Rest

Funktion mit:

• wachsendem x immer größer werden oder konstant bleiben, heißt monoton wachsend

• monoton fallend, wenn die Funktionswerte mit wachsendem x immer kleiner werden oder konstant bleiben

• streng monoton wachsend sind Funktionen, deren Funktionswerte mit wachsendem x größer bzw. kleiner werden (streng monoton fallend), aber nirgends konstant sind

  
  

HP/TP:

1) Erste und zweite Ableitung bestimmen

2) Nullstellen der Ersten Ableitung

3) Nullstellen aus erste ableitung in zweite Ableitung einsetzen und dann

kann man hp und tp bestimmen. wenn zb 2 grösser als 0

dann ist es TP und wenn 0 kleiner ist als zb -2 dann HP

Zweite Ableitung (mit den Nullstellen aus der ersten Ableitung).

ist 0 größer als f (z.B. -6) dann lokales Maximum

ist 0 kleiner als f (z.B. 6) dann lokales Minimum

1) 1.2.3 Ableitung bestimmen

2) Nullstellen der 2. Ableitung berechnen

3) Nullstellen in 3. Ableitung einsetzen (wenn f^^ = 0 Wendepunkt)

z.B. W(1/2)

DANN (Wendetangente):

y = m*x + b

1) 1 in erste Ableitung einsetzen

2) Ergebnis von (1) gleichsetzen mit y von Wendestelle plus +

2 = -3/4 * 1 + b

3) nach b auflösen

y = -3/4x + 2,75

1) Dreieck einzeichnen

2) 2te und 3te Zeile mit der ersten Zeile plus oder minus rechnen nach möglichen 0

3) nach dem das Dreieck gebildet wurde

x1, x2,x3 bestimmen (nullen auslassen)

4) mit der Dritten Zeile beginnen und gleich x auflösen, usw

Normalform, erste und zweite Ableitung in -1 einsetzen

ehoch-x = z

1) gleich null setzen

2) (ehoch-x)hoch2 -5ehoch-x = 0

3) zhoch1 - 5z

4) Ausklammern z * (z-5) = 0

5) Nullstellen bestimmen

6) x1 und x2 in ln einsetzen

MERKE: Steigung erhält man über erste Ableitung, Wir wissen, dass e0=1

1) Erste Ableitung

2) Berechnung der Tangensteigung

• m: f^(2) = 3*2hoch2 - 2 = 10m

• y einsetzen in m*x + c

• 4 = 10*2 + c auflösen

  • mit den erhaltenen werten y bestimmen

g(x) > 1 liefert informationen über y werte:

• y werte der Punkte auf dem Schaubild von g sind größer als 1 oder Schaubild verläuft oberhalb der Gerade y = 1

g^(x) < 0 liefert Informationen über y werte

• Steigungen der Tangente an das Schaubild von g sind negativ pder Funktionen sind monoton fallend

g^^(x) > 0 liefert Informationen zur Krümmung des Schaubildes, das Schaubild von g ist linksgekrümmt

1) Ansatz der Polonymfunktion: f(x) = axhoch3 + bxhoch2 +cx +d

2) Ableitung: f^(x) = 3axhoch2 + 2bx + c

Bedingungen:

An der Stelle x = 1 existiert die Steigung 5: f^(2) = 5 : 12a + 4b + c = 5

T(1/-1) ist ein Punkt auf dem Schaubild: f(1) = -1 : a + b +c + d = -1

An der Stelle x = 1 existiert die Steigung 0: f^(1) = 0: 3a + 2b + c = 0

Schnittpunkt der y-Achse bei -1: f(0) = 1: d = -1

e#

( Mittellage - Amplitude ; Mittellage + Amplitude)

Amplitude: Das war vor dem sin,cos steht

Mittellage: Das was am ende steht

f(x) = gibt die y werte an

f^(x) = gibt die Tangentensteigungen an

f^^(x) = Kann die Krümmung des Schaubildes abgelesen

(1 / 1/2 cos(1/2x)) = 2cos(1/2x) = 2cos(1/2*pi) - 2cos(1/2 * 0) = -2

Merke: Bei trigonometrischen Funktionen immer 1 : b rechnen bei der Stammfunktion

Ansatz: y = mx + b

h^(x) = 3 *(-0,5) * ehoch-0,5x = 1,5 * ehoch-0,5x

Steigung der Tangente: h^(0) = -1,5

y-wert des Berührpunktes: h(0) = 7

einsetzen der Steigung m = -1,5 und des

Punktes B(0/7) in den Ansatz:

7 = -1,5 * 0 + c

c = 7

Tangentengleichung: y = -1,5x + 7

Momentante Änderungsrate:

Die momentante Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente. Gesucht ist somit die Stelle, bei der die Tangensteigung -1 ist.

Bedingung: h^(x) = -1

für e-0,5x = z

Gleichsetzen und nach x auflösen

Durchschnittliche Änderungsrate:

Zeigen sie, dass die momentante Änderungsrate der Temperatur zum Zeitpunkt t = 5 kleiner ist als die durchschnittliche Änderungsrate der Temperatur in den ersten fünf Minuten

Momente Änderungsrate zum Zeitpunkt t: T^(t)

Durchschnittliche: T(b) - T(a) / b - a

T^(t) = -83 (-0,15) * ehoch-0,15t = 12,45ehoch-0,15t

Momentante Änderungsrate: t=5 : T^(5) = 5,88 celcius pro minute

Durchschnittliche Änderungsrate in den ersten 5 min:

T(5) - T(0) / 5-0 = 65,79 - 22 / 5 = 8,76 celcius proMinute

1) Berechnung des Berührpunktes:

f(x) = -3xhoch2 + 12x - 6 und k(x) = 3x + 0,75

Daraus folgt f^(x) = -6x + 12 und k^(x) = 3

Bedingungen für Berührung: (1) f(x) = k(x) und (2) f^(x) = k^(x)

(1) -3xhoch2 + 12x - 6 = 3x + 0,75

(2) -6x + 12 = 3

Aus (2) folgt x = 1,5

Einsetzen von x = 1,5 ln (1) ergibt eine wahre Aussage: 5,25 = 5,25

Somit berühren sich die Schaubilder im Punkt B(1,5 / 5,25)

h(x) = axhoch3 + bxhoch2

Bedingungen:

Punkt H(2/6) liegt auf dem Schaubild: h(2) = 6 (1)

An der Stelle x = 2 ist ein Hochpunkt: h^(2) = 0 (2)

Es gilt h^(x) = 3axhoch2 + 2bx

Gleichung zu (1): 8a + 4b = 6

Gleichung zu (2): 12a + 4b = 0

Aus (2) folgt b = -3a

Einsetzen in (1): 8a + 4 * (-3a) = 6

a = -1,5

Daraus folgt b = -3 * (-1,5) = 4,5

Damit gilt h(x) = -1,5xhoch3 + 4,5xhoch2

bei f^(x): Sin > cos > -sin > -cos

Stammfunktion: sin(x) > -cos(x) > -sin(x) > cos(x) > sin(x)

1) Zielfunktion aufstellen:

A(u) = 1/2u * f(u)

A(u) = 1/2u * (-3uhoch2 + 12x - 6)

A(u) = 1,5uhoch3 + 6uhoch2 - 3u mit 1<u<3

2) Extremstellen berechnen:

• 1 und 2 Ableitung bilden

• Erste Ableitung gleich 0 setzen und u stellen bestimmen

3) U stellen mit zweiter Ableitung prüfen und lokales Maximum/Minimum bestimmen

• 1 > 0 dann lokales Minimum

• 0 > -1 dann Lokales Maximum

4) Lokales Maximum in Zielfunktion einsetzen

5) Randwertuntersuchung

• Randwert u = 1: A(1) = 1,5

• Randwert u = 3: A(3) = 4,5

6) Antwortsatz

Das Lokale Maximum von 4) ist die Lösung und die dazugehörige Nullstelle u auch