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von Mara B.

Maximum-Likelihood Schätzwert für den Parameter θ^ der Zufallsvariablen X.

xi <- c(0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0)

mean(xi)

Nun sei bekannt, dass Zufallsvariable Y die Gewinnverteilung bei einem Glücksspiel modelliert. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt dabei θ= 0.26. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei 9-maliger Teilnahme am Gewinnspiel höchstens 3-mal gewinnen.

pbinom(q=3, size = n(9), prob = theta)

Nun sei angenommen, in einer Urne mit N= 50 Kugeln befinden sich weiße und schwarze Kugeln, wobei der Anteil θ weißer Kugeln in der Urne unbekannt ist. In einer Stichprobe vom Umfang n= 13 werden 11 weiße Kugeln gezogen. Bestimmen Sie denjenigen Maximum-Likelihood-Schätzwert für θ, für den das Ergebnis der Stichprobenziehung maximal wird. Hinweis: Da N = 50 ist, kannθnur ein Vielfaches von 0.02 annehmen!

wenn eine einzelne Variable, dann ingesamt multiplizieren mit den anderen (Bsp. 10x1 -2x2 +4x3 +8)

ansonsten, Vorzeichen übernehmen und miteineinander verrechnen

Nachhilfeaufgabe: Zahl mit mü wert multiplizieren, sonst wie Formel.

Ermitteln Sie nun die Varianz der Schätzfunktion U und ergänzen Sie die Lücke im folgenden Antwortsatz. Die Varianz der Schätzfunktion U beträgt Var(U) **** sigma^2.

Dasselbe wie mit Erwartungswert nur alle Werte hoch zwei.

Die Schätzfunktion X¯=1n∑i=1nXi ist eine erwartungstreue Schätzfunktion für den Erwartungswert eines Merkmals in der Grundgesamtheit. Bestimmen Sie nun die Varianz dieser Schätzfunktion für den Fall n=3 und ergänzen Sie die Lücke im nachfolgenden Antwortsatz. Die Varianz der Schätzfunktion X¯ beträgt Var(X¯)= 0.3333333

XXXX σ2.

n ist gegeben. Daher einfach wie Funktion sagt: 1/n

Schätzwert für den Parameter λ^ der Zufallsvariablen X. ( Tabelle gegeben mit i und xi).

Verwenden Sie hierzu die Bedingung der Momentenmethode: der theoretische Erwartungswert E(X) entspricht dem empirischen Erwartungswert x¯¯¯ !

ex <- mean(xi)

1/ex

Warum?: es ist nach lambda gefragt und daher ist der Erwatunsgwert bei Poisson für lambda = 1/EX (Formel umgestellt).

Nun sei bekannt, dass die Zufallsvariable Y die Zeit (in Minuten) zwischen der Ankunft zweier Kunden an einer Waschstraße modelliert. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen der Ankunft zweier Kunden mindestens 6 Minuten vergehen. Treffen Sie hierzu die Annahme, der Parameter der Verteilung sei λ= 0.25.

lambda <- 0.25 (gegebener Wert aus Aufgabenstellung)

1-pexp( q =6, rate = lambda) (1-, da wir die rechte Seite des Graphen ausrechnen)

Von der Zufallsvariablen Z sei bekannt, dass Sie einen Erwartungswert von E(Z)= 4.5 annimmt. Ermitteln Sie zusätzlich den Wert der Varianz Var(Z) dieser Zufallsvariablen.

Formel nach lambda umstellen. Dann einfach in var = 1/lambda^2 einsetzen.

Ermitteln Sie anhand der Informationen der Stichprobe einen Schätzwert für den Anteil der Personen in der Grundgesamtheit, die kleiner als 1,60m sind.

! gegebene Werte: !

n <- 220

sumxi<- 48

theta (p) <- 1/n * sum(xi)

Ermitteln Sie ferner die Standardabweichung des Anteils θ der Personen mit einer Körperlänge unter 1,60m.

(theta aus Aufagbe vorher gegeben)

sqrt(1/n * theta * (1-theta))

-> Formel für Anteilswerte der Varianz& MmZ

Ermitteln Sie nun den Wert der Untergrenze eines zweiseitigen 95 Prozent Konfidenzintervalls für den Anteil θ der Personen mit einer Körperlänge unter 1,60m.

Was ist gegeben um zu bestimmen welches KI gewählt werden muss? (evtl. Aufgabenstellung ranziehen)

geg:

Verteilung: approximative Normalverteiltheit

alpha <- 1-0.95

KI für Anteilswerte (MoZ)

Aus einer früheren Untersuchung ist bekannt, dass der Anteil der Personen, die kleiner als 1,60m sind, 11 Prozent beträgt. Ermitteln Sie auf Grundlage dessen den Mindeststichprobenumfang n für ein 95-Prozent Konfidenzintervall der Länge d≤ 0.04.