQ-Werte)

• Vergleich verschiedener Gruppen

• Das Regressionsgewicht hat keine Ober- oder Untergrenze

Standardisiert

• Vergleich verschiedener Studien mit unterschiedlichen Messinstrumenten (z.B. bei Meta-Analysen)

• Notation ist häufig beta zwecks einfacherer Abgrenzung von b

• Je weiter ein x-Wert vom Mittelwert abweicht, desto größer ist der Standardfehler des bedingten Erwartungswertes und desto unsicherer ist seine Schätzung

• Deshalb: KI verläuft nicht parallel zur Regressionsgeraden, sondern bikonkav (in der Mitte schmaler, bei den Extremwerten größer)

• Homoskedastizität

• Normalverteilung der Residuen

• Unabhängigkeit der Residuen