-95% liegen plus/minus 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt

-Für derartige glockenförmige Häufigkeitsverteilungen gibt die sogenannte 68-95-99.7-Regel ungefähre Prozentsätze von Daten innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen vom Mittelwert an

-Beispiel: IQ-Scores Mittelwert = 100, SD = 15

-Es gilt:

o   etwa 68 % der IQ-Werte liegen zwischen 85 und 115 (= eine Standardabweichung unter und über dem Mittelwert von 100)

o   etwa 95 % der IQ-Werte liegen zwischen 70 und 130 (= zwei Standardabweichungen vom Mittelwert)

==> der Test intendiert in seinem Aufbau genau diese Form zu erreichen

==> 2019 war die Klausur schwerer – oder die Kohorte schwächer

-Rechnet Ausgangsverteilung in eine "standardisierte" Verteilung um ==> Mittelwert = 0 und Standardabweichung = 1

-Anstelle der absoluten Punktzahl betrachten wir die Leistung relativ zum Durchschnitt und in Standardabweichungen:

-Zum Beispiel:

o   z = 2 heißt, dass eine Beobachtung 2 Standardabweichungen oberhalb des Mittelwerts der Daten entfernt liegt.

o   z= -1,5 bedeutet, dass eine Beobachtung 1,5 Standardabweichung unterhalb des Mittelwerts liegt

==> z-Standardisierung macht Werte über unterschiedliche Verteilungen hinweg vergleichbar (verglichen wird die relative Position in einer normierten Verteilung

==> Die z-Werte zeigen an, wie viele Standardabweichungen die Beobachtung ober-/unterhalb des Mittelwerts der Daten entfernt liegt. (bei positiven Werten überm Durchschnitt und bei negativen Werten unterm Durchschnitt)

-Die z-Werte zeigen an, wie viele Standardabweichungen die Beobachtung ober-/unterhalb des Mittelwerts der Daten entfernt liegt.

-Die daraus resultierende standardisierte Variable Z besitzt stets den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1 

-Am Beispiel des Klausurergebnisses von Jan und Paul

==> Paul hat Recht – an seinem Jahrgang gemessen, hat er das bessere Ergebnis

-Normalverteilung:

o   Glockenförmig, unimodal-symmetrisch 

o   Abhängig vom Mittelwert und der Varianz (Standardabweichung) 

-Standardnormalverteilung:

o   Jeder Wert der Variablen X kann standardisiert werden (z-Standardisierung), d.h. neue Werte bilden die Werte einer neuen Variable Z

o   Diese Variable Z besitzt stets den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1 , d.h. Bessere Vergleichbarkeit

-Das einfachste Konzentrationsmaß ist das Dezilverhältnis (auch Dezil-Ratio)

-Zum Beispiel: 90/10-Dezilverhältnis

o   Verhältnis zwischen dem ersten und dem neunten Dezil einer Verteilung

- Alternativ: 90/50-Dezilverhältnis

o   Verhältnis des Vermögens "reicher“ Personen im Verhältnis zur Mitte der Vermögensverteilung

-Beispiel – Dezilverhältnis für das Haushalts-Nettoäquivalenzeinkommen

Gini-Koeffizient als Maßzahl zur Beschreibung einer ungleichen Verteilung / Lorenzkurve

-Die Lorenzkurve erlaubt Aussagen der Art „x Prozent der Merkmalsträger teilen sich y Prozent der Merkmalssumme“. Es handelt sich dabei also um ein Maß der relativen Konzentration.

o   Beispiel: Die reichsten 10 Prozent aller volljährigen Personen verfügten im Jahr 2007 über 61,1 Prozent des gesamten Vermögens.

-Wenn man Aussagen für einzelne Merkmalsträger formulieren möchte („n Merkmals- träger sind für y Prozent der Merkmalssumme verantwortlich“) braucht man Maße der absoluten Konzentration

o   Beispiel: 804.000 Einkommensteuerpflichtigen mit dem Einkommensteuer-Höchstsatz im Jahr 2003 trugen 29,6 Prozent des gesamten Einkommensteueraufkommens