Définition K espace vectoriel
ensemble E muni d’une loi de composition interne, noté + , et d’une loi de composition externe, noté . , telles que :
(E , +) est un groupe commutatif. L’élement neutre est noté 0
∀ (λ,µ) ∈ K² , ∀ (x,y) ∈ E²
λ.(x+y) = λ.x + λ.y
(λ+µ).x = λ.x + µ.x
(λµ).x = λ.(µx)
1.x = x
Définition d’un espace vectoriel produit
(E x F, + , . ) s’appelle l’espace vectoriel produit des espaces vectoriels E et F
Définition combinaison linéaire
Soit E un K espace vectoriel et x1, x2, …, xp des vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de ces vecteurs toute somme ∑( i ∈ [1,p]) λixi où λi ∈ K
Définition sous espace vectoriel
Soit (E, + , · ) un K espace vectoriel et F ⊂ E. F est un sous-espace vectoriel si et seulement si (F, +) est un groupe de (E, +), F est stable pour la multiplication externe (i.e ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λx ∈ F). (F, +, ·) est alors un K espace vectoriel).
Définition application linéaire
Soient E et F deux K espaces vectoriels de f : E→F une application. f est une application linéaire si et seulement si :
∀ (x,y) ∈ E² , f(x+y) = f(x) + f(y)
∀ λ ∈ K, ∀x ∈ E, f(λx) = λf(x)
On dit encore que f est un morphisme d’espace vectoriel.
Lorsque E = F on parle d’endomorphisme linéaire.
Si de plus f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E sur F (respectivement d’un automorphisme de E dans le cas d’un endomorphisme bijectif).
Définition forme linéaire
Une application l'inéaire d’un K espave vectoriel E dans K s’appelle une forme linéaire.
Déf équation linéaire
Equation du type f(x)=b, où : E, F sont deux K espaces vectoriels et f : E → F une application linéaire. b ∈ F et x un vecteur inconnu de E.
Le vecteur b est appelé le second membre de l’équation.
Lorsque b=0 de F, on dit que l’équation linéaire est homogène.
Résoudre l’équation f(x)=b, c’est déterminer {x ∈ E ∣ f(x)=b}
Définition sous espace affine d’un espace vectoriel
Soit A ⊂ E. On dit que A est un sous espace affine de E s’il existe a ∈ A et E’ sous-espace vectoriel de E tel que
A={a+u ∣ u ∈ E’}. On dit que E’ est la direction de A.
Définition somme de sous-espaces vectoriels
Soit E un K espace vectoriel et E₁, E₂ deux sous-espaces vectoriels de E. On note E₁ + E₂ le sous-espace vectoriel vect(E₁ ⋃ E₂). C’est le sous-espace vectoriel somme de E₁ et E₂.
Définition somme directe
Soit E un espace vectoriel et E₁, E₂ deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que la somme des sous-espaces vectoriels E₁ et E₂ est directe et on écrit E₁ ⊕ E₂ si et seulement si tout élément de E₁+E₂ se décompose de façon unique en somme d’un élément de E₁ et d’un élément de E₂;
∀ u ∈ E₁ + E₂ ∃!(u₁, u₂) ∈ E₁ × E₂ u=u₁+u₂
Définition sous-espaces vectoriels supplémentaires
Soit E un espace vectoriel et E₁, E₂ deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que E₁ et E₂ sont supplémentaires dans E si et seulement si E = E₁ ⊕ E₂.
Définition projection vectorielle
Soit et un K espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. L’application π de E dans E qui, à tout élément x ∈ E associe l’unique x₁ ∈ F tel que x=x₁+x₂, avec x₂ ∈ G est appelé projection de F parallèlement à G.
On dit aussi que π est un projecteur de E.
Définition symétrie vectorielle
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G l’application σ=π-π’=2π-Id.
Si x=x₁+x₂ avec x ∈ F₁ et x₂ ∈ G, σ(x)=x₁-x₂.
Proposition addition sur deux K espaces vectoriels
Soient E et F deux K espaces vectoriels. On définit une addition sur E × F par (u₁, v₁)+(u₂, v₂) = (u₁+u₂, v₁+v₂) et une loi de composition interne par λ(u₁,u₂) = (λu₁,λu₂).
Alors (E × F, +, · ) est un K espace vectoriel.
Proposition démonstration d’un sous-espace vectoriel
Soit (E, +, · ) un K espace vectoriel et F ⊂ E. F est un sous-espace vectoriel si et seulement si
0 ∈ F
∀(x,y) ∈ F², x+y ∈ F
∀ λ ∈ K ∀x ∈ F, λx ∈ F
Proposition sous-espaces vectoriels d’applications
Soient E, F deux K espaces vectoriels et f : E → F une application linéaire.
Si E’ est un sous-espace vectoriel de E alors f(E’) est un sous-espace vectoriel de F.
En particulier f(E) que l’on note aussi Im f est un sous-espace vectoriel de F.
Si F’ est un sous-espace vectoriel de F, f⁻¹(F’) est un sous-espace vectoriel de E.
En particulier Ker f = f⁻¹(0f) est un sous-espace vectoriel de E.
Proposition application injective
Soit f : E → F une application linéaire.
f est injective si et seulement si Ker f = {0e}
Proposition opérations avec les application linéaires
Si f : E → F et g : F → G sont deux application lineaires alors g ∘ f : E → G est une application linéaire.
Si f est un isomorphisme de E sur F, alors f⁻¹ est un isomorphisme de F sur E.
Si u, v : F → G sont deux application linéaires et f : E → F est une application linéaire alors (αu+βv)∘f=αu∘f+βv∘f est linéaire.
Si u,v : E → F sont deux applications linéaires et g:F→G est une application linéaire alors g∘(αu+βv)=αg∘u+βg∘v est linéaire.
Corollaire opérations avec les applications linéaires
(L(E), +, · ) est un anneau non commutatif et non intègre dès que la dimension de E est supérieure ou égale à 2. C’est l’anneau des endomorphismes de E.
On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E. C’est une partie de L(E) et (GL(E), ∘) est un groupe appelé groupe linéaire de E.
Proposition linéarité combinaison linéaire application
Soit E un K espace vectoriel et (u1, u2, …, up) une famille de vecteurs. L’application f : K(indice p) → E définie par f(x1, x2, …, xp)=∑(i ∈ [1,p]) xiui est linéaire.
Théorème intersection des sous-espaces vectoriels
Soit E un K espace vectoriel et Ei, i ∈ I une famille non vide de sous espaces vectoriels de E. Alors ⋂(i ∈ I) Ei est un sous-espace vectoriel de E.
Corollaire Vect
Soit A une partie de E. Il existe un plus petit (pour l’inclusion) sous-espace vectoriel de E contenant A. Ce sous-espace vectoriel sera noté Vect(A) et appelé le sous-espace vectoriel engendré par A.
Proposition écriture du Vect(A)
Soit A={x1, x2, …., xp} ⊂ E une famille de p≥1 vecteurs de E. Vect(A) est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs {x1, x2, …, xp}
Proposition somme de sous-espaces vectoriels
E₁+E₂ = {u ∈ E ∣ ∃(u₁,u₂) ∈ E₁×E₂ u=u₁+u₂}
Propositions autour du Vect
Soient A et B deux parties de l’espace vectoriel E
A ⊂ Vect(A)
A ⊂ B ⇒ Vect(A) ⊂ Vect(B)
A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si A=Vect(A).
En particulier Vect(Vect(A))=Vect(A)
Vect(A⋃B)=Vect(A) + Vect(B)
Théorème somme directe
F = E₁ ⊕ E₂ ⇔ F = E₁ + E₂ et E₁ ⋂ E₂ = {0}
F = E₁ ⊕ E₂ ⇔ ∀ u ∈ F ∃!(u₁,u₂) ∈ E₁ ×E₂ u = u₁ + u₂
Proposition projecteur
Soient F et G deux sous-sous espaces vectoriels supplémentaires de E et π la projection sur F parallèlement à G
π est linéaire
π ∘ π = π
ker π = G
Im π = F
F = {u ∈ E ∣ π(u) = u}
Proposition application linéaire projecteur
Soit f ∈ L(E). Alors f est un projecteur si et seulement si f∘f=f
Proposition symétrie vectorielle
Une symétrie vectorielle est un automorphisme involutif, i.e σ∘σ = Id.
Tout endomorphisme involutif est une symétrie vectorielle.
Si σ est un endomorphisme involutif, c’est la symétrie vectorielle par rapport à ker(σ-Id) parallèlement à ker(σ+Id).
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